最后更新: 2025-09-30 19:58 查看: 46 次纠错评论(0) 课件开VIP

MATLAB实现参数估计

## MATLAB实现参数估计
参数估计的内容包括点估计和区间估计．MATLAB 的统计工具箱中提供了进行最大似然估计的函数，可用于计算待估参数及其置信区间．利用专门的参数估计函数，可以估计不同分布的参数．

## 点估计
点估计是用单个数值作为参数的估计，常用的方法有矩估计法和最大似然估计法．
**1．矩估计法**
某些情况下，待估参数往往是总体原点矩或原点矩的函数，此时可以用取自该总体的样本的原点矩或样本原点矩的函数值作为待估参数的估计，这种方法称为矩估计法．例如，样本均值总是总体均值的矩估计量，样本方差总是总体方差的矩估计量，样本标准差总是总体标准差的矩估计量．

在 MATLAB 中，可以用计算矩的函数 moment 进行估计，该函数只能计算向量的 $k$ 阶中心矩，不能计算原点矩，也不能计算连续型随机变量的矩。

调用格式：moment（X，order）．
功能：计算样本 $X$ 的 order 阶中心矩。

`例`对某型号的 20 辆汽车记录其 5 L 汽油的行驶里程（单位： km ），观测数据如下。
$$
\begin{array}{llllllllll}
29.8 & 27.6 & 28.3 & 27.9 & 30.1 & 28.7 & 29.9 & 28.0 & 27.9 & 28.7 \\
28.4 & 27.2 & 29.5 & 28.5 & 28.0 & 30.0 & 29.1 & 29.8 & 29.6 & 26.9
\end{array}
$$
试求总体的均值和方差的矩估计值．

解 在 MATLAB 的命令行窗口输入以下代码．

``` 
>> x1 = [29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7];
 >> x2 = [28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9];
 >> x = [x1 x2]';
 >> muhat = mean(x)
```
按回车键可得总体均值的矩估计值如下
``` 
muhat = 
    28.6950
```
继续输入以下代码．
``` 
>> sigma2hat = moment(x, 2)
```
按回车键得总体方差的矩估计值如下
``` 
sigma2hat = 
      0.9185
```

### 最大似然估计法
最大似然估计法是在待估参数的可能取值范围内进行挑选，使似然函数值（即样本取固定
观察值的概率）最大的那个参数值即为最大似然估计值．
利用统计工具箱中的mle函数可以进行最大似然估计．
调用格式：phat = mle('dist', data)．
功能：使用向量“data”中的样本数据，返回“dist”指定的分布的最大似然估计．

> 注：“dist”为分布类型，取“normal”时可省略，“data”是样本．

`例`对某型号的20辆汽车记录其5L汽油的行驶里程（单位：km），观测数据如下．
29.8　27.6　28.3　27.9　30.1　28.7　29.9　28.0　27.9　28.7
 28.4　27.2　29.5　28.5　28.0　30.0　29.1　29.8　29.6　26.9
设行驶里程服从正态分布，试用最大似然估计法估计总体的均值和方差．
在MATLAB的命令行窗口中输入以下代码．

``` 
>> b1 = [29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7];
 >> b2 = [28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9];
 >> x = [b1 b2];
 >> p = mle('norm', x);
 >> muhatmle = p(1)
```
按回车键可得总体的均值的最大似然估计值如下．

``` 
muhatmle = 
    28.6950
```
继续输入以下代码．
``` 
>> sigma2hatmle = p(2)^2
```
按回车键得总体的方差的最大似然估计值如下．
``` 
sigma2hatmle = 
0.9185
```

## 区间估计
求参数的区间估计，首先要求出该参数的点估计，然后构造一个含有该参数的随机变量，
并根据一定的置信水平求该估计值的范围．
函数mle除了可以用于求指定分布的参数的最大似然估计，还可以用于求
指定分布的参数的区间估计．调用格式和功能如下．
调用格式1：[phat, pci] = mle('dist', data)．
功能：返回“dist”分布的参数的最大似然估计和置信度为95%的置信区间．
调用格式2：[phat, pci] = mle('dist', data, alpha)．
功能：返回“dist”分布的参数的最大似然估计和置信度为“100(1-alpha)%”的置信区间．
 对某型号的20辆汽车记录其5L汽油的行驶里程（单位：km），观测数据如下．
  29.8　27.6　28.3　27.9　30.1　28.7　29.9　28.0　27.9　28.7
 28.4　27.2　29.5　28.5　28.0　30.0　29.1　29.8　29.6　26.9
设行驶里程服从正态分布，求平均行驶里程的95%的置信区间．
解： 在MATLAB的命令行窗口输入以下代码．
``` 
clear;clc;
 >> x1 = [29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7];
 >> x2 = [28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9];
 >> x = [x1 x2]';
 >> [p, ci] = mle('norm', x, 0.05)
```
按回车键可得结果如下．
``` 
p = 
     28.6950    0.9584
 ci = 
     28.2348    0.7478
     29.1552    1.4361
```

即平均行驶里程的95%的置信区间为（28.234 8, 29.155 2）．另外，σˆ=0.958 4，σ的
95%的置信区间为（0.747 8, 1.436 1）．

## 常见分布的参数估计
除了使用mle函数求指定分布的参数的估计量，MATLAB的统计工具箱中还提供了求常见
分布的参数的估计函数，如表8.1所示．

![图片](/uploads/2025-09/0cc1bf.jpg)
  ![图片](/uploads/2025-09/325eef.jpg)
  
  
例如，用normfit函数对正态分布总体进行参数估计．
调用格式1：[muhat, sigmahat, muci, sigmaci] = normfi t(x)．
功能：对于给定的正态分布的数据x，返回参数µ的估计值“muhat”、 σ的估计值
“sigmahat”、 µ的95%的置信区间“muci”和σ的95%的置信区间“sigmaci”．
调用格式2：[muhat, sigmahat, muci, sigmaci] = normfi t(x, alpha)．
功能：进行参数估计并计算“100(1− alpha)%”的置信区间．
`例`用normfi t函数求解上例
在MATLAB的命令行窗口中输入以下代码．

``` 
>> a = 0.05;
 >> x1 = [29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7];
 >> x2 = [28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9];
 >> x = [x1 x2]’;
 >> [muhat, sigmahat, muci, sigmaci] = normfi t(x, a)
```
按回车键可得结果如下．

``` 
muhat = 
    28.6950          %μ 的最大似然估计值
sigmahat = 
     0.9833          % σ的最大似然估计值
muci = 
    28.2348
    29.1552          %μ 的置信区间
sigmaci = 
     0.7478
     1.4361          % σ的置信区间
```

即平均行驶里程的95%的置信区间为（28.234 8, 29.155 2）．另外，σˆ = 0.983 3，σ的
95% 的置信区间为（0.747 8, 1.436 1）．

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