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基和维数

4．基和维数
在有了线性空间的概念之后，现在我们就可以把研究深入一步了．本段的内容是介绍线性空间的一个核心概念：基和维数．首先证明一个命题。

命题1．1 设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间．如果在 $V$ 中存在 $n$ 个线性无关的向量

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n,
$$

使 $V$ 中任一向量均能被（I）线性表示，那么，有
（i）任给 $V$ 内 $n$ 个线性无关向量

$$
\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n,
$$

则 $V$ 中任一向量都能被（II）线性表示；
（ii）如果 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 是 $V$ 的一个线性无关向量组，且 $V$ 内任一向量均能被它们线性表示，则 $s=n$ ．

证（i）任给 $\alpha \in V$ ，考查向量组

$$
\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n, \alpha .
$$
它们能被（I）线性表示，其个数 $>n$ ，由第二章命题 1.4 ，此向量组线性相关。已知 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 线性无关，由第二章命题3．2知 $\alpha$ 可被 $\eta_1$ ， $\eta_2, \cdots, \eta_n$ 线性表示．
（ii）根据所给的条件，$\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 与 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 等价，由第二章命题1．5的推论2，它们的秩相同．它们又都是线性无关的，其秩分别为 $s$ 与 $n$ ，故 $s=n$ ．

根据命题1．1，我们可以给出如下一个重要概念：
定义 设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间．如果 $V$ 中存在 $n$ 个线性无关的向量

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n,
$$

使 $V$ 中任一向量均能被此向量组线性表示，则 $V$ 称为 $n$ 维线性空间，记做 $\operatorname{dim} V=n$ ．上述向量组称为 $V$ 的一组基．单由零向量组成的线性空间称为零空间．零空间的维数定义为零．

从命题1．1可知：在 $n$ 维线性空间中，任意 $n$ 个线性无关向量都是它的一组基，反之，它的任意一组基也一定恰好含有 $n$ 个向量．

显然，在一个 $n$ 维线性空间中，任意 $n+1$ 个向量都是线性相关的，所以，在一个 $n$ 维线性空间中最多只有 $n$ 个线性无关的向量。

如果一个线性空间有 $n$ 个线性无关向量，而任意 $n+1$ 个向量都线性相关，那么，按第二章命题 3.2 ，它即为 $n$ 维线性空间。

如果在一个线性空间中存在任意多个线性无关的向量，则称之为无限维线性空间．而 $n$ 维线性空间则统称为有限维线性空间．本书主要讨论有限维线性空间。

命题1．1有一个明显的推论。
推论 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间。 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $V$ 中一个向量组，使 $V$ 中任一向量可被它线性表示，则此向量组为 $V$ 的一组基。

证 此时 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $V$ 的任一组基等价，秩都为 $n$ ，故线性无关。

例 1.8 考查数域 $K$ 上全体 $m \times n$ 矩阵所组成的线性空间 $M_{m, n}(K)$ 。令 $E_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 ，其他元素为零的 $m \times n$ 矩阵。不难验证向量组 $E_{i j}$ 线性无关，且任一向量（为 $m \times n$ 矩阵）均能被它们线性表示。故 $E_{i j}(i=1,2, \cdots$ ， $m ; j=1,2, \cdots, n$ ）是线性空间 $M_{m, n}(K)$ 的一组基，于是

$$
\operatorname{dim} M_{m, n}(K)=m n .
$$

例1．8的一个特殊情况是 $m=1$ ，这就是 $n$ 维向量空间．它的一组基是

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1=(1,0, \cdots, 0), \\
& \varepsilon_2=(0,1, \cdots, 0), \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \varepsilon_n=(0,0, \cdots, 1) .
\end{aligned}
$$

现在 $K^n$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量都构成 $K^n$ 的一组基．在 $K^n$中给定 $n$ 个向量

$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{n 1}
\end{array}\right], \quad \alpha_2=\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{n 2}
\end{array}\right], \quad \ldots, \quad \alpha_n=\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{n n}
\end{array}\right],
$$

把它们作为列向量（或行向量）排成一个 $n$ 阶方阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right],
$$

那么，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $K^n$ 的一组基的充分必要条件是 $A$ 满秩，而这又与 $|A| \neq 0$ 等价。很显然，满秩的 $n$ 阶方阵有无穷多，从而 $K^n$ 内有无穷多组基。

例1．9 三维几何空间是实数域上的线性空间。在第三章 $\S 1$ 已讲到，任意三个不共面的向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 都线性无关，从几何学的知识又知道，空间中任意向量均能被 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 线性表示，所以 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 构成三维几何空间的一组基。这就是我们把现实几何空间称为＂三维空间＂的原因．

例1．10 考查例1．5的线性空间 $K[x]_n$ ．在它里面挑出 $n$ 个向量（即 $n$ 个一元多项式）

$$
1, x, x^2, \cdots, x^{n-1},
$$

我们证明它们线性无关．设

$$
k_0 \cdot 1+k_1 x+k_2 x^2+\cdots+k_{n-1} x^{n-1}=0
$$

上面的等式表示 $x$ 用数域 $K$ 内任何数代进去等式都成立．如果 $k_0$ ，

$k_1, \cdots, k_{n-1}$ 不全为零，那么等式左端是一个次数 $\leqslant n-1$ 的多项式，它最多只有 $n-1$ 个根。现在数域 $K$ 内的数都是它的根，而任一数域都包含无穷多个数，这是矛盾的．因此，必定有 $k_0=k_1=\cdots=k_{n-1}=0$ ．另一方面，$K[x]_n$ 内任一向量 $f(x)$ 显然都能被上述向量组线性表示，于是它们组成 $K[x]_n$ 的一组基．从而有

$$
\operatorname{dim} K[x]_n=n .
$$

例1．11 把全体复数所成的集合看做复数域 $\mathbb{C}$ 上的线性空间，则数1（当作向量看）是它的一组基，故此线性空间是一维的．如把全体复数所成的集合看做实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，则 $1, \mathrm{i}$ 是它的一组基，其维数为 2 ．

例1．12 考查例1．4中的线性空间 $K[x]$ ．根据例 1.10 的分析，不难看出，在向量组

$$
1, x, x^2, \cdots, x^n, \cdots
$$

中任取有限个都是线性无关的．所以，$K[x]$ 是一个无限维线性空间．
例1．13 我们来证明 $C[a, b]$ 是实数域上的无限维线性空间。
对任意正整数 $n$ ，取 $n$ 个两两不等的实数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，我们来证明 $C[a, b]$ 内的向量组

$$
\mathrm{e}^{\lambda_1 x}, \mathrm{e}^{\lambda_2 x}, \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_n x}
$$

线性无关．设

$$
k_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+k_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x}+\cdots+k_n \mathrm{e}^{\lambda_n x}=0,
$$

在 $(a, b)$ 内求 $n-1$ 次微商，得

$$
\begin{aligned}
& k_1 \lambda_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+k_2 \lambda_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x}+\cdots+k_n \lambda_n \mathrm{e}^{\lambda_n x}=0 \\
& k_1 \lambda_1^2 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+k_2 \lambda_2^2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x}+\cdots+k_n \lambda_n^2 \mathrm{e}^{\lambda_n x}=0 \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& k_1 \lambda_1^{n-1} \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+k_2 \lambda_2^{n-1} \mathrm{e}^{\lambda_2 x}+\cdots+k_n \lambda_n^{n-1} \mathrm{e}^{\lambda_n x}=0
\end{aligned}
$$

把 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 看做未知数，上面是 $n$ 个未知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组，其系数矩阵的行列式是（令 $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$ ）

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{cccc}
\mathrm{e}^{\lambda_1 x} & \mathrm{e}^{\lambda_2 x} & \cdots & \mathrm{e}^{\lambda_n x} \\
\lambda_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x} & \lambda_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x} & \cdots & \lambda_n \mathrm{e}^{\lambda_n x} \\
\lambda_1^2 \mathrm{e}^{\lambda_1 x} & \lambda_2^2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x} & \cdots & \lambda_n^2 \mathrm{e}^{\lambda_n x} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\lambda_1^{n-1} \mathrm{e}^{\lambda_1 x} & \lambda_2^{n-1} \mathrm{e}^{\lambda_2 x} & \cdots & \lambda_n^{n-1} \mathrm{e}^{\lambda_n x}
\end{array}\right| & =\mathrm{e}^{\lambda x}\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_n \\
\lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_n^2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & \cdots & \lambda_n^{n-1}
\end{array}\right| \\
& =\mathrm{e}^{\lambda x} \prod_{1 \leqslant j<i \leqslant n}\left(\lambda_i-\lambda_j\right) \neq 0 .
\end{aligned}
$$

根据第三章定理 $3.1, k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ ．
现在对任意正整数 $n, C[a, b]$ 内都存在含 $n$ 个向量的线性无关向量组，这表明 $C[a, b]$ 是无限维的．

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