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向量的坐标

5．向量的坐标
设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，而

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n
$$

是它的一组基。任给 $\alpha \in V$ ，有表示式

$$
\alpha=a_1 \varepsilon_1+a_2 \varepsilon_2+\cdots+a_n \varepsilon_n .
$$

由于 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 线性无关，根据第二章命题3．1，这个表达式的系数是唯一确定的．我们称 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为 $\alpha$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标．

为书写方便，我们借助于矩阵乘法的法则，在形式上把 $\alpha$ 的坐标表示式写成

$$
\alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right] .
$$

当然，这只是一个约定，并非真正的矩阵的乘法．但不难看出，矩阵乘法的某些规律，例如结合律，对这种形式的写法也是适用的。

要求一个向量 $\alpha$ 在某一组基下的坐标，只要设法将这个向量表成这组基的线性组合就可以了。

例1．14 考虑 $n$ 维线性空间 $K[x]_n$ ，它的一个向量 $f(x)$ 为 $x$ 的一个一元多项式

$$
f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1} \quad\left(a_i \in K\right) .
$$

显然，它在基 $1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}$ 下的坐标为 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{n-1}$ ．用形式写法，可写为

$$
f(x)=\left(1, x, \cdots, x^{n-1}\right)\left[\begin{array}{c}
a_0 \\
a_1 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{array}\right] .
$$

任给 $a \in K$ ，按二项展开公式，我们有

$$
x^k=(x-a+a)^k=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i} a^i(x-a)^{k-i} .
$$

这表明 $K[x]_n$ 内下列向量组

$$
1, x-a,(x-a)^2, \cdots,(x-a)^{n-1}
$$

与 $K[x]_n$ 的一组基 $1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}$ 等价，从而它也是 $K[x]_n$ 的一组基．

为了深入一步讨论数域 $K$ 上的多项式，我们现在介绍多项式的
形式微商的概念．在数学分析课中读者已熟知实系数多项式的微商．因为在一般数域内没有极限概念（因为数域对求极限运算一般不封闭，例如一个有理数序列，当极限存在时，其极限值一般不再是有理数），所以也没有数学分析中的微商运算．但是我们可以＂形式＂地将数学分析中实系数多项式的微商公式照搬过来．

对数域 $K$ 上任意多项式

$$
f(x)=a_0 x^m+a_1 x^{m-1}+a_2 x^{m-2}+\cdots+a_{m-1} x+a_m,
$$

定义

$$
f^{\prime}(x)=a_0 m x^{m-1}+a_1(m-1) x^{m-2}+a_2(m-2) x^{m-3}+\cdots+a_{m-1},
$$

称 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的形式微商，它仍为 $K$ 上的一个多项式，但次数比 $f(x)$ 的次数减 1 或变为零多项式。

形式微商显然也具有数学分析中微商的基本性质：对 $K$ 上任意两个多项式 $f(x), g(x)$ ，及任意 $k \in K$ ，有

$$
\begin{aligned}
& (f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) ; \\
& (k f(x))^{\prime}=k f^{\prime}(x) ; \\
& (f(x) g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) .
\end{aligned}
$$

现在设 $f(x)$ 是 $K[x]_n$ 内任意多项式，$a$ 为 $K$ 内任意数，那么有

$$
f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\cdots+a_{n-1}(x-a)^{n-1} .
$$

对 $f(x)$ 逐次求形式微商，再令 $x=a$ 代入，立即得
$$
\begin{aligned}
& a_0=f(a) \\
& a_1=f^{\prime}(a) \\
& a_2=\frac{1}{2!} f^{\prime \prime}(a) \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& a_{n-1}=\frac{1}{(n-1)!} f^{(n-1)}(a)
\end{aligned}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
f(x)= & f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}(x-a)^2 \\
& +\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}
\end{aligned}
$$

这称为数域 $K$ 上多项式的 Taylor 展开式．由此即可知 $f(x)$ 在基
$1, x-a,(x-a)^2, \cdots,(x-a)^{n-1}$ 下的坐标表示式为

$$
f(x)=\left(1, x-a,(x-a)^2, \cdots,(x-a)^{n-1}\right)\left[\begin{array}{c}
f(a) \\
f^{\prime}(a) \\
\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!} \\
\vdots \\
\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}
\end{array}\right] .
$$

例1．15 设在 $K^n$ 中给定一组基及一向量 $\beta$ ：

$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{n 1}
\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{n 2}
\end{array}\right], \cdots, \alpha_n=\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{n n}
\end{array}\right], \beta=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right],
$$

求 $\beta$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的坐标．
解 这只要求解下列向量方程

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=\beta .
$$

把 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 作为列向量排成一个 $n$ 阶方阵 $A$ ，它就是上面线性方程组的系数矩阵。现在 $A$ 满秩，可单用初等行变换化为 $E$ ．写出方程组的增广矩阵，用初等行变换把 $A$ 的位置化为 $E$ ：

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & b_n
\end{array}\right] \xrightarrow{\text { 行变换 }}\left[\begin{array}{c}
c_1 \\
c_2 \\
\vdots \\
c_n
\end{array}\right] .
$$

上面第二个矩阵中右边一列即为 $\beta$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的坐标。
例1．16 在 $K^4$ 中给定向量组

$$
\begin{aligned}
& \alpha_1=(2,1,0,1), \\
& \alpha_2=(1,-3,2,4), \\
& \alpha_3=(-5,0,-1,-7), \\
& \alpha_4=(1,-6,2,6),
\end{aligned}
$$

因为

$$
|A|=\left|\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & -5 & 1 \\
1 & -3 & 0 & -6 \\
0 & 2 & -1 & 2 \\
1 & 4 & -7 & 6
\end{array}\right|=27 \neq 0,
$$

所以这四个向量线性无关，构成了 $K^4$ 的一组基．又设

$$
\beta=(8,9,-5,0) .
$$

求 $\beta$ 在这组基下的坐标，按例1．15指出的办法求解：

$$
\left[\begin{array}{rrrrr}
2 & 1 & -5 & 1 & 8 \\
1 & -3 & 0 & -6 & 9 \\
0 & 2 & -1 & 2 & -5 \\
1 & 4 & -7 & 6 & 0
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -4 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\beta & =3 \alpha_1-4 \alpha_2-\alpha_3+\alpha_4 \\
& =\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)\left[\begin{array}{r}
3 \\
-4 \\
-1 \\
1
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$
现设在数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 内取定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ．设向量 $\alpha, \beta$ 在此组基下的坐标表示式为

$$
\begin{aligned}
& \alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right], \\
& \beta=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

那么

$$
\begin{aligned}
\alpha+\beta= & \left(a_1 \varepsilon_1+a_2 \varepsilon_2+\cdots+a_n \varepsilon_n\right) \\
& +\left(b_1 \varepsilon_1+b_2 \varepsilon_2+\cdots+b_n \varepsilon_n\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\left(a_1+b_1\right) \varepsilon_1+\left(a_2+b_2\right) \varepsilon_2+\cdots+\left(a_n+b_n\right) \varepsilon_n \\
& =\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
a_1+b_1 \\
a_2+b_2 \\
\vdots \\
a_n+b_n
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

对数域 $K$ 内任意数 $k$ ，又有

$$
\begin{aligned}
k \alpha & =k a_1 \varepsilon_1+k a_2 \varepsilon_2+\cdots+k a_n \varepsilon_n \\
& =\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
k a_1 \\
k a_2 \\
\vdots \\
k a_n
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

$V$ 内一个向量 $\alpha$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标可以看做 $K^n$ 中一个向量，$V$ 中两个向量相加对应于它们在 $K^n$ 中的坐标向量相加，$V$ 中向量的数乘对应于它们在 $K^n$ 中的坐标向量作数乘。这样，我们把 $V$ 中向量的抽象加法、数乘运算具体化为它们的坐标作为 $K^n$ 中的向量，按 $K^n$ 的向量加法、数乘（都是具体的）作运算。这就是说，在 $V$ 中取定一组基后，又把抽象的东西还原为具体的东西。这种由具体上升到抽象，再由抽象返回到具体，不断循环往复，是代数学的基本方法．

现在给定 $V$ 中一向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ ，设它们在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标表示式为

$$
\alpha_i=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A_i \quad(i=1,2, \cdots, s),
$$

其中 $A_i=\left(a_{1 i}, a_{2 i}, \cdots, a_{n i}\right)^{\prime} \in K^n$ 为 $\alpha_i$ 在此组基下的坐标。那么，对任意 $k_1, k_2, \cdots, k_s \in K$ ，我们有

$$
\begin{aligned}
& k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s \\
& \quad=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[k_1 A_1+k_2 A_2+\cdots+k_s A_s\right] .
\end{aligned}
$$

等式左端是 $V$ 内向量组的线性组合，等式右边方括号内是 $K^n$ 中向量组的线性组合。因为一个向量在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标为 $K^n$ 中零向量（即其坐标全为 0 ）的充分必要条件是该向量为 $V$ 中的零向量，所以 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha=0$ 的充分必要条件是 $k_1 A_1+k_2 A_2+\cdots +k_s A_s=0$ ．由此我们得到如下命题．

命题1．2 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间．在 $V$ 内取定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ．设 $V$ 内向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中各向量在此组基下的坐标表示式为

$$
\alpha_i=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A_i \quad(i=1,2, \cdots, s),
$$

则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关（无关）的充分必要条件是 $A_1, A_2, \cdots, A_s$ 在 $K^n$ 内线性相关（无关）。

证 根据上面的分析，存在 $K$ 内不全为 0 的一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$使

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0
$$

的充分必要条件是这组不全为 0 的数使

$$
k_1 A_1+k_2 A_2+\cdots+k_s A_s=0
$$

故知命题成立．

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