最后更新: 2025-10-03 15:36 查看: 15 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量的坐标

5．向量的坐标
设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，而

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n
$$

是它的一组基。任给 $\alpha \in V$ ，有表示式

$$
\alpha=a_1 \varepsilon_1+a_2 \varepsilon_2+\cdots+a_n \varepsilon_n .
$$

由于 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 线性无关，根据第二章命题3．1，这个表达式的系数是唯一确定的．我们称 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为 $\alpha$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标．

为书写方便，我们借助于矩阵乘法的法则，在形式上把 $\alpha$ 的坐标表示式写成

$$
\alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right] .
$$

当然，这只是一个约定，并非真正的矩阵的乘法．但不难看出，矩阵乘法的某些规律，例如结合律，对这种形式的写法也是适用的。

要求一个向量 $\alpha$ 在某一组基下的坐标，只要设法将这个向量表成这组基的线性组合就可以了。

例1．14 考虑 $n$ 维线性空间 $K[x]_n$ ，它的一个向量 $f(x)$ 为 $x$ 的一个一元多项式

$$
f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1} \quad\left(a_i \in K\right) .
$$

显然，它在基 $1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}$ 下的坐标为 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{n-1}$ ．用形式写法，可写为

$$
f(x)=\left(1, x, \cdots, x^{n-1}\right)\left[\begin{array}{c}
a_0 \\
a_1 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{array}\right] .
$$

任给 $a \in K$ ，按二项展开公式，我们有

$$
x^k=(x-a+a)^k=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i} a^i(x-a)^{k-i} .
$$

这表明 $K[x]_n$ 内下列向量组

$$
1, x-a,(x-a)^2, \cdots,(x-a)^{n-1}
$$

与 $K[x]_n$ 的一组基 $1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}$ 等价，从而它也是 $K[x]_n$ 的一组基．

为了深入一步讨论数域 $K$ 上的多项式，我们现在介绍多项式的
形式微商的概念．在数学分析课中读者已熟知实系数多项式的微商．因为在一般数域内没有极限概念（因为数域对求极限运算一般不封闭，例如一个有理数序列，当极限存在时，其极限值一般不再是有理数），所以也没有数学分析中的微商运算．但是我们可以＂形式＂地将数学分析中实系数多项式的微商公式照搬过来．

对数域 $K$ 上任意多项式

$$
f(x)=a_0 x^m+a_1 x^{m-1}+a_2 x^{m-2}+\cdots+a_{m-1} x+a_m,
$$

定义

$$
f^{\prime}(x)=a_0 m x^{m-1}+a_1(m-1) x^{m-2}+a_2(m-2) x^{m-3}+\cdots+a_{m-1},
$$

称 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的形式微商，它仍为 $K$ 上的一个多项式，但次数比 $f(x)$ 的次数减 1 或变为零多项式。

形式微商显然也具有数学分析中微商的基本性质：对 $K$ 上任意两个多项式 $f(x), g(x)$ ，及任意 $k \in K$ ，有

$$
\begin{aligned}
& (f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) ; \\
& (k f(x))^{\prime}=k f^{\prime}(x) ; \\
& (f(x) g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) .
\end{aligned}
$$

现在设 $f(x)$ 是 $K[x]_n$ 内任意多项式，$a$ 为 $K$ 内任意数，那么有

$$
f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\cdots+a_{n-1}(x-a)^{n-1} .
$$

对 $f(x)$ 逐次求形式微商，再令 $x=a$ 代入，立即得
$$
\begin{aligned}
& a_0=f(a) \\
& a_1=f^{\prime}(a) \\
& a_2=\frac{1}{2!} f^{\prime \prime}(a) \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& a_{n-1}=\frac{1}{(n-1)!} f^{(n-1)}(a)
\end{aligned}
$$

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