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Black-Scholes公式

9．2．2 Black－Scholes公式

一般来说，求解一个偏微分方程的显示解是比较困难的事情，故很多时候都只能寻求数值解。Black和 Scholes基于无红利支付的情况，根据无套利原理，用动态复制的方法推导出了欧式期权（看跌或看涨）的定价公式，并且是精确的显式解。

偏微分方程（9．10）的解为：

$$
u(t, x)=x \Phi\left(d_1(t, x)\right)-K e^{-r t} \Phi\left(d_2(t, x)\right)
$$

其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数，

$$
d_1(t, x)=\frac{\ln (x / K)+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right) t}{\sigma \sqrt{t}}, \quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{t} .
$$

即有

$$
V_0=u\left(T, S_0\right)=S_0 \Phi\left(d_1\left(T, S_0\right)\right)-K e^{-r T} \Phi\left(d_2\left(T, S_0\right)\right)
$$

其中

$$
d_1\left(T, S_0\right)=\frac{\ln \left(S_0 / K\right)+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2=d_1\left(T, S_0\right)-\sigma \sqrt{T}
$$

随机过程 $V_1=u\left(T-t, S_t\right)$ 表示的是自融资的投资组合在时刻 $t \in[0, T]$ 的价值，自融资投资策略 $\left(a_t, b_t\right)$为
$$
a_t=\frac{\partial u\left(T-t, S_t\right)}{\partial x}, \quad b_t=\frac{u\left(T-t, S_t\right)-a_t S_t}{\beta_t}
$$

我们称式（9．12）为Black－Scholes期权定价公式，可知期权价格与平均回报率 $\mu$ 是无关的，但与波动率 $\sigma$ 有关。

如何理解在无套利原则下，期权的初始价格为 $q=u\left(T, S_0\right)$ ？
假设初始期权价格 $p \neq q$ 。若 $p>q$ ，可采用如下投资策略：在时刻 $t=0$ ，以价格 $p$ 将期权卖出，同时根据公式（9．13）所提供的投资策略投资 $q$ 。故可得到一个初始纯利润 $p-q>0$ 。在到期 $T$ 时刻，投资组合的价值为 $a_T S_T+b_T \beta_T=\left(S_T-K\right)^{+}$，并且有义务支付 $\left(S_T-K\right)^{+}$给期权的购买者。这意味着，若 $S_T>K$ ，必须以价格 $S_T$ 购买股票，而以执行价格 $K$ 将股票卖给期权的买方，损失为 $S_T-K$ ，正好与投资组合当前的价值 $\left(S_T-K\right)^{+}=S_T-K$ 持平，净利润为 $p-q$ ；若 $S_T \leq K$ ，期权不会被执行，故净利润为 $p-q+S_T-K$ ，总是有正利润的。若 $p<q$ ，会导致类似情形的发生。

故在无套利原则下，期权的初始价格一定为 $q=u\left(T, S_0\right)$ ．

9．2．3 Black－Scholes公式的推导
Harrison和Kreos在1979年提出了一种鞅定价方法来解决期权的定价问题。为Black－Sholes公式的推导作准备，我们首先介绍等价概率测度与重要的Girsanov定理。

定义9．1令 $P$ 和 $Q$ 是定义在 $\sigma$ 代数 $F$ 上的两个概率测度，若存在一个非负函数 $f_1$ ，使得

$$
Q(A)=\int_A f_1(w) d P(w), \quad A \in F
$$

则称 $f_1$ 为概率测度 $Q$ 关于概率测度 $P$ 的密度，且称概率测度 $Q$ 关于概率测度 $P$ 绝对连续，记为 $Q \ll P$ ．
定义9．2若 $P$ 关于 $Q$ 绝对连续，且 $Q$ 关于 $P$ 绝对连续，即 $Q \ll P$ 与 $P \ll Q$ 同时成立，则称 $P$ 和 $Q$ 是等价的概率测度。

一般地，我们用 $B=\left(B_t, t \in[0, T]\right)$ 表示在概率测度 $P$ 下的Brown运动。若考虑如下形式的过程

$$
\tilde{B}_t=B_t+q t, \quad t \in[0, T],
$$

其中 $q$ 为某个常数。当 $q \neq 0$ 时，$\tilde{B}_t$ 不是标准Brown运动。如果将概率测度 $P$ 转换成一个新的合适

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