最后更新: 2026-01-19 08:41 查看: 109 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵的特征值分解PAP★★★★★

## 矩阵为什么要进行特征值分解？
想象我们小学里计算数的乘法，比如老师让我们计算 $12*25$的值。
老师会让我们优先把$12$分解为$3*4$，这样就可以充分利用$4*24=100$这个特征，简化计算。即 
$12*25=(3*4)*25=3*(4*25)=3*100=300$
可以看到，通过数分解把复杂的数的乘法转换为了简单的数的乘法。

同样的，一个矩阵作用在一个向量上，会使得向量发生旋转和缩放，这是一个复杂的线性变换。矩阵进行特征值分解的核心目的是将复杂的线性变换或矩阵运算转化为更直观、更易分析的形式，从而揭示矩阵的固有特性、简化计算或解决特定问题。
比如假设有一个矩阵$A$可以分解为
$A = P\Lambda P^{-1}$
那么，如果计算$A^3$就变成
$$
A^3=(P\Lambda P^{-1})^3=
(P\Lambda P^{-1}) * (P\Lambda P^{-1}) * (P\Lambda P^{-1})
$$

$$
P\Lambda * (P^{-1}  P) * \Lambda (P^{-1}P) * \Lambda P^{-1} 
$$

$$
=\Lambda^3 
$$

可以看到，矩阵P的3次幂直接转换为了对角形元素的3次幂，大幅度降低了运算。

当然矩阵特征值分解的作用远不止这么多。

##   特征值分解的核心思想与定义

特征值分解的目标是将一个方阵 $ A $ **分解为一组特征向量和特征值**，从而揭示其内在的几何性质和结构。

**定义**：对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，如果它存在 $ n $ 个**线性无关的特征向量**，那么它可以被分解为以下形式：
$$
A = P \Lambda P^{-1}
$$
其中：
- $ P $ 是一个**可逆矩阵**，其**列向量**是 $ A $ 的 $ n $ 个线性无关的**特征向量**（${p}_1, {p}_2, ..., {p}_n$）。
- $ \Lambda $ (Lambda) 是一个**对角矩阵**，其**主对角线上的元素**是 $ A $ 的**特征值**（$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$），这些特征值的排列顺序与 $ P $ 中特征向量的排列顺序**一一对应**。

分解后的形式如下：
$$
A =
\begin{bmatrix}
| & | & & | \\
{p}_1 & {p}_2 & \cdots & {p}_n \\
| & | & & |
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
| & | & & | \\
{p}_1 & {p}_2 & \cdots & {p}_n \\
| & | & & |
\end{b

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