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线性相关与线性无关

3．线性空间的基本概念
对数域 $K$ 上的 $m$ 维向量空间 $K^m$ ，我们在第二章§ 1 中已经给出了一些基本概念和命题。在引言中已指出，这些概念和命题都仅仅用到加法、数乘的八条运算法则，而与向量的具体表达形式（ $m$ 元有序数组）及向量加法、数乘的具体形式无关，而八条运算法则现在已经作为公理包含在线性空间的定义之中，所以那里涉及的基本概念及命题（即命题 $1.2,1.3,1.4,1.5,1.6$ 及它们的推论）对数域 $K$ 上
的任意线性空间也都是成立的，不需重新证明，可以直接引用．下面只把几个重要概念简单重复说一下。

1）给定 $V$ 内一个向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ ，如果对 $V$ 内一个向量 $\beta$ ，存在数域 $K$ 内的 $s$ 个数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使

$$
\beta=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s,
$$

则称 $\beta$ 可被向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性表示．
2）给定 $V$ 内一个向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ ，如果存在 $K$ 内不全为零的 $s$ 个数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0
$$

则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关．如果由

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0
$$

必定推出 $k_1=k_2=\cdots=k_s=0$ ，则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关．
3）给定 $V$ 内两个向量组

$$
\begin{aligned}
& \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r, \\
& \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s,
\end{aligned}
$$

如果（I）中任一向量都能被（II）线性表示，反过来，（II）中任一向量也都能被（I）线性表示，则称两向量组等价．
4）给定 $V$ 内一个向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ ，如果它有一个部分组 $\alpha_{i_1}$ ， $\alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 满足如下条件：
（i）$\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 线性无关；
（ii）原向量组中任一向量都能被 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 线性表示，则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组．一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量，其向量数目称为该向量组的秩．

在第二章§ 1 中指出，$K^m$ 中一个向量组线性相关或线性无关等价于一个齐次线性方程组有无非零解．现在处理的是一般抽象线性空间，向量一般说不再是 $m$ 元有序数组，所以向量组线性相关或线性无关不能再用齐次线性方程组有无非零解来判断了．现在应该根据各具体线性空间内向量及其加法、数乘的具体含义作具体分析，不能一概而论。下面举两个例子。

例1．6 在实数域上线性空间 $C[a, b]$ 内给定向量组
$$
\mathrm{e}^{\lambda_1 x}, \mathrm{e}^{\lambda_2 x}
$$

这里 $\lambda_1, \lambda_2$ 是两个不同的实数．判断此向量组是否线性无关．
解 按定义，设此向量组的一个实系数线性组合等于零向量：

$$
k_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+k_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x}=0
$$

来判断是否 $k_1=k_2=0$ ．首先要弄清上面等式的含意是什么．等式左端是 $[a, b]$ 上两个连续函数分别乘以实数 $k_1, k_2$ 再相加，它仍然为 $[a, b]$ 内一个连续函数。右端的 0 为 $C[a, b]$ 内的零向量，容易知道， $C[a, b]$ 的零向量为区间 $[a, b]$ 内的常数函数 0 ，所以上述线性空间内的等式＂翻译＂成数学分析的语言就是：能否找到两个不全为零实数 $k_1, k_2$ ，使左端的连续函数为 $[a, b]$ 内常数函数零。

方法1 用反证法。设有不全为 0 的实数 $k_1, k_2$ ，使 $k_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+k_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x} \equiv 0(\forall x \in[a, b])$ 。不妨设 $k_1 \neq 0$ ，那么（现在可以使用数学分析的知识）我们有

$$
\mathrm{e}^{\left(\lambda_1-\lambda_2\right) x}=-\frac{k_2}{k_1}
$$

因 $\lambda_1-\lambda_2 \neq 0$ ，左端为指数函数．而右端为 $[a, b]$ 内常数函数．在区间 $[a, b]$ 内两函数相等，这与指数函数为 $[a, b]$ 内单调函数（非常数函数）矛盾。故必有 $k_1=k_2=0$ 。即向量组 $\mathrm{e}^{\lambda_1 x}, \mathrm{e}^{\lambda_2 x}$ 为 $C[a, b]$ 内线性无关向量组．

方法 2 将 $[a, b]$ 内函数等式

$$
k_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+k_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x}=0
$$

两边在开区间 $(a, b)$ 内求微商，得

$$
k_1 \lambda_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+k_2 \lambda_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x}=0
$$

现在把 $k_1, k_2$ 当作未知量，上面两式联立，是两个未知量两个方程的齐次线性方程组，其系数矩阵的行列式为

$$
\left|\begin{array}{cc}
\mathrm{e}^{\lambda_1 x} & \mathrm{e}^{\lambda_2 x} \\
\lambda_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x} & \lambda_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x}
\end{array}\right|=\mathrm{e}^{\left(\lambda_1+\lambda_2\right) x}\left(\lambda_2-\lambda_1\right) .
$$

此行列式对（ $a, b$ ）内任意 $x$ 均不为 0 。而 $k_1, k_2$ 满足的上面两个方程对任意 $x \in(a, b)$ 均成立。在此情况下，根据第三章定理3．1知 $k_1=k_2 =0$ ，故向量组 $\mathrm{e}^{\lambda_1 x}, \mathrm{e}^{\lambda_2 x}$ 为 $C[a, b]$ 内线性无关向量组．

方法3 等式

$$
k_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+k_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x} \equiv 0
$$

对区间 $[a, b]$ 内任意 $x$ 均成立．现分别令 $x=a, b$ 代入：

$$
\left\{\begin{array}{l}
k_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 a}+k_2 \mathrm{e}_2{ }^a=0, \\
k_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 b}+k_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 b}=0 .
\end{array}\right.
$$

把 $k_1, k_2$ 当作未知量求上面齐次线性方程组的解：写出系数矩阵，作消元法

$$
\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{e}^{\lambda_1 a} & \mathrm{e}^{\lambda_2 a} \\
\mathrm{e}^{\lambda_1 b} & \mathrm{e}^{\lambda_2 b}
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{e}^{\lambda_1 a} & \mathrm{e}^{\lambda_2 a} \\
0 & \mathrm{e}^{\lambda_2 b}-\mathrm{e}^{\lambda_2 a+\lambda_1 b-\lambda_1 a}
\end{array}\right] .
$$

易知 $\mathrm{e}^{\lambda_2 b}-\mathrm{e}^{\lambda_2 a+\lambda_1(b-a)} \neq 0$ ，故上面齐次线性方程组只有零解，即 $k_1=k_2 =0$ ，于是 $\mathrm{e}^{\lambda_1 x}, \mathrm{e}^{\lambda_2 x}$ 线性无关．

例 1.7 考査集合

$$
\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\} .
$$

在其中定义加法为普通实数的加法，与任意有理数 $k$ 的数乘为有理数与实数的乘法。那么，关于上述加法与数乘， $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 为有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的线性空间（八条公理显然满足）．在此线性空间内给定向量组

$$
-2,3, \sqrt{2} .
$$
它线性相关．因为令 $k_1=\frac{1}{2}, k_2=\frac{1}{3}, k_3=0$ ，它是 $\mathbb{Q}$ 上一组不全为 0的数，使

$$
k_1 \cdot(-2)+k_2 \cdot(3)+k_3(\sqrt{2})=0 .
$$

如果考查 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 内向量组

$$
3, \sqrt{2} .
$$

为判断其是否线性相关，设有 $k_1, k_2 \in \mathbb{Q}$ ，使

$$
k_1 \cdot(3)+k_2(\sqrt{2})=0 .
$$

若 $k_2 \neq 0$ ，则

$$
\sqrt{2}=-\frac{3 k_1}{k_2} \in \mathbb{Q},
$$

这与 $\sqrt{2}$ 为无理数矛盾．故必有 $k_2=0$ ，代入原式立得 $k_1=0$ ，故 3 ， $\sqrt{2}$ 为线性空间 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 内的一个线性无关向量组．

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