最后更新: 2025-09-30 19:49 查看: 70 次纠错评论(0) 课件开VIP

MATLAB实现二维随机变量和分布

## MATLAB实现二维随机变量和分布
用 mvnpdf 函数可以计算二维正态分布随机变量在指定位置处的概率和累积分布函数值． 
调用格式：mvnpdf（x，mu，sigma）．
功能：输出均值为＂mu＂且协方差矩阵为＂sigma＂的正态分布函数在 $x$ 处的值．
`例` 计算服从二维正态分布的随机变量在指定范围内的概率密度值并绘图，已知均值为 $(0,0)$ ，协方差为 $\left(\begin{array}{cc}0.25 & 0.3 \\ 0.3 & 1\end{array}\right)$ ．

解：在 MATLAB 的命令行窗口输入以下代码．

``` 
>> mu = [0 0];
 >> sigma = [0.25 0.3;0.3 1];
 >> x = -3:0.1:3;y = -3:0.15:3;
 >> [x1, y1] = meshgrid(x, y); 
% 将平面区域网格化取值
>> f = mvnpdf([x1(:) y1(:)], mu, sigma); % 计算二维正态分布概率密度函数值
>> F = reshape(f, numel(y), numel(x)); 
>> surf(x, y, F); 
% 矩阵重塑
% 绘制着色的三维曲面图
>> caxis([min(F(:))-0.5*range(F(:)),max(F(:))]);%range(x) 表示最大值与最小值的差，即极差
>> axis([-4 4 -4 4 0 max(F(:))+0.1]); 
% 设置坐标轴范围
>> xlabel('x')
 >> ylabel('y')
 >> zlabel('Probability Density')
```

绘制的图形如图8.1所示.

![图片](/uploads/2025-09/af9591.jpg)
 
 
 ##  二维随机变量的边缘概率密度
若连续型随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为 $f(x, y)$ ，则 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度 $f_X(x)$和 $f_Y(y)$ 分别为

$$
\begin{aligned}
& f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y \\
& f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

`例`设 $(X, Y)$ 具有概率密度 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-y}, & 0<x<y, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 求边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$. 
解 在 MATLAB 的命令行窗口输入以下代码．

``` 
>> syms x y
 >> f = exp(-y);
 >> fx = int(f, y, x, inf)
```
按回车键可得结果如下．
``` 
>>fx = 
exp(-x)
```
继续输入
``` 
>> fy = int(f, x, 0, y)
```
按回车键得结果如下
``` 
>>fy = 
y*exp(-y)
```

## 样本的数字特征的MATLAB实现
在统计工具箱中，MATLAB 提供了常见的求样本函数，下面做简单的介绍．
**1．算术平均值函数**
调用格式：mean（X）．
功能：若 $\boldsymbol{X}$ 为向量，则返回 $\boldsymbol{X}$ 中各元素的算术平均值；若 $\boldsymbol{X}$ 为矩阵，则返回 $\boldsymbol{X}$ 中各列元素的算术平均值构成的一个行向量．

`例` 随机抽取 10 个滚珠测得直径（单位： mm ）如下。

$$
14.80,15.11,14.90,14.91,15.30,15.32,14.95,14.96,15.21,15.22 .
$$

试求滚珠直径的平均值．
解 在 MATLAB 的命令行窗口输入以下代码．
``` 
>>X = [14.80, 15.11, 14.90, 14.91, 15.30, 15.32, 14.95, 14.96, 15.21, 15.22];
 >>mean(X)
```
按回车键可得滚珠直径的平均值如下．

``` 
>>ans = 
        15.068000000000001
```

**2．无偏估计方差**
调用格式： $\mathrm{D}=\operatorname{var}(\mathrm{X})$ 。
功能：若 $\boldsymbol{X}$ 为向量，则返回向量的无偏估计的方差，即 $D=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ ；若 $\boldsymbol{X}$ 为矩阵，则返回 $\boldsymbol{X}$ 中各列向量的样本方差构成的行向量．

**3．有效估计方差**
调用格式： $\mathrm{D}=\operatorname{var}(\mathrm{X}, 1)$ ．
功能：返回向量（矩阵） $\boldsymbol{X}$ 的有效估计的方差，即 $D=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ ．

**4．无偏估计标准差**
调用格式： $\operatorname{std}(\mathrm{X})$ ．
功能：返回向量（矩阵） $\boldsymbol{X}$ 的无偏估计的标准差．
**5．有效估计标准差**
调用格式： $\operatorname{std}(\mathrm{X}, 1)$ 。
功能：返回向量（矩阵） $\boldsymbol{X}$ 的有效估计的标准差．

`例`求样本的有效估计的方差和样本标准差．

$$
14.80,15.11,14.90,14.91,15.30,15.32,14.95,14.96,15.21,15.22 .
$$

解 在 MATLAB 的命令行窗口中输入以下代码．

``` 
 >>X = [14.80, 15.11, 14.90, 14.91, 15.30, 15.32, 14.95, 14.96, 15.21, 15.22];
 >> DX = var(X, 1)
```
按回车键可得样本的有效估计的方差如下．
``` 
DX = 
    0.031296000000000
```
继续输入以下代码
``` 
>> sigma = std(X, 1)
```
按回车键可得样本的有效估计的样本标准差如下．
``` 
sigma = 
     0.176906755099968
```
**6．协方差**
调用格式 1： $\operatorname{cov}(\mathrm{X})$ 。
功能：返回向量 $\boldsymbol{X}$ 的协方差．
调用格式 2： $\operatorname{cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 。
功能：返回向量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 的协方差，且 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 同维．
**7．相关系数**
调用格式： $\operatorname{corrcoef}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 。
功能：返回列向量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 的相关系数矩阵。

`例`已知＂ $\mathrm{X}=\left[\begin{array}{lllllll}0.9218 & 0.1763 & 0.9355 & 0.4103 & 0.0579 & 0.8132\end{array}\right]$＂＂ $\mathrm{Y}=\left[\begin{array}{lll}0.7382 & \end{array}\right.$ 0.40570 .91690 .89360 .35290 .0099 ］＂，计算它们的协方差矩阵和相关系数矩阵。

解 在 MATLAB 的命令行窗口中输入以下代码．

``` 
>> clear all 
>> format short 
% 清除所有的变量，包括全局变量global
 % 短格式方式，显示5位定点十进制数
>> X = [0.9218 0.1763 0.9355 0.4103 0.0579 0.8132];
 >> Y = [0.7382 0.4057 0.9169 0.8936 0.3529 0.0099];
 >> Cov = cov(X, Y
```
按回车键可得协方差矩阵如下．

``` 
 Cov = 
      0.1515    0.0344
      0.0344    0.1279
```
继续输入以下代码．
``` 
>> R = corrcoef(X, Y)
```
按回车键可得相关系数矩阵如下．
``` 
R = 
    1.0000    0.2473
    0.2473    1.000
```

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