最后更新: 2025-09-30 20:13 查看: 31 次纠错评论(0) 课件开VIP

MATLAB实现假设检验

## MATLAB实现假设检验
在总体分布函数完全未知或只知分布形式，但不知其参数时，为了推断总体的某些性质，需要提出关于总体的假设．假设是否合理，则需要检验

## 方差已知时的均值检验
在MATLAB中，对于方差已知的正态总体，关于均值的检验用ztest函数．其
调用格式和相应的功能如下．
调用格式1：h = ztest(x, m, sigma, alpha)

功能：在显著性水平“alpha”下进行U检验，以检验服从正态分布的样本“x”是否来自均值为m的正态总体．“sigma”为标准差．若返回结果h = 1，则可以在显著性水平“alpha”下接受备择假设H1（拒绝H0：µ=m）；若返回结果h = 0，则在显著性水平“alpha”下不能拒绝H0．在“alpha”为0.05时，可省略．

调用格式2：[h, sig, ci, zval] = ztest(x, m, sigma, alpha, tail)．
功能：总体方差“sigma2”已知时，总体均值的检验使用U检验．检验数据“x”的关于均值的某一假设是否成立．其中“sigma”为已知的方差，“alpha”为显著性水平，并可通过指定
“tail”的值来控制备择假设的类型．“tail”的取值及表示意义如下．
注
“tail”为 0或'both'（为默认设置）：指定备择假设H1
为均值不等于m，即进行双侧检验．
“tail”为 1或'right' ：指定备择假设H1
为均值大于m，即进行右边单侧检验．
“tail”为 −1 或'left' ：指定备择假设H1
为均值小于m，即进行左边单侧检验

> 注 返回值＂ h ＂为一个布尔值，＂ $\mathrm{h}=1$＂表示可以拒绝假设，＂ $\mathrm{h}=0$＂表示不可以拒绝假设．

＂zval＂是标准正态分布统计量 $U=\frac{\bar{X}-m}{\sigma / \sqrt{n}}$ 的观测值．
＂sig＂为与 $U$ 统计量有关的 $p$ 值，表示能够由统计量 $U$ 的值＂zval＂做出拒绝原假设的最小显著性水平，具体如下。

若＂tail＂为 0 ，则＂sig $=\mathrm{P}\{|\mathrm{U}|>$ zval $\}$＂。
若＂tail＂为 1 ，则＂sig $=\mathrm{P}\{\mathrm{U}>$ zval $\}$＂。
若＂tail＂为 -1 ，则＂ $\operatorname{sig}=\mathrm{P}\{\mathrm{U}<\mathrm{zval}\}$＂．
＂ ci ＂为均值真值的＂ 1 －alpha＂置信区间。

`例` 某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为 0.5 kg ，标准差为 0.015 kg 。某日开工后检验包装机是否正常，随机地抽取所包装的糖 9 袋，称得净重（单位： kg ）为 $0.497,0.506,0.518,0.524$ ， $0.498,0.511,0.52,0.515,0.512$ ，问：机器是否正常？（显著性水平 $\alpha=0.05$ ）

解 $H_0: \mu=\mu_0=0.5, H_1: \mu \neq \mu_0$ 。
在 MATLAB 的命令行窗口输入以下代码．
``` 
>> X = [0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512];
 >> [h, sig, ci, zval] = ztest(X, 0.5, 0.015, 0.05, 0)
```
按回车键可得结果如下

``` 
h =                      
       1
 sig =            
      0.0248                   % 样本观察值的概率
ci = 
      0.5014    0.5210         % 置信区间
zval = 
      2.2444                   % 统计量的值
```
因此，由h = 1可知，在显著性水平α=0.05下可拒绝原假设，即认为包装机工作不正常；
由置信区间（0.501 4, 0.521 0）可看出，均值0.5在此区间之外．

## 方差未知时单个正态总体均值的假设检验
在MATLAB中，对于方差未知的正态总体，关于均值的检验用ttest函数．
其调用格式及功能如下．
调用格式1：h = ttest(x, m).
功能：在显著性水平0.05下进行T检验，以检验服从正态分布（标准差未
知）的样本“x”是否来自均值为m的正态总体．

> 当m = 0 时，可省略，即“ttest(x) = ttest(x, 0)”．

调用格式 2：$h=\operatorname{ttest}(x, m, a l p h a)$ ．
功能：在显著性水平＂alpha＂下进行 $T$ 检验，以检验服从正态分布（标准差未知）的样本 ＂ x ＂是否来自均值为 $m$ 的正态总体．若返回结果 $h=1$ ，则可以在显著性水平＂alpha＂下接受备择假设 $H_1 ~\left(\right.$ 拒绝 $\left.H_0: \mu=m\right) ~$ ；若返回结果 $h=0$ ，则在显著性水平＂alpha＂下不能拒绝 $H_0$ 。

调用格式 3：［h，sig，ci，stats］＝ttest（x，m，alpha，tail）．
功能：根据子样＂ x ＂，进行显著性水平为＂alpha＂的单样本＂$T$＂检验，以判断总体的均值是否为 $m$ ．

> 注＂sig＂为与样本＂ x ＂有关的 $p$ 值，表示能够由样本＂ x ＂做出拒绝原假设的最小显著性水平。

＂ci＂为均值真值的＂1－alpha＂置信区间。
结构数组＂stats＂中包含统计量 $T$ 的值 $\frac{\bar{x}-m}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ 、自由度和样本标准．

某种电子元件的寿命 $X$（单位： h ）服从正态分布，$\mu$ 和 $\sigma^2$ 均未知．现测得 16个电子元件的寿命如下。
`例`
$$
\begin{array}{llllllllllllllll}
159 & 280 & 101 & 212 & 224 & 379 & 179 & 264 & 222 & 362 & 168 & 250 & 149 & 260 & 485 & 170
\end{array}
$$

问：是否有理由认为电子元件的平均寿命大于 $225 \mathrm{~h} ? \quad(\alpha=0.05)$
解 $\sigma^2$ 末知，在 $\alpha=0.05$ 下检验假设：

$$
H_0: \mu=\mu_0=225, \quad H_1: \mu>\mu_0=225 .
$$

在 MATLAB 的命令行窗口中输入以下代码．
``` 
>> clear
 >> x = [159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170];
 >> [h, sig, muci] = ttest(x, 225, 0.05, 1)
```
按回车键后可得结果如下．
```
h = 
       0
 sig = 
      0.2570
 muci = 
   198.2321       Inf
```
由于“sig = 0.2570”，因此没有充分的理由认为电子元件的平均寿命大于225h．

## 　两个正态总体（方差均未知但相等）均值差的假设检验
 在 MATLAB 中，对于两个独立正态总体（方差均未知但相等），关于其均值差的检验用 ttest2 函数．该函数的调用格式和功能如下．

调用格式 1：$h=\operatorname{ttest} 2(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 。
功能：$x$ 和 $y$ 为取自两个独立正态总体（方差均未知但相等）的两个样本，检验两个正态总体的均值是否相等．若返回 $h=1$ ，则可以在 0.05 的水平下拒绝 $H_0$（均值相等），即可认为两个总体的均值不相等；若返回 $h=0$ ，则不能在 0.05 的水平下拒绝 $H_0$ ，即不能认为两个总体的均值不相等．
  
调用格式 2：［h，significance，ci］＝ttest2（x，y，alpha，tail）。
功能：＂alpha＂为给定的显著性水平，＂tail＂用于指定是进行单侧检验还是进行双侧检验．若返回 $h=1$ ，则可以在＂alpha＂水平下拒绝 $H_0$ ；若返回 $h=0$ ，则不能在＂alpha＂水平下拒绝 $H_0$ ．＂significance＂是与＂ x ＂＂ y ＂有关的 $p$ 值，即为能够利用＂ x ＂＂ y ＂做出拒绝 $H_0$ 的最小显著性水平．＂ci＂为两个总体均值差 $\left(\mu_x-\mu_y\right)$ 的＂1－alpha＂置信区间．

注＂tail＂可以有下面 3 个取值．
（1）＂tail＂为 0 或＇both＇（为默认设置）：指定备择假设 $H_1$ 为 $\mu_x \neq \mu_y$ 。
（2）＂tail＂为 1 或＇right＇：指定备择假设 $H_1$ 为 $\mu_x>\mu_y$ 。
（3）＂tail＂为 -1 或＇left＇：指定备择假设 $H_1$ 为 $\mu_x<\mu_y$ 。

`例` 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法是否会增加钢的产率，试验在同一个平炉上进行，每炼一炉钢时，除操作方法外，其他条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，之后交替进行，各炼 10 炉，其产率（\％）分别如下。

标准方法：78．1，72．4，76．2，74．3，77．4，78．4，76．0，75．5，76．7，77．3．
新方法：79．1，81．0，77．3，79．1，80．0，79．1，79．1，77．3，80．2，82．1．
设两个样本相互独立，且分别来自正态总体 $N\left(\mu_1, \sigma^2\right)$ 和 $N\left(\mu_2, \sigma^2\right), \mu_1, \mu_2, \sigma^2$ 均未知．问：新方法能否提高产率？（ $\alpha=0.05$ ）

解 两个总体的方差相等，在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下检验假设：

$$
H_0: \mu_1=\mu_2, \quad H_1: \mu_1<\mu_2 .
$$

在 MATLAB 的命令行窗口中输入以下代码．

``` 
>> X = [78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3];
 >> Y = [79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1];
 >> [h, sig, ci] = ttest2(X, Y, 0.05, -1)
```
按回车键可得结果如下
``` 
h = 
       1
 2 ，µ µ σ
 1 2
 , , 2均未知．问：
微课：例8.20
 189
 sig = 
      2.1759e-04          % 说明两个总体均值相等的概率很小
ci = 
         -Inf   -1.9083
```
由h = 1 可知，在显著性水平α =0.05下可拒绝原假设，即认为新方法能提高产率

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