最后更新: 2026-06-16 16:30 查看: 141 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵的LU分解

## 矩阵的LU分解的概念
设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，他可以被分解为一个下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$相乘的形式。其中$L$矩阵主对角线都是$1$.

> 提示：$LU$分解里，$L$是Low（下）的意思，$U$是Upper（上）的意思 不是每个矩阵都可以$LU$分解

$$
A= \left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
\blacksquare & 1 & 0 & 0 \\
\blacksquare & \blacksquare & 1 & 0 \\
\blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}
\blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & \square
\end{array}\right]
$$

分解条件：并非所有矩阵都能进行LU分解，需要满足以下条件：
① 矩阵是方阵 
② 被分解方阵是可逆的，即该矩阵是满秩矩阵；
③ 消元过程中没有0主元出现，即不能出现主对角线都是0的情况；

##  为什么需要LU分解？

$LU$分解的主要目的是**高效求解线性方程组** $ A {x} = {b} $。

> 核心一句话：矩阵的LU分解主要是为计算机解方程组使用的，详见 [数值分析](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4294)

1.  **分解**：首先将 $ A $ 分解为 $ L $ 和 $ U $。
    $$
    A{x} = {b} \implies (LU){x} = {b} \implies L(U{x}) = {b}
    $$
2.  **引入中间变量**：令 $ U{x} = {y} $，原方程变为：$L{y} = {b}$
3.  **下三角**：因为 $ L $ 是下三角矩阵，方程组 $ L{y} = {b} $ **非常容易求解**（从上往下代换）。
4.  **上三角**：得到 $ {y} $ 后，再求解 $ U{x} = {y} $。因为 $ U $ 是上三角矩阵，这个方程组也**非常容易求解**（从下往上代换）。

> **因此， $LU$ 分解核心就2句话：①先通过 $L Y=b$ 求解出 $Y$ ②再通过 $U X=Y$ 求解出 $X$**

**优势**：
- 对于需要多次求解不同 $ {b} $ 但 $ A $ 不变的情况（非常常见），只需做一次昂贵的 LU 分解，之后每次求解的成本很低。
- 比直接使用高斯消元法更高效、更数值稳定。
 
 
## LU分解的实现

假设 $A$ 可以化为阶梯形 $U$ ，化简过程中仅用**行倍加变换**，即把一行的倍数加于它下面的另一行．这样，存在单位下三角初等矩阵 $E_1, \cdots, E_p$ 使

$$
E_p \cdots E_1 A=U ...(1)
$$

于是

$$
A=\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1} U=L U
$$

其中

$$
L=\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1} ...(2)
$$

可以看到（1）（2）分别就得到了$U,L$

注意（1）中的行变换，它把 $A$ 化为 $U$ ，所以也把（2）中的 $L$ 化为 $I$ ，这是因为

$$
E_p \cdots E_1 L=\left(E_p \cdots E_1\right)\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1}=I
$$
 
这一点是构造 $L$ 的关键．

> 注意：在上面求解L过程中，可以使用逆矩阵计算，即公式（2）也可以使用在变化过程中使用的变量进行计算，下面的例子会演示使用变量直接生成下三角。

##  分解方法：高斯消元法

LU分解本质上就是**记录高斯消元过程**。
- 矩阵 $ U $ 就是高斯消元结束后得到的**上三角矩阵**。
- 矩阵 $ L $ 是由**消元过程中所用的乘数**（即为了消元而乘以的系数）构成的，并且这些乘数放在了下三角位置。

**计算步骤（以 3x3 矩阵为例）：**

设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 8 & 7 & 9 \end{bmatrix} $

**Step 1: 第一列消元**
- 目标：将 $ a_{21} $ 和 $ a_{31} $ 变为 0。
- 乘数：
  - $ l_{21} = \frac{4}{2} = 2 $ （用第1行消去第2行的第一个元素）
  - $ l_{31} = \frac{8}{2} = 4 $ （用第1行消去第3行的第一个元素）
- 消元后的矩阵 $ A^{(1)} $：
  $$
  \begin{bmatrix}
  2 & 1 & 1 \\
  0 & (3-2\times1) & (2-2\times1) \\
  0 & (7-4\times1) & (9-4\times1)
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
  2 & 1 & 1 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 3 & 5
  \end{bmatrix}
  $$

**Step 2: 第二列消元**
- 目标：将 $ a^{(1)}_{32} $ 变为 0。
- 乘数：
  - $ l_{32} = \frac{3}{1} = 3 $ （用第2行消去第3行的第二个元素）
- 消元后的矩阵 $ U $：
  $$
  \begin{bmatrix}
  2 & 1 & 1 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & (5-3\times0)
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
  2 & 1 & 1 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 5
  \end{bmatrix}
  $$

**构造 $ L $ 和 $ U $：**
- $ U $ 就是最终的上三角矩阵： $ U = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} $
- $ L $ 由乘数和对角线1构成： $ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{bmatrix} $

> 注意：上面的$L$的矩阵元素$2,4,3$直接使用所乘的系数进行拼接。

**验证：**
$$
LU = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 8 & 7 & 9 \end{bmatrix} = A
$$

---

### **1. 存在性与选主元（Pivoting）**

- **存在性**：并非所有矩阵都有LU分解。当且仅当 $ A $ 的所有**顺序主子式**均不为零时，LU分解才存在。
    - 例如，矩阵 $ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $ 就不能直接进行LU分解。

- **选主元（Pivoting）**：为了解决上述问题并提高数值稳定性，通常使用**部分选主元（Partial Pivoting）**。这会在分解过程中引入一个**置换矩阵 $ P $**，使得分解变为：
  $$
  P A = L U
  $$
  这意味着我们先对矩阵 $ A $ 的行进行交换，然后再对交换后的矩阵进行 LU 分解。这在所有数值计算软件（如MATLAB, NumPy）中都是标准做法。

---

### **2. LDU分解**

LU分解的一个变种是LDU分解，它将一个对角矩阵 $ D $ 分离出来：
$$
A = L D U
$$
其中 $ L $ 是下三角矩阵（对角线为1），$ U $ 是上三角矩阵（对角线为1），$ D $ 是对角矩阵。这有时可以使分解更加对称。

---

### **3. 总结**

| 特性 | 描述 |
| :--- | :--- |
| **形式** | $ A = LU $（或 $ PA = LU $） |
| **矩阵L** | 下三角矩阵，主对角线元素为1，其余元素是高斯消元的乘数。 |
| **矩阵U** | 上三角矩阵，是高斯消元的最终结果。 |
| **应用** | 高效求解线性方程组、计算矩阵的逆、计算行列式（$ \det(A) = \det(L)\det(U) = \prod u_{ii} $）。 |
| **优点** | 一次分解，多次使用。是数值计算中最基础的分解之一。 |
| **注意** | 需要选主元来保证数值稳定性和解决存在性问题。 |

简单来说，**LU分解就是高斯消元法的“矩阵形式”**，它将消元的过程信息完美地记录在了 $ L $ 和 $ U $ 两个矩阵中。

##  $A=L U$分解图解

下图摘自 《The Art of Linear Algebra》 给出的图解，采用递归的方法，适合计算机处理。

用高斯消除法求解 $A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 也被称为 $L U$ 分解。通常，是 $A$ 左乘一个初等行变换矩阵 $(E)$ 来得到一个上三角矩阵 $U$ 。

$$
\begin{aligned}
E A & =U \\
A & =E^{-1} U \\
\text { let } L=E^{-1}, \quad A & =L U
\end{aligned}
$$

现在，求解 $A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有2步：（1）求解 $L \boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}$ ，（2）代回 $U \boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$ ．
 
在这里，我们直接通过 $A$ 计算 $L$ 和 $U$ ．

![图片](/uploads/2025-09/452bfb.jpg)
 
 要计算 $L$ 和 $U$ ，首先分离出由 $A$ 的第一行和第一列组成的外积．余下的部分为 $A_2$ ．递归执行此操作，将 $A$ 分解为秩1矩阵之和．
  
  ![图片](/uploads/2025-09/19d67a.jpg)
  
 由 $L$ 乘以 $U$ 来重新构造 $A$ 则相对简单。

其他版本
【数值分析】高斯消元法

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：过渡矩阵

下一篇：矩阵的CR分解

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)