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鞅收敛定理

鞅论中有两个深刻的结论，一个是停时定理，另一个就是鞅收敛定理．本节## 鞅收敛定理
我们将介绍鞅的收敛定理．
鞅收敛定理说明在很一般的条件下，鞅 $\left\{M_n\right\}$ 会收敛到一个随机变量，在此记为 $M_{\infty}$ ．
我们首先来考虑一个特殊的例子——Polyas 坛子抽样模型（例6．11）。令 $M_n$ 表示第 $n$ 次摸球后红球所占的比例，当 $n \rightarrow \infty$ 时，这个比例会如何变化呢？下面来说明其变化趋势．

设 $0<a<b<1, M_n<a$ ，且令

$$
T=\min \left\{j: j \geq n, M_j \geq b\right\}
$$

即 $T$ 表示 $n$ 次摸球之后比例从小于 $a$ 到超越 $b$ 的第一个时刻。令 $T_m=\min \{T, m\}$ ，则对于 $m>n$ ，由停时定理可知

$$
E\left[M_{T_m}\right]=M_n < a
$$

但是

$$
\begin{aligned}
E\left[M_{T_m}\right] & \geq E\left[M_{T_m} \cdot I_{\{T \leq m\}}\right] \\
& =E\left[M_T I_{\{T \leq m\}}\right] \\
& \geq b \cdot P\{T \leq m\}
\end{aligned}
$$

从而 
$$
P\{T \leq m\}<\frac{a}{b}
$$

因为上式对一切 $m>n$ 成立，于是有

$$
P\{T<\infty\} \leq \frac{a}{b}
$$

这说明至少以概率 $1-\frac{a}{b}$ 红球的比例永远不会超过 $b$ ．
现在我们假定这一比例已经超过了 $b$ ，那么它能够再一次降回到 $a$ 以下的概率是多少呢？同样的讨论可知，这一概率最大为 $\frac{1-b}{1-a}$ ．

继续同样的讨论，我们可以知道，从 $a$ 出发超过 $b$ ，再小于 $a$ ，再大于 $b, ~ \ldots \ldots$ ，有 $n$ 个循环的概率应为

$$
p_n \leq\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{1-b}{1-a}\right)\left(\frac{a}{b}\right) \cdots\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{1-b}{1-a}\right)=\left(\frac{a}{b}\right)^n\left(\frac{1-b}{1-a}\right)^n \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty) .
$$

由此可见，这个比例不会在 $a, b$ 之间无限次地跳跃．由 $a, b$ 的任意性，也表明这一比例不会在任意的两个数之间无限地跳跃．直观地看，极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} M_n$ 存在，记为 $M_{\infty}$ ．这一极限是一个随机变量，可以证明 $M_{\infty}$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布（见习题6．7）．

下面我们给出一般的结论．
定理6．8（鞅收敛定理）设 $\left\{M_n, n \geq 0\right\}$ 是关于 $\left\{X_n, n \geq 0\right\}$ 的鞅，并且存在常数 $0<C<\infty$ 使得 $E\left[\left|M_n\right|\right] \leq C$ 对任意 $n$ 成立，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\left\{M_n\right\}$ a．s．收玫到一个随机变量 $M_{\infty}$ 。

证明略去。上面的定理没有要求一致可积性，只要求一阶矩

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