最后更新: 2025-10-03 15:44 查看: 73 次纠错评论(0) 课件开VIP

基变换与坐标变换

## 6．基变换与坐标变换
从前面讨论的各种例子读者已经看到，在一个有限维线性空间 $V$ 内，基的选取并不唯一，实际上有无穷多组不同的基．特别要指出的是，如果 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基，那么把它们按任意次序重排得 $\varepsilon_{i_1}, \varepsilon_{i_2}, \cdots, \varepsilon_{i_n}$ 仍为 $V$ 的一组基（因为它也是 $n$ 个线性无关向量），而且与原来的基不同（因为一个向量 $\alpha$ 在这两组基下的坐标是 $K^n$ 中两个不同向量）。由此立即需要解决一个问题：找出 $V$ 中两组基之间的关系。

线性空间中的基变换
设在 $n$ 维线性空间 $V$ 内给定两组基

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \\
& \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n
\end{aligned}
$$

每个 $\eta_i$ 都能被 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 线性表示．设

$$
\begin{aligned}
& \eta_1=t_{11} \varepsilon_1+t_{21} \varepsilon_2+\cdots+t_{n 1} \varepsilon_n, \\
& \eta_2=t_{12} \varepsilon_1+t_{22} \varepsilon_2+\cdots+t_{n 2} \varepsilon_n, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \eta_n=t_{1 n} \varepsilon_1+t_{2 n} \varepsilon_2+\cdots+t_{n n} \varepsilon_n .
\end{aligned}
$$

再度借助矩阵乘法法则，把上面的公式形式地写成

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{cccc}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\
t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_{n 1} & t_{n 2} & \cdots & t_{n n}
\end{array}\right] .
$$

命

$$
T=\left[\begin{array}{cccc}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\
t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_{n 1} & t_{n 2} & \cdots & t_{n n}
\end{array}\right] .
$$

称 $T$ 为从基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 到基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 的过渡矩阵．
命题1．3 在数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 内给定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ ， $\cdots, \varepsilon_n . T$ 是 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵。命

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T .
$$

则有
（i）如果 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是 $V$ 的一组基，则 $T$ 可逆；
（ii）如果 $T$ 可逆，则 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是 $V$ 的一组基．

证 设 $T=\left(t_{i j}\right)$ 的列向量组为

$$
T_1=\left[\begin{array}{c}
t_{11} \\
t_{21} \\
\vdots \\
t_{n 1}
\end{array}\right], \quad T_2=\left[\begin{array}{c}
t_{12} \\
t_{22} \\
\vdots \\
t_{n 2}
\end{array}\right], \cdots, T_n=\left[\begin{array}{c}
t_{1 n} \\
t_{2 n} \\
\vdots \\
t_{n n}
\end{array}\right] \text {, }
$$

则有

$$
\begin{gathered}
\eta_1=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T_1 \\
\eta_2=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T_2 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\eta_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T_n .
\end{gathered}
$$

$\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是 $V$ 的一组基的充分必要条件是 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 线性无关，按命题 1.2 ，这等价于 $T_1, T_2, \cdots, T_n$ 在 $K^n$ 内线性无关，而后者又等价于 $T$ 满秩或可逆．

根据上面的命题，两组基之间的过渡矩阵是可逆矩阵．反过来，从一组给定的基出发，借助于某一可逆矩阵 $T$ ，就可以获得一组新的基．

线性空间中的坐标变换
设 $V$ 中一个向量 $\alpha$ 在第一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标为 $x_1, x_2$ ， $\cdots, x_n$ ，即

$$
\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right] .
$$

又设 $\alpha$ 在第二组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 下的坐标为 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ ，即

$$
\alpha=y_1 \eta_1+y_2 \eta_2+\cdots+y_n \eta_n=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right] .
$$

现设两组基间的过渡矩阵为 $T$ ，即

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T .
$$

令

$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right], \quad Y=\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right]
$$

那么

$$
\alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right) Y .
$$

以关系式

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T
$$

代入，得

$$
\begin{aligned}
\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X & =\left[\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T\right] Y \\
& =\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)(T Y) .
\end{aligned}
$$

由于 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是一组基，线性无关，它们的两个线性组合相等时，
对应系数相等，故得

$$
X=T Y .
$$

这就是我们所寻求的坐标变换公式。在上面的推理中用到形式矩阵乘法的结合律。只要检查一下就会发现，在证明矩阵乘法结合律时，只用到与线性空间八条运算法则相似的数的运算法则，所以矩阵乘法的结合律对于现在形式写法也适用，无须再作单独的证明．

最后，将本段落的内容概括如下。
1）基变换公式：

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T, \quad|T| \neq 0 ;
$$

2）坐标变换公式：若 $\alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right) Y$ ，则 $X=T Y$ ．

7．$K^n$ 中的基变换
我们具体探讨一下如何求 $K^n$ 中两组基之间的过渡矩阵．
设第一组基为

$$
\begin{gathered}
\varepsilon_1=\left(a_{11}, a_{21}, \cdots, a_{n 1}\right), \\
\varepsilon_2=\left(a_{12}, a_{22}, \cdots, a_{n 2}\right), \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\varepsilon_n=\left(a_{1 n}, a_{2 n}, \cdots, a_{n n}\right) .
\end{gathered}
$$

第二组基为

$$
\begin{gathered}
\eta_1=\left(b_{11}, b_{21}, \cdots, b_{n 1}\right), \\
\eta_2=\left(b_{12}, b_{22}, \cdots, b_{n 2}\right), \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\eta_n=\left(b_{1 n}, b_{2 n}, \cdots, b_{n n}\right) .
\end{gathered}
$$

而

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T .
$$

按定义，$T$ 的第 $i$ 个列向量的分量是 $\eta_i$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标。以 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 作列向量排成矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right] .
$$

那么，按照 $K^n$ 中向量坐标的求法（参看上面的例1．15），把 $\eta_1, \eta_2$ ， $\cdots, \eta_n\left(\right.$ 每个 $\eta_i$ 相当于例1．15中的 $\beta$ ）作列向量组排成一个 $n$ 阶方阵

$$
B=\left[\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n n}
\end{array}\right]
$$

写出 $n \times 2 n$ 分块矩阵（ $A B$ ），用初等行变换（不能作列变换）把左边矩阵 $A$ 处化为单位矩阵 $E$ ，则右边出来的就是过渡矩阵 $T$ ，示意如下：

$$
(A: B) \xrightarrow{\text { 行变换 }}(E: T) .
$$

求出过渡矩阵后，坐标变换公式也就有了。
例1．17 在 $K^3$ 中给定两组基

$$
\begin{array}{lll}
\varepsilon_1=(1,0,-1), & \varepsilon_2=(2,1,1), & \varepsilon_3=(1,1,1) ; \\
\eta_1=(0,1,1), & \eta_2=(-1,1,0), & \eta_3=(1,2,1),
\end{array}
$$

求它们之间的过渡矩阵 $T$ 。
解 分别以 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 和 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 作列向量组排成两个矩阵 $A$ 及 $B$ ：

$$
\begin{aligned}
&A=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1
\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr}
0 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right] .\\
&\text { 做初等行变换如下：}\\
&\begin{aligned}
(A B) & =\left[\begin{array}{rrr:rrr}
1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrr:rrr}
1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 2 & 1 & -1 & 2
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -1 & -2 & -4 & -4
\end{array}\right]
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\begin{gathered}
\rightarrow\left[\begin{array}{lll:rrr}
1 & 2 & 0 & -2 & -5 & -3 \\
0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 4 & 4
\end{array}\right] \\
\rightarrow\left[\begin{array}{lll:rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 4 & 4
\end{array}\right] . \\
T=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\
-1 & -3 & -2 \\
2 & 4 & 4
\end{array}\right] .
\end{gathered}\\
 
\end{aligned}
$$

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