最后更新: 2025-08-07 08:41 查看: 49 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

黎曼函数

## 黎曼函数
在《数学分析》里，介绍过了$p$级数，稍微变更一下就是
$$
S=1+ \frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+...\frac{1}{p^k}
$$

而且知道，$p>1$ 其和收敛， $p<1$其和发散（他其实就是高中学的等比数列。） 接下来将引入黎曼函数。

可以看到,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\sigma}$ 对于所有大于等于固定 $\sigma_0>1$ 的**实数** $\sigma$ 是一致收敛的．它是级数

$$
\boxed{
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{- s} \quad(s=\sigma+i t)
 ...\text{黎曼函数}}
$$

的强级数，因此它表示半平面 $\operatorname{Res}>1$ 中 $s$ 的一个解析函数（在这里记号 $s=\sigma+ i t$ 是按惯例）。

函数 $\zeta(s)$ 称为黎曼 $\zeta$ 函数。它在复分析对数论的应用中起着核心的作用，在本节中，即使介绍少量的这些知识也将引导我们走得过远，但是我们能够而且应该使读者熟悉 $\zeta$ 函数的某些较初等的性质．

## 高斯与素数
素数分布是数学界的天花板，吸引无数数学家去探寻。

![图片](/uploads/2023-10/1f2be1.jpg){width=200px}

1792 年，高斯 15 岁. 有一天高斯偶然得到一本书，书上有一个对数表，还有一个素数表. 由于闲来无事，高斯花了将近一刻钟的时间计算了其中 1000 个，他惊讶地发现素数的分布密度接近于对数的倒数，这一发现就是就是著名的 **素数定理**:

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{\operatorname{Li(x)}}=1, \quad \operatorname{Li}(x)=\int_0^x \frac{d t}{\log t} .
$$

$\pi(x)$ 表示小于 $x$ 的素数个数，叫做素数计数函数。
$Li ( x )$ 表示对数积分函数， $Li ( x )=\int_0^{ x } 1 / \ln ( t ) dt$ ；
素数定理：$\pi( x ) \sim \operatorname{Li}( x )$

## 欧拉乘积公式
黎曼猜想指出，ζ（z）函数的零点，决定了素数如何分布，要理解这点，我们并不需要太深的知识。
 ![图片](/uploads/2025-08/473286.jpg){width=400px}

两百年前，大数学家欧拉得到了著名的**欧拉乘积式**，这个公式太漂亮了，全体自然数与全体素数，居然就这样美妙地联系到了一起。

我们只需利用一个初中的知识——方程和根的关系：

方程 $f(x)=0$ 的根为：$r_1 、 r_2 、 r_3 \cdots r_n$那么方程的乘积式可以写成：

$$
f(x)=\left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right)\left(x-r_3\right) \ldots\left(x-r_n\right)
$$

然后稍微扩展一下，大胆地用在无穷根上，就会得到方程：

$$
\zeta(z)=\prod_{\text {D } * \text { 为素数 }}\left(1-\frac{1}{P^z}\right)^{-1}=0
$$

## 黎曼猜想

结合方程与根的关系，我们稍加思考一一或许这就暗示了，方程的根和每一个素数相对应。没错，这就是黎曼函数的零点，和素数分布联系到一起的根源。

![图片](/uploads/2025-08/e7154f.jpg)

下面是黎曼函数的另外一种写法，也更容易理解

$$
\boxed{
\zeta(z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z} \cdots \cdots , Z \in C  ,\t

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