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可测性与代数流

6．6．1 可测性 \＃

因为随机过程 $\{X(t, \omega): t \in[0, \infty), \omega \in \Omega\}$ 是关于时间 $t$ 和样本点 $\omega$ 的二元函数，给定 $\omega$ 后，作为 $t$ 的函数，$X(\cdot, \omega)$ 代表一条样本路径（轨道、实现），所以两个随机过程在某种意义上相同，有如下三种不同的定义：

1．$P(X(t)=Y(t), t \in[0, \infty))=1$ ，称 $\{Y(t)\}$ 是 $\{X(t)\}$ 不可区分。
2．如果 $\forall t, P(X(t)=Y(t))=1$ ，称 $\{Y(t)\}$ 是 $\{X(t)\}$ 的修改；
3．$\{X(t)\}$ 和 $\{Y(t)\}$ 具有相同的有限维分布；
$1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3$ 。 注意第1条和第2条要求 $\{X(t)\}$ 和 $\{Y(t)\}$ 属于同一概率空间，而第3条不要求 $\{X(t)\}$ 和 $\{Y(t)\}$ 属于同一概率空间，仅要求其样本空间相同。

第2条成立时，仅保证了在每个时刻相等，但是样本路径可以可能没有任何一对路径完全重合。
如果 $\{Y(t)\}$ 是 $\{X(t)\}$ 的修改且两个过程都是 $a$ ．s． 轨道右连续的，则两个过程也不可区分。都轨道连续时也是。见（Karatzas and Shreve 1998）P．2的1．5。

随机过程 $\{X(t), t \in[0, \infty)\}$ 的定义是对每个 $t \in[0, \infty), X(t)$ 是 $(\Omega, F )$ 的随机变量，所以不要求 $X(t, \omega)$作为 $t$ 和 $\omega$ 的二元函数二元可测；但某些问题中会要求二元可测，如随机积分的被积函数。

定义6．15（可测过程）称 $d$ 维的随机过程 $X$ 可测，如果 $\forall B \in B \left( R ^d\right),\{(t, \omega): X(t, \omega) \in B\}$ 属于 $\sigma$ 域 $B ([0, \infty)) \otimes F$ ，即函数 $X(t, \omega)$ 是从 $([0, \infty) \times \Omega, B ([0, \infty)) \otimes F )$ 到 $\left( R ^d, B \left( R ^d\right)\right)$ 的可测变换。

见（Karatzas and Shreve 1998）P．3的1．6。
注：设 $C , G$ 为两个 $\sigma$ 代数，则 $C \otimes G =\sigma(\{A \times B: A \in C , B \in G \})$ ，

$$
A \times B=\{(x, y): x \in A, y \in B\} .
$$

注：设 $C , G$ 为两个 $\sigma$ 代数，则 $C \otimes G =\sigma(\{A \times B: A \in C , B \in G \})$ ， $A \times B=\{(x, y): x \in A, y \in B\}$ 。

过程可测则每条轨道为Borel可测函数。若 $E\left(X_t\right)$ 都有限则 $m(t)=E\left(X_t\right)$ 是可测函数。
如果 $\{X(t)\}$ 轨道连续，则 $\{X(t)\}$ 为可测过程；如果对a．s．的 $\omega, ~ X(t, \omega)$ 作为 $t$ 的函数处处右连续或者处处左连续，则 $\{X(t)\}$ 为可测过程。

如果过程定义在有限区间 $[0, T]$ 上，则过程的可测性可以类似地定义。
当过程可测时，给定 $\omega$ 后的路径 $X(t, \omega)$ 作为 $t$ 的函数是Borel可测函数，对给定 $t, ~ X(t, \omega)$ 是随机变量。如果对某个区间 $I$ 有 $\int_I E|X(t)| d t<\infty$ ，由Fubini定理则有

$$
\begin{aligned}
E \int_I|X(t)| & =\int_I E|X(t)|<\infty \\
\int_I|X(t)| d t & <\infty, \text { a.s. } \\
E \int_I X(t) d t & =\int_I E[X(t)] d t
\end{aligned}
$$

6．6．2 $\sigma$ 代数流

随机过程中的 $t$ 一般代表时间，指标集 $T$ 最常见的情形为 $T=\{0,1,2, \ldots\}$ 和 $T=[0, \infty)$ 。随着时间的推进，积累的信息也在增加，可以将时间区分为过去、现在和将来。用＂$\sigma$ 代数流＂表示积累的信息。

定义6．16 对 $T=\{0,1,2, \ldots\}$ 或 $T=[0, \infty)$ ，设有一组 $\sigma$ 代数 $F (t)$ ，使得 $F (s) \subset F (t) \subset F$ 对任意 $0 \leq s \leq t$ 成立，称 $\{ F (t), t \geq 0\}$ 为一个 $\sigma$ 代数流（filtration）。如果随机过程 $\{X(t), t \in T\}$ 满足 $X(t)$ 关于 $F (t)$ 可测对任意 $t \in T$ 成立，则称 $\{X(t), t \in T\}$ 是关于 $\{ F (t), t \geq 0\}$ 适应的。

为了使得 $\{X(t), F (t), t \geq 0\}$ 是适应过程，最小的 $F (t)$ 的取法为

$$
F ^X(t)=\sigma(\{X(s): 0 \leq s \leq t\}) .
$$

将 $F ^X(t)$ 视作截止到 $t$ 时刻为止，随机过程 $X$ 所包含的信息。对 $A \in F ^X(t)$ ，掌握 $X$ 在 $[0, t]$ 的路径信息可以明确判断 $A$ 是否发生。

对 $T=[0, \infty)$ ，定义

$$
\begin{aligned}
F (t-) & =\sigma\left(\bigcup_{0 \leq s<t} F (s)\right) \\
F (t+) & =\bigcap_{\epsilon>0} F (t+\epsilon)
\end{aligned}
$$

$F (t-)$ 是时间落在 $t$ 前面的事件的 $\sigma$ 代数。 $F (t+)$ 是 $t$ 截止到刚过 $t$ 时刻的事件的 $\sigma$ 代数。如果 $F (t+)= F (t), \forall t \geq 0$ ，称 $\{ F (t), t \geq 0\}$ 是右连续的；如果 $F (t-)= F (t), \forall t \geq 0$ ，称 $\{ F (t), t \geq 0\}$ 是左连续的。

对 $\left\{\left(X(t), F ^X(t), t \geq 0\right\}\right.$ ：
- $\left\{ F ^X(t)\right\}$ 左连续，意味着观测到 $X(s), 0 \leq s<t$ 可以获得 $X(t)$ 的信息；
- $\left\{ F ^X(t)\right\}$ 右连续，意味着观测到 $X(s), 0 \leq s \leq t$ 后，再向前继续观测无穷小时间的信息并没有额外的信息增加。
- 如果 $\{X(t), t \geq 0\}$ 轨道左连续，则 $\left\{ F

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