最后更新: 2025-10-20 09:03 查看: 17 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

子空间与商空间

## 子空间与商空间

> 通俗版子空间见 线性代数 [子空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1861)

上一节我们已经熟悉了线性空间的基本概念，现在要把对它的研讨深入下去．下面主要从两个方面来从事这一工作．第一方面，是深入探讨其内部结构。众所周知，为了掌握一台仪器的结构，我们需要把它分解开来研究其中的零部件．动物学家为了弄清一种动物，必须通过解剖标本了解其各器官．同样的，为了掌握线性空间的结构，我们需要深入到它的内部，研讨其＂零部件＂，即下面所要阐述的各种子空间。另一方面，为了从整体上更清晰地俯瞰一个线性空间的全貌，我们又常常需要隐去其局部的细节．例如，为了体现一个地区的总体情况，我们用一张地图来反映它，在地图上，每个城市被简化为一个点。这种方法应用到线性空间的研究中来，就形成商空间的概念．这里所介绍的深入研究线性空间的两种方法，是代数学各领域普遍使用的基本方法，读者应当细心体会，逐步掌握．

### 1．子空间的基本概念
首先来看一看三维几何空间．我们取定一个直角坐标系 $O x y z$ ． 以 $O$ 为起点的全体向量关于向量加法和数乘组成实数域上的一个三维线性空间。

![图片](/uploads/2025-10/1bec0d.jpg)

考查通过原点 $O$ 的一张平面 $M$上的全体向量所成的集合，我们仍用 $M$ 来表示这个集合（见图4．1）．$M$ 内两个向量相加仍在 $M$ 内，$M$ 内一个向量乘以实数 $k$ 后仍在 $M$内．加法和数乘自然满足线性空间定义中的八条性质。所以，$M$ 也是实数域上的一个线性空间。其加法和数乘运算是沿用的三维几何空间中向量的加法和数乘运算，这个线性空间是二维的（ $M$ 内任意不共线的两个向量都是它的一组基）。同样地，考査过原点 $O$ 的任一直线 $l$ 上全体向量所成的集合，记做 $L . L$ 关于三维几何空间中向量的加法和数乘也组成实数域上的一个线性空间，其维数是 1 。

这些讨论启发我们去考查一般线性空间中的与此相类似的现象。
**定义** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间，$M$ 是 $V$ 的一个非空子集．如果 $M$ 关于 $V$ 内的加法与数乘运算也组成数域 $K$ 上的一个线性空间，则 $M$ 称为 $V$ 的一个**子空间**．

**命题 2.1** 线性空间 $V$ 的一个非空子集 $M$ 是一个子空间的充分必要条件是，它满足以下两个条件：
（i）它对加法封闭，即对 $M$ 内任意两个向量 $\alpha, \beta$ ，有 $\alpha+\beta \in M$ ；
（ii）它对数乘运算封闭，即对任一 $\alpha \in M$ 和任一 $k \in K$ ，有 $k \alpha \in M$ ．
证 条件的必要性是显然的，我们证明充分性．设条件（i）和（ii）满足。我们只要证明：零向量属于 $M ; M$ 中任一向量 $\alpha$ 的负向量 $-\alpha$属于 $M$ 。那么，线性空间定义中的八条性质就都具备，于是 $M$ 就是子空间了．因为 $M$ 非空，必有某个 $\alpha \in M$ ．由条件（i

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