最后更新: 2025-08-26 11:23 查看: 8 次反馈同步训练

特征值与图像的正定

## 再谈特征值的意义
如果 $A \alpha =\lambda \alpha$ ，且 $\| \alpha \|=1$ ，则

$$
\| A \alpha \|=|\lambda| \cdot\| \alpha \|=|\lambda| .
$$

即特征值的绝对值反映了线性变换在特征方向上的伸缩程度（伸缩率）。如果 $\lambda_1$是绝对值最大的特征值，则 $A$ 在对应特征向量方向上的拉伸效果最明显。

利用这一原理，我们可以求得一般线性变换矩阵 $A (m \times n$ 矩阵）的最大（小）拉伸方向与伸缩率。其原理为

$$
\boxed{
\| A x \|^2=( A x )^{T}( A x )= x ^{T}\left( A ^{T} A \right) x ...(4.1.1)
}
$$

由于(4.1.1)确定的二次型是半正定的，即 $A ^{ T } A$ 是半正定矩阵，则存在正交变换 $x = C y \left( C\right.$ 的列向量是矩阵 $A ^{ T } A$ 的 $n$ 个相互正交的单位特征向量）将（4.1.1）化为标准形

$$
\boxed{
\| A x \|^2 \xlongequal{ x = C y } \lambda_1 y_1^2+\cdots+\lambda_n y_n^2 ...(4.1.2)
}
$$

由于 $A ^{ T } A$ 的特征值是非负的，设有

$$
\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_n \geqslant 0,
$$

则

$$
\| A x \|^2 \stackrel{ x = C y }{=} \lambda_1 y_1^2+\cdots+\lambda_n y_n^2 \leqslant \lambda_1\| y \| \text {. }
$$

取 $\| y \|=1$ ，有

$$
\| A x \|^2 \leqslant \lambda_1
$$

另一方面，取 $\alpha _1$ 为 $\lambda_1$ 所对应的单位特征向量，即 $\left( A ^{ T } A \right) \alpha _1=\lambda_1 \alpha _1,\left\| \alpha _1\right\|=$ 1 ，则有

$$
\left\| A \alpha _1\right\|^2= \alpha _1^{T}\left( A ^{T} A \right) \alpha _1=\lambda_1 \Rightarrow\left\| A \alpha _1\right\|=\sqrt{\lambda_1}
$$

所以 $\alpha _1$ 的方向就是矩阵 $A$ 所确定的线性变换的最大拉伸方向，$\sqrt{\lambda_1}$ 是最大拉伸率。

## 复特征值的情况
我们知道一个实矩阵的特征值有可能是复数，复特征值所对应的特征向量也自然是复向量，下面来讨论复特征值与其特征向量所蕴含的几何意义．这里对 $n=2$ 的情况通过具体的例子来子以说明．

`例` 求矩阵 $A =\left(\begin{array}{cc}5 & -6 \\ 7.5 & 11\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量，并讨论线性变换 $x \mapsto A x$ 的几何特征．

解 $A$ 的特征多项式为

$$
|\lambda I - A |=\left|\begin{array}{cc}
\lambda-5 & 6 \\
-7.5 & \lambda-11
\end{array}\right|=\lambda^2-16 \lambda+100
$$

特征值为 $\lambda_1= 8 -6 i , \lambda_2= 8 +6 i$ 。
解齐次线性方程组 $\left(\lambda_1 I - A \right) x = 0$ ，可求得 $\lambda_1$ 所对应的一个特征向量为 $\alpha_1=\binom{-2-4 i }{5}$ ，类似可求得 $\lambda_2

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