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平行六面体的有向体积

在第二章我们曾指出，数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵是线性代数的重要研究对象。本章的目的是为研究 $n$ 阶方阵提供一个有力的工具，这就是一个 $n$ 阶方阵的行列式。

在日常生活中，人们用身高、体重等数据来描述一个人在形体方面的特征。在物理学中，用物体的体积、质量等数据来刻画该物体的物理属性，这种方法也被用来研究矩阵。方阵是一个正方表格，它本身不是数，但我们可以用某些数据来刻画它的某种特征。本章阐述的行列式概念，就是用来刻画数域 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵的某种特征的一个重要数据．

## § 1 平行六面体的有向体积
在给出方阵的行列式的概念之前，我们先来讨论一个重要的几何实例。

在三维几何空间中取定一个右手直角坐标系 $O x y z$ ，如图 3.1 所示．这时空间任一向量 $\boldsymbol{a}$（其起点都放在坐标原点 $O$ ）可用坐标向量

![图片](/uploads/2025-10/0e03c4.jpg)
 
 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 表示：

$$
\boldsymbol{a}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k} .
$$

$x, y, z$ 称为 $\boldsymbol{a}$ 在此坐标系的坐标，是唯一确定的．$(x, y, z)$ 现在是实数域上三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 中的一个向量。三维几何空间中的向量和 $\mathbb{R}^3$中的向量按此方法建立一一对应．于是我们不妨直接写成 $\boldsymbol{a}=(x, y$ ， $z)$ ．现在设

$$
\boldsymbol{a}_1=\left(x_1, y_1, z_1\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(x_2, y_2, z_2\right),
$$

那么如果按平行四边形法则把 $a_1$ 与 $a_2$ 相加，结果就是（在空间解析几何中已经证明）

$$
\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2=\left(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2\right) .
$$

对任意实数 $k$ ，又有

$$
k \boldsymbol{a}=k(x, y, z)=(k x, k y, k z) .
$$

这恰好是上一章§1所讲到的 $\mathbb{R}$ 上 3 维向量空间．
关于 $\mathbb{R}^3$ ，我们有下面基础知识：

1）在 $\mathbb{R}^3$ 中给定向量组 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，根据第二章命题 1.2 ，它们线性相关的充分必要条件是有一个向量（设为 $\boldsymbol{b}$ ）能被另一个向量线性表示 （即 $\boldsymbol{b}=k \boldsymbol{a}$ ），而在几何上，这表示两向量共线。

给定 $\mathbb{R}^3$ 中向量组 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ ，它们线性相关的充分必要条件是有一向量被其余两向量线性表示，例如 $\boldsymbol{c}=k \boldsymbol{a}+l \boldsymbol{b}$ 。在几何上，这表示 $\boldsymbol{c}$ 位于 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 所在的平面内（按向量加法的平行四边形法则）．即空间中三向量线性相关的充分必要条件是它们共面．

2）给定两向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的点乘是

$$
a \cdot b=|a||b| \cos \langle a, b\rangle,
$$

即为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的长度和夹角余弦的连乘积（当 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 有一为零向量时， $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ ）。如果

$$
\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \quad \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right),
$$

那么

$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 .
$$

点乘有如下基本性质：
（i）对称性： $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$ ；

（ii）$\left(k_1 \boldsymbol{a}_1+k

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【高等数学】空间向量与空间坐标系

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