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线性空间的基本概念

## § 1 线性空间的基本概念

1．线性空间的定义和实例
在引言中已经指出：向量空间的实质是它有两种运算并满足八条法则，而其具体的表现形式是非本质的，应予舍弃。为了帮助读者理解这一思想，下面先来看一个实例。

例如，考查闭区间 $[a, b]$ 上全体实连续函数 $f(x)$ 所组成的集合，我们记之为 $C[a, b]$ 。这个集合内任意两个元素 $f(x)$ 与 $g(x)$ ，它们作为函数可以有加法运算：$f(x)+g(x)$ ，而且其和仍为 $[a, b]$ 上的连续函数，也就是仍然属于集合 $C[a, b]$ 。对任一实数 $k$ ，有乘法 $k f(x)$ ，且乘以 $k$ 后所得的 $k f(x) \in C[a, b]$ 。这样一来，在集合 $C[a, b]$的元素之间有加法和与实数的数乘运算．不难验证，这两种运算具有第二章命题1．1所指出的八条基本性质，因而第二章§1中的所有概念和命题就可以应用到 $C[a, b]$ 上来了。 $C[a, b]$ 中的元素和 $m$ 维向量空间中的向量是根本不同的两种东西，但从上面的分析可知，它们之间有着某些共同点．这些共同点追根究源是由于它们都具有上面所说的两种运算和八条性质而产生的。

像 $C[a, b]$ 这样的例子还可以举出很多，从理论上加以概括和抽象化，就得到线性空间的一般性概念．
定义 设 $V$ 是一个非空集合，$K$ 是一个数域．又设：
（i）在 $V$ 中定义了一种运算，称为加法．即对 $V$ 中任意两个元素 $\alpha$ 与 $\beta$ ，都按某一法则对应于 $V$ 内唯一确定的一个元素，记之为 $\alpha+\beta$ ；
（ii）在 $K$ 中的数与 $V$ 的元素间定义了一种运算，称为数乘．即对 $V$ 中任意元素 $\alpha$ 和数域 $K$ 中任意数 $k$ ，都按某一法则对应于 $V$ 内唯一确定的一个元素，记之为 $k \alpha$ 。

如果加法与数乘满足下面列出的八条运算法则，那么称 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间。

加法和数乘满足下面的八条运算法则：

（i）对任意 $\alpha, \beta, \gamma \in V, \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$ ；
（ii）对任意 $\alpha, \beta \in V, \alpha+\beta=\beta+\alpha$ ；
（iii）存在一个元素 $0 \in V$ ，使对一切 $\alpha \in V$ ，有

$$
\alpha+0=\alpha
$$

此元素 0 称为 $V$ 的零元素；
（iv）对任一 $\alpha \in V$ 都存在 $\beta \in V$ ，使

$$
\alpha+\beta=0
$$

$\beta$ 称为 $\alpha$ 的一个负元素；
（v）对数域中的数 1 ，有 $1 \cdot \alpha=\alpha$ ；
（vi）对任意 $k, l \in K, \alpha \in V$ ，有

$$
(k l) \alpha=k(l \alpha) ;
$$

（vii）对任意 $k, l \in K, \alpha \in V$ ，有

$$
(k+l) \alpha=k \alpha+l \alpha
$$

（viii）对任意 $k \in K, \alpha, \beta \in V$ ，有

$$
k(\alpha+\beta)=k \alpha+k \beta
$$

显然，第二章§ 1 中讲的数域 $K$ 上 $m$ 维向量空间是 $K$ 上的线性空间的一个具体例子．上面讲到的集合 $C[a, b]$ ，关于函数加法及与实数的乘法则组成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间．下面再举一些例子．

例1．1 取集合 $V$ 为三维几何空间中全体向量（有向线段），$K$为实数域 $\mathbb{R}$ ．则 $V$ 关于向量加法（平行四边形法则）和与实数的数乘构成一实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间。

例 1.2 取数域 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵的全体所成的集合 $M_{m, n}(K)$ ，加法和数乘为矩阵加法和数乘。显然，定义中的八条性质是具备的，因此，$M_{m, n}(K)$ 构成一数域 $K$ 上的线性空间。

例1．3 取全体实数所成的集合 $\mathbb{R}$ ，其加法为普通实数的加法，其与有理数的数乘为普通数的乘法，则 $\mathbb{R}$ 为有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的一个线性空间。

例1．4 取以数域 $K$ 的元素作系数的一元多项式 $f(x)$ 的全体所成的集合，记之为 $K[x]$ 。加法为通常多项式的加法，与 $K$ 的元素的数乘为通常数与多项式的乘法。显然，定义中的八条性质是具备的，因而 $K[x]$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间．

例1．5 取以数域 $K$ 的元素作系数而次数小于 $n$ 的一元多项式 $f(x)$ 的全体再加上零多项式所成的集合，记之为 $K[x]_n$ ．加法与数乘运算同例1．4．显然，$K[x]_n$ 也是数域 $K$ 上的一个线性空间。

如果取 $V$ 为 $K[x]$ 中全体 $n$ 次多项式（ $n$ 为一个固定的正整数）所成的集合，加法与数乘定义同例1．4，那么此时 $V$ 不成一线性空间，因为它关于加法运算不封闭（或者更确切地说，这个集合内多项式的加法并不总有意义）．例如：$x^n \in V,-x^n \in V$ ，但 $\left(x^n\right)+\left(-x^n\right)= 0 \notin V$ 。

从上面的例子已经可以看出，线性空间的概念比 $m$ 维向量空间的概念具有更大的普遍性，因而，它的应用范围也更广。

因为线性空间是从向量空间抽象出来的，所以我们把线性空间的元素也称为向量．显然，它已不再具有三维几何空间中向量的几何直观意义，也不再具有 $m$ 维向量空间中向量的 $m$ 元有序数组的具体形式．线性空间中的零元素称为零向量．一个向量 $\alpha$ 的负元素则称为 $\alpha$ 的负向量。

2．线性空间的基本属性
设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间．由于 $V$ 内的加法和数乘是以抽象的形式给出来的，可能跟我们熟悉的数或向量空间中向量的加法和数乘相去甚远，因此，我们已经习以为常的一些事实，都需要从逻辑上加以证明以确认其正确性．下面把主要的事实列举出来．

1）$V$ 中零向量是唯一的．
设 $V$ 中又有另一 $o^{\prime}$ 也满足零向量的要求，那么按运算法则（iii）及（ii），有

$$
o^{\prime}=o^{\prime}+0=0+o^{\prime}=0
$$

$V$ 中唯一的零向量今后固定记为 0 ．
2）$V$ 中任一向量 $\alpha$ 的负向量是唯一的．
设 $\beta, \beta_1$ 均为 $\alpha$ 的负向量，则

$$
\begin{aligned}
\beta & =\beta+0=\beta+\left(\alpha+\beta_1\right)=(\beta+\alpha)+\beta_1 \\
& =0+\beta_1=\beta_1 .
\end{aligned}
$$

$\alpha$ 的唯一负向量今后固定记为 $-\alpha$ ，而 $\alpha+(-\gamma)$ 记做 $\alpha-\gamma$ ，并称之为$V$ 内的减法．
3）加法有消去律，即由 $\alpha+\beta=\alpha+\gamma$ 可推出 $\beta=\gamma$ ．
只要两边加上 $-\alpha$ ，有

$$
(-\alpha)+(\alpha+\beta)=(-\alpha)+(\alpha+\gamma),
$$

利用加法的结合律，有

即有

$$
\begin{gathered}
((-\alpha)+\alpha)+\beta=((-\alpha)+\alpha)+\gamma, \\
\beta=0+\beta=0+\gamma=\gamma .
\end{gathered}
$$

4）加法可移项，即由 $\alpha+\beta=\gamma$ 推出 $\alpha=\gamma-\beta$ ．我们有

$$
\begin{aligned}
\alpha & =\alpha+0=\alpha+(\beta+(-\beta))=(\alpha+\beta)+(-\beta) \\
& =\gamma+(-\beta)=\gamma-\beta .
\end{aligned}
$$

5） $0 \cdot \alpha=0 ;(-1) \alpha=-\alpha, k \cdot 0=0$ ．
分别证这三个等式：
因为 $0 \cdot \alpha+0 \cdot \alpha=(0+0) \alpha=0 \cdot \alpha$ ，移项得

$$
0 \cdot \alpha=0 \cdot \alpha-0 \cdot \alpha=0 ;
$$

因为 $\alpha+(-1) \cdot \alpha=1 \cdot \alpha+(-1) \cdot \alpha=(1+(-1)) \alpha=0 \cdot \alpha=0$ ，故 $(-1) \alpha$ 为 $\alpha$ 的负向量，又由负向量的唯一性即知 $(-1) \alpha=-\alpha$ ；

因为 $k \cdot 0+k \cdot 0=k(0+0)=k \cdot 0=k \cdot 0+0$ ，由消去律即知 $k \cdot 0=0$ ．

6）若 $k \alpha=\beta, k \neq 0$ ，则 $\alpha=\frac{1}{k} \beta$ ．
这是因为 $\alpha=1 \cdot \alpha=\left(\frac{1}{k} k\right) \cdot \alpha=\frac{1}{k}(k \alpha)=\frac{1}{k} \beta$ ．由此立即推出，当 $k \alpha=0$ 且 $k \neq 0$ 时必有 $\alpha=\frac{1}{k} \cdot 0=0$ ．

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