最后更新: 2026-01-11 09:23 查看: 68 次纠错评论(0) 课件开VIP

平行六面体的有向体积

在第二章我们曾指出，数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵是线性代数的重要研究对象。本章的目的是为研究 $n$ 阶方阵提供一个有力的工具，这就是一个 $n$ 阶方阵的行列式。

在日常生活中，人们用身高、体重等数据来描述一个人在形体方面的特征。在物理学中，用物体的体积、质量等数据来刻画该物体的物理属性，这种方法也被用来研究矩阵。方阵是一个正方表格，它本身不是数，但我们可以用某些数据来刻画它的某种特征。本章阐述的行列式概念，就是用来刻画数域 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵的某种特征的一个重要数据．

## § 1 平行六面体的有向体积
在给出方阵的行列式的概念之前，我们先来讨论一个重要的几何实例。

在三维几何空间中取定一个右手直角坐标系 $O x y z$ ，如图 3.1 所示．这时空间任一向量 $\boldsymbol{a}$（其起点都放在坐标原点 $O$ ）可用坐标向量

![图片](/uploads/2025-10/0e03c4.jpg)
 
 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 表示：

$$
\boldsymbol{a}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k} .
$$

$x, y, z$ 称为 $\boldsymbol{a}$ 在此坐标系的坐标，是唯一确定的．$(x, y, z)$ 现在是实数域上三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 中的一个向量。三维几何空间中的向量和 $\mathbb{R}^3$中的向量按此方法建立一一对应．于是我们不妨直接写成 $\boldsymbol{a}=(x, y$ ， $z)$ ．现在设

$$
\boldsymbol{a}_1=\left(x_1, y_1, z_1\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(x_2, y_2, z_2\right),
$$

那么如果按平行四边形法则把 $a_1$ 与 $a_2$ 相加，结果就是（在空间解析几何中已经证明）

$$
\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2=\left(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2\right) .
$$

对任意实数 $k$ ，又有

$$
k \boldsymbol{a}=k(x, y, z)=(k x, k y, k z) .
$$

这恰好是上一章§1所讲到的 $\mathbb{R}$ 上 3 维向量空间．
关于 $\mathbb{R}^3$ ，我们有下面基础知识：

1）在 $\mathbb{R}^3$ 中给定向量组 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，根据第二章命题 1.2 ，它们线性相关的充分必要条件是有一个向量（设为 $\boldsymbol{b}$ ）能被另一个向量线性表示 （即 $\boldsymbol{b}=k \boldsymbol{a}$ ），而在几何上，这表示两向量共线。

给定 $\mathbb{R}^3$ 中向量组 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ ，它们线性相关的充分必要条件是有一向量被其余两向量线性表示，例如 $\boldsymbol{c}=k \boldsymbol{a}+l \boldsymbol{b}$ 。在几何上，这表示 $\boldsymbol{c}$ 位于 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 所在的平面内（按向量加法的平行四边形法则）．即空间中三向量线性相关的充分必要条件是它们共面．

2）给定两向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的点乘是

$$
a \cdot b=|a||b| \cos \langle a, b\rangle,
$$

即为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的长度和夹角余弦的连乘积（当 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 有一为零向量时， $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ ）。如果

$$
\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \quad \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right),
$$

那么

$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 .
$$

点乘有如下基本性质：
（i）对称性： $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$ ；

（ii）$\left(k_1 \boldsymbol{a}_1+k_2 \boldsymbol{a}_2\right) \cdot \boldsymbol{b}=k_1 \boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{b}+k_2 \boldsymbol{a}_2 \cdot \boldsymbol{b}$ ；
（iii） $\boldsymbol{a} \cdot\left(l_1 \boldsymbol{b}_1+l_2 \boldsymbol{b}_2\right)=l_1 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}_1+l_2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}_2$ ．
3）给定向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的叉乘定义为一个向量 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，当 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$共线时，$c$ 为零向量，当 $a, b$ 不共线时，$c$ 与 $a, b$ 所决定的平面垂直，其指向使 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 组成一个右手系，而 $\boldsymbol{c}$ 的长度为

$$
|c|=|a| \cdot|b| \sin \langle a, b\rangle,
$$

这数值恰为以 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为边的平行四边形的面积．
如设

$$
\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \quad \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right),
$$

那么，在空间解析几何里已证明

$$
\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(a_2 b_3-a_3 b_2, a_3 b_1-a_1 b_3, a_1 b_2-a_2 b_1\right) .
$$

为了把上面向量 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 的三个坐标与 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的坐标之间的关系更清楚地表达出来，现在我们引进一个记号．对任意数域 $K$ 上的二阶方阵

$$
A=\left[\begin{array}{ll}
x_1 & x_2 \\
y_1 & y_2
\end{array}\right],
$$

定义

$$
|A|=\left|\begin{array}{ll}
x_1 & x_2 \\
y_1 & y_2
\end{array}\right|=x_1 y_2-x_2 y_1
$$

即 $|A|$ 为此方阵主对角线两元素 $x_1, y_2$ 之积减去另一对角线上两元素 $x_2, y_1$ 之积。 $|A|$ 称为方阵 $A$ 的行列式。于是两向量叉乘的坐标可以写成

$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(\left|\begin{array}{cc}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_3
\end{array}\right|,-\left|\begin{array}{cc}
a_1 & a_3 \\
b_1 & b_3
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{array}\right|\right) .
$$

如把 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的坐标写成一个 $2 \times 3$ 矩阵：

$$
\left[\begin{array}{lll}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{array}\right]
$$

那么 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 的第 $i$ 个坐标为划去上面矩阵的第 $i$ 列后剩下的 2 阶方阵的行列式再乘以 $(-1)^{i+1}$ ．

向量叉乘有如下性质：
（i） $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$ ；
（ii）$\left(k_1 \boldsymbol{a}_1+k_2 \boldsymbol{a}_2\right) \times \boldsymbol{b}=k_1 \boldsymbol{a}_1 \times \boldsymbol{b}+k_2 \boldsymbol{a}_2 \times \boldsymbol{b}$ ；
（iii） $\boldsymbol{a} \times\left(l_1 \boldsymbol{b}_1+l_2 \boldsymbol{b}_2\right)=l_1 \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_1+l_2 \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_2$ ．
4）给定 $\mathbb{R}^3$ 中三个向量

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \\
& \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right), \\
& \boldsymbol{c}=\left(c_1, c_2, c_3\right) .
\end{aligned}
$$

以它们为棱组成空间中一个平行六面体（见图3．2）．

![图片](/uploads/2025-10/a273b0.jpg)

这个平行六面体用如下三阶方阵表示：

$$
A=\left[\begin{array}{lll}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right]
$$

那么， $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 三向量的混合积

$$
V=a \cdot(b \times c)
$$

表示这个平行六面体的有向体积，其绝对值等于该平行六面体的体积，当 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 组成右手系时取正号，反之取负号．我们把它记为

$$
V=|A|=\left|\begin{array}{lll}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right|
$$

按照前面点乘、叉乘的坐标计算公式，有

$$
\begin{aligned}
V & =|A|=\left|\begin{array}{lll}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right| \\
& =a_1\left|\begin{array}{ll}
b_2 & b_3 \\
c_2 & c_3
\end{array}\right|-a_2\left|\begin{array}{ll}
b_1 & b_3 \\
c_1 & c_3
\end{array}\right|+a_3\left|\begin{array}{ll}
b_1 & b_2 \\
c_1 & c_2
\end{array}\right| .
\end{aligned}
$$

我们把 $|A|$ 称为三阶方阵 $A$ 的行列式。所以，一个 $\mathbb{R}$ 上三阶方阵 $A$的行列式 $|A|$ 是刻画该三阶方阵（现在代表三维几何空间中一个平行六面体）特性的一个重要数据，它是这个三阶方阵所代表的平行六面体的有向体积．

方阵 $A$ 的行列式有如下基本性质：
1）根据点乘和叉乘的基本性质可知，如果 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 中有一个向量为两个向量的线性组合，例如 $\boldsymbol{a}=k_1 \boldsymbol{a}_1+k_2 \boldsymbol{a}_2$（这相当于方阵 $A$ 中第一个行向量为两个向量的线性组合），此时

$$
\begin{aligned}
|A| & =\left(k_1 a_1+k_2 a_2\right) \cdot(b \times c) \\
& =k_1 a_1 \cdot(b \times c)+k_2 a_2 \cdot(b \times c) \\
& =k_1\left|A_1\right|+k_2\left|A_2\right|,
\end{aligned}
$$

其中 $A_1, A_2$ 为分别以 $a_1, a_2$ 为第一行的三阶方阵。方阵 $A$ 的行列式 $|A|$ 的这个性质称为行线性；

2）如果 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 线性相关，即 $A$ 的行向量线性相关，亦即 $A$ 不满秩，此时三向量共面，它们决定的平行六面体的体积为 0 ，故此时 $A$的行列式 $|A|=0$ ．

3）如果 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 为三个坐标向量：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a}=\boldsymbol{i}=(1,0,0) \\
& \boldsymbol{b}=\boldsymbol{j}=(0,1,0) \\
& \boldsymbol{c}=\boldsymbol{k}=(0,0,1)
\end{aligned}
$$

那么它们排成三阶单位矩阵

$$
E=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right],
$$

这时它代表的是单位立方体，体积为 1 ，亦即

$$
|E|=\left|\begin{array}{llr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|=1
$$

从上面这个几何实例我们得到如下启示：对任意数域 $K$ 上的 $n$阶方阵 $A$ ，我们可以用一个数 $|A|$ 来刻画它的某种属性（就像用质量来刻画一个物体的物理属性一样），而这个数 $|A|$ 应满足如下三条基本性质：

2）如果 $A$ 不满秩，则 $|A|=0$ ．
3）当 $A$ 为单位矩阵时，应有 $|E|=1$ ．
在下一节，我们就按这三条原则来给出任意数域 $K$ 上 $n$ 阶方阵 $A$ 的行列式 $|A|$ 的严格定义．

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