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Itô过程

8．4．4 Itô过程

由式（8．14）看出，布朗运动的函数可以表示为一个Itô积分加上一个轨道绝对连续的过程．我们称这类过程为 Itô过程，严格地，我们有下面定义．

定义8．5 如果过程 $\{Y(t), 0 \leq t \leq T\}$ 可以表示为

$$
Y(t)=Y(0)+\int_0^t \mu(s) d s+\int_0^t \sigma(s) d B(s), 0 \leq t \leq T
$$

其中过程 $\{\mu(t)\}$ 和 $\{\sigma(t)\}$ 满足
（1）$\mu(t)$ 是适应的并且 $\int_0^T|\mu(t)| d t<\infty$ ，a．s．，
（2）$\{\sigma(t)\} \in V^*$ ．
则称 $\{Y(t)\}$ 为ltô过程．
有时我们也将Itô过程（8．16）记为微分的形式

$$
d Y(t)=\mu(t) d t+\sigma(t) d B(t), 0 \leq t \leq T
$$

其中函数 $\mu(t)$ 称为漂移系数，$\sigma(t)$ 称为扩散系数，它们可以依赖于 $Y(t)$ 或 $B(t)$ ，甚至过去的路径 $\{B(s), 0 \leq s \leq t\}$ ，例如 $\mu(t)=\cos (M(t)+t)$ ，这里 $M(t)=\max _{0 \leq s \leq t} B(s)$ ．

一类非常重要的情形是 $\mu(t)$ 与 $\sigma(t)$ 仅仅通过 $Y(t)$ 依赖于 $t$ ，在这种情况下，式（8．17）应改写为

$$
d Y(t)=\mu(Y(t)) d t+\sigma(Y(t)) d B(t), 0 \leq t \leq T
$$

例8．8股票投资的随机微分方程。
解：在金融应用中，股票的价格 $S(t)$ 是用随机微分方程

$$
d S(t)=\mu S(t) d t+\sigma S(t) d B(t)
$$

描述的．上述方程也可以写成

$$
\frac{d S(t)}{S(t)}=\mu d t+\sigma d B(t),
$$

即股价增长率包括一个恒定速率的部分和一个随机部分，随机部分的方差为 $\sigma^2 d t 。\{S(t)\}$ 是几何布朗运动。

如果 $a(t)$ 表示在时刻 $t$ 投资者的股票持仓量，那么在整个时间区间 $[0, T]$ 内的收益为

$$
\int_0^T a(t) d S(t)=\mu \int_0^T a(t) S(t) d t+\sigma \int_0^T a(t) S(t) d B(t)
$$

关于Itô过程可以给出其链式法则的Itô公式：

定理8．9 设 $\{X(t)\}$ 是由

$$
d X(t)=\mu(t) d t+\sigma(t) d B(t)
$$

给出的Itô过程，$g(t, x)$ 是 $[0, \infty) \times R$ 上的二次连续可微函数．则

$$
\{Y(t)=g(t, X(t)), t \geq 0\}
$$

仍为Itô过程，并且

$$
d Y(t)=\frac{\partial g}{\partial t}(t, X(t)) d t+\frac{\partial g}{\partial x}(t, X(t)) d X(t)+\frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(t, X(t)) \cdot(d X(t))^2
$$

其中 $(d X(t))^2=(d X(t)) \cdot(d X(t))$ 按照下面规则计算：

$$
d t \cdot d t=d t \cdot d B(t)=d B(t) \cdot d t=0, \quad d B(t) \cdot d B(t)=d t
$$

即

$$
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