最后更新: 2025-10-03 14:48 查看: 47 次纠错评论(0) 课件开VIP

引言线性空间与线性变换

## 引言 线性空间与线性变换
在第二章我们引进了数域 $K$ 上的向量空间与矩阵的概念，并阐明它们在代数学中的地位：$K$ 上 $m$ 维向量空间 $K^m$ 是一个最初等的代数系统，而 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵则代表 $K^n$ 到 $K^m$ 的一个保持加法、数乘运算的映射．这样，我们已经在从经典代数学向近代的代数学过渡中迈出了关键性的一步．我们已经摆脱了数及其四则运算的局限性，进入了一类不是由普通的数所构成的集合，在这个集合内研究不是普通数的运算的两种新的运算。我们首先提请读者注意这一个重要的转折：我们的研究已经进入一个新的领域，我们的思想必须适应这个变化，不能处处都把中学代数中已经习惯了的一些东西不加考虑地照搬到这个新的领域中来，因为那里的许多东西现在已经不适用了．
但是我们又要看到，这个转变还处在一个比较低的层次上．因为，$K^m$ 中的元素虽然不是普通的数，却仍然局限于是 $K$ 上的 $m$ 元有序数组．就是说，我们的进步，只是从研究单个的数进到研究一组数．我们说到＂向量＂，就意味着一组具体的数，一说到向量＂加法＂就是具体的＂对应坐标（或分量）相加＂，数乘就是＂$k$ 乘向量的每个坐标＂．如果我们仍然停留在这个水平上，那我们的认识还没有提升到应有的高度．数学作为一门科学，它的任务就是要从感性上升到理性，从具体上升到抽象，只有这样，才有理论上的实质性进展，我们对该理论的认识才能深入，该理论的应用领域才能更加宽广．数学史提供了无数这样的例子，说明当人们的认识被一些具体的非本质的事物束缚不能自拔时，数学发展就受到严重的阻滞，而当人们摆脱这种束缚时，理论就有了重大的突破．最典型的例子就是对＂数＂的认识．长时间内，人们总认为＂数＂就是各种具体事物在量上的体现，例如某种东西有多少重量，多大体积，线段长度有多少，几何图形面积有多少，某几何体的体积有多少等等。总之，人们天经地义地认为＂数＂应当是＂实实在在＂的，以至于直到今天，我们仍然把认识中的这种＂数＂称为＂实数＂．由于这个原因，在长达数百年时间内人们不承认＂复数＂，把它称为＂虚数＂．而今天我们已经清楚地看到，如果没有复数，那对数学以至整个自然科学都是无法想象的．实际上，＂数＂在根本上是它具有加法和乘法两种运算（这些运算应满足第二章 § 1 所指出的九条运算法则），而不在于它是否＂实实在在＂地代表某种量。从这个观点看，从实数发展到复数是非常自然和合理的．正是由于这个发展，才得以建立经典代数学的基本定理：高等代数基本定理；正是这个发展，才使＂数＂在各个领域发挥更大的作用，数学才得以有长足的进步．

因此，我们关于向量空间和矩阵的认识还需要从理论上再提高一步，要实现从具体到抽象的又一次飞跃．但是，首先要问：实现这又一次的飞跃的依据是什么呢？这依据就在于：如果我们仔细分析一下就可以发觉，第二章关于向量空间的一切概念及有关命题（包括它们的证明）都不依赖于向量的 $m$ 元有序数组的具体表达式，也不依赖于向量加法、数乘的具体计算式，而只依赖于如下两点：1）向量间有加法，与数域 $K$ 内的数可以作数乘（不管具体如何做加法及数乘）；2）加法、数乘满足八条运算法则。这一事实告诉我们：可以把向量的 $m$ 元数组这一具体表达形式及加法、数乘的具体计算式这些非本质的东西抛弃，只把最根本的八条运算法则保留下来（这时它们就不能从理论上给予证明，而要当作＂公理＂加以承认）。这样，我们就形成了本章的核心概念，也是线性代数这门学科的基本研究对象：数域 $K$ 上的抽象线性空间。

矩阵是数域 $K$ 上向量空间之间保持向量加法与数乘运算的映射。现在我们已经把向量空间提升为抽象的线性空间，那么，矩阵也相应地被提升为抽象线性空间之间保持向量（不再是 $m$ 元有序数组）加法、数乘运算的映射，即线性空间之间的线性映射，特别是一个线性空间到自身的线性变换．这就是本章的第二个核心概念．

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