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子空间与解空间

## 子空间

本节按照集合论的思路来研究线性空间，即研究线性空间的＂子、交、并、补＂．读者将看到，＂子＂与＂交＂可以直接地推广至线性空间的情形，但＂并＂和＂补＂不能直接硬搬过来，需要适当的处理，处理的结果将被称为＂（直）和＂以及＂直和补、商＂．

> 通俗版子空间见 线性代数 [子空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1861)

上一节我们已经熟悉了线性空间的基本概念，现在要把对它的研讨深入下去．下面主要从两个方面来从事这一工作．第一方面，是深入探讨其内部结构。众所周知，为了掌握一台仪器的结构，我们需要把它分解开来研究其中的零部件．动物学家为了弄清一种动物，必须通过解剖标本了解其各器官．同样的，为了掌握线性空间的结构，我们需要深入到它的内部，研讨其＂零部件＂，即下面所要阐述的各种子空间。另一方面，为了从整体上更清晰地俯瞰一个线性空间的全貌，我们又常常需要隐去其局部的细节．例如，为了体现一个地区的总体情况，我们用一张地图来反映它，在地图上，每个城市被简化为一个点。这种方法应用到线性空间的研究中来，就形成商空间的概念．这里所介绍的深入研究线性空间的两种方法，是代数学各领域普遍使用的基本方法，读者应当细心体会，逐步掌握．

### 1．子空间的基本概念
首先来看一看三维几何空间．我们取定一个直角坐标系 $O x y z$ ． 以 $O$ 为起点的全体向量关于向量加法和数乘组成实数域上的一个三维线性空间。

![图片](/uploads/2025-10/1bec0d.jpg)

考查通过原点 $O$ 的一张平面 $M$上的全体向量所成的集合，我们仍用 $M$ 来表示这个集合（见图4．1）．$M$ 内两个向量相加仍在 $M$ 内，$M$ 内一个向量乘以实数 $k$ 后仍在 $M$内．加法和数乘自然满足线性空间定义中的八条性质。所以，$M$ 也是实数域上的一个线性空间。其加法和数乘运算是沿用的三维几何空间中向量的加法和数乘运算，这个线性空间是二维的（ $M$ 内任意不共线的两个向量都是它的一组基）。同样地，考査过原点 $O$ 的任一直线 $l$ 上全体向量所成的集合，记做 $L . L$ 关于三维几何空间中向量的加法和数乘也组成实数域上的一个线性空间，其维数是 1 。

这些讨论启发我们去考查一般线性空间中的与此相类似的现象。
**定义** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间，$M$ 是 $V$ 的一个非空子集．如果 $M$ 关于 $V$ 内的加法与数乘运算也组成数域 $K$ 上的一个线性空间，则 $M$ 称为 $V$ 的一个**子空间**．

**命题 2.1** 线性空间 $V$ 的一个非空子集 $M$ 是一个子空间的充分必要条件是，它满足以下两个条件：
（i）它对加法封闭，即对 $M$ 内任意两个向量 $\alpha, \beta$ ，有 $\alpha+\beta \in M$ ；
（ii）它对数乘运算封闭，即对任一 $\alpha \in M$ 和任一 $k \in K$ ，有 $k \alpha \in M$ ．
证 条件的必要性是显然的，我们证明充分性．设条件（i）和（ii）满足。我们只要证明：零向量属于 $M ; M$ 中任一向量 $\alpha$ 的负向量 $-\alpha$属于 $M$ 。那么，线性空间定义中的八条性质就都具备，于是 $M$ 就是子空间了．因为 $M$ 非空，必有某个 $\alpha \in M$ ．由条件（ii）知， $0 \cdot \alpha=0 \in M$ ．另一方面，对任意 $\alpha \in M,(-1) \cdot \alpha=-\alpha \in M$ ．至此命题得证．

现在设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 是 $V$ 内一个向量组，作它们的所有可能的线性组合，由此所得的 $V$ 的子集记做 $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$ 。如果采用集合论中惯用的记号，它可写做

$$
\begin{aligned}
& L\left(\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_s\right) 
 \quad=\left\{k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s \mid k_i \in K, i=1,2, \cdots, s\right\}
\end{aligned}
$$

这个记号的意思是：集合 $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$ 的元素是由花括号中所表达出来的向量组成的，而其中线性组合的各个系数 $k_i(i=1,2, \cdots, s)$各自遍历数域 $K$ 中的一切元素．显然，子集 $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$ 满足命题 2.1 中的条件（i）和（ii），故它是 $V$ 的一个子空间，这个子空间称为由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 生成的子空间．容易看出，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 的任一极大线性无关部分组都是子空间 $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$ 的一组基，而此向量组的秩即为 $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$ 的维数。

下面我们举几个子空间的具体例子。
`例2.1` $ K[x]_n$ 是 $K[x]$ 的一个子空间。因为 $K[x]_n$ 作为 $K[x]$的一个非空子集，显然满足命题2．1中的条件（i）与（ii）。

`例2.2` 给定数域 $K$ 上的一个齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots  \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=0,
\end{array} \quad\left(a_{i j} \in K\right)\right.
$$

它的全体解向量是 $K^n$ 中的一个非空子集 $M$ ．根据第二章§3中指出的齐次线性方程组解的两条性质，$M$ 满足命题2．1中的条件（i）与 （ii），故 $M$ 是 $K^n$ 的一个子空间．这个子空间称为该齐次线性方程组的**解空间**．此齐次线性方程组的任一组基础解系就是线性空间 $M$ 的一组基．

如果方程组系数矩阵的秩为 $r$ ，则

$$
\operatorname{dim} M=n-r .
$$

##  理解 $\operatorname{dim} M=n-r $
理解 $\operatorname{dim} M=n-r$ 的几何意义

> **直观几何层面：约束越多，空间越小**

这是最直观的理解方式。假设我们有一个 $n$ 维的空间（比如 $\mathbb{R}^n$），现在给你 $r$ 个“独立”的线性方程。

- **一个方程**（如 $x_1 + x_2 + ... = 0$）会在高维空间中切出一个“平面”（实际上是超平面），这个平面的维度是 $n-1$。
- **两个独立的方程**（相交）会切出一条“直线”，维度是 $n-2$。
- **$r$ 个独立的方程**会切出一个维度为 $n-r$ 的子空间。

很明显，方程越多(代表限制越多)，那么剩余的空间就越小。

这里的 **$r$** 就是有效限制条件的个数（即系数矩阵的秩），而 **$M$** 就是所有满足这些限制条件的向量组成的集合（解空间）。因为每个独立条件都会消耗掉一个自由度，所以剩下的自由度就是总维度减去消耗掉的个数。

**举一个具体的例子** 假设$x_1+x_2+x_3=0$，可以看到，虽然方程有3个未知数，但是因为其和为0，因此，如果 $x_1,x_2$的值一旦取定，那么$x_3$的值也就被限定了，因此自由度为2.
现在再增加一个方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=0, \\
x_1=x_2, \\ 
\end{array} \right.
$$

一旦$x_1$取固定的值，则$x_2$立刻也就固定，进而$x_3$的值也就固定了。因此自由度为1，而且不难得到

> 二维平面 $\mathbb{R}^2$ 的一个非平凡子空间就是一条通过原点的直线；类似地，三维空间 $\mathbb{R}^3$ 的一个非平凡子空间就是一条通过原点的直线或者是过原点的平面．

`例`在三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中，分别取两个过原点的不同的平面 $\pi_1, \pi_2$ ，我们知道 $\pi_1, \pi_2$ 都是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，它们的交 $\pi_1 \cap \pi_2$ 是一条过原点的直线，从而是个一维子空间．

`例2.3` 考查数域 $K$ 上全体 $n$ 阶方阵所成的线性空间 $M_n(K)$ 。设 $M$ 是 $M_n(K)$ 内主对角线元素之和为零的方阵所成的子集，采用集合论的记号，写做

$$
M=\left\{\left(a_{i j}\right) \in M_n(K) \mid a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}=0\right\} .
$$

显然，$M$ 也满足命题2．1中的条件（i）与（ii），故 $M$ 是 $M_n(K)$ 的一个子空间。

应当指出，对于一个线性空间 $V$ ，单由它的零向量组成的子集也满足命题2．1中的条件，所以它也是 $V$ 的一个子空间，称为**零子空间**，记做 $\{0\}$ ．另外，$V$ 本身也认为是自身的一个子空间．这两个子空间称为 $V$ 的**平凡子空间**．除此之外的子空间称为非平凡子空间．

**命题 2.2** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$M$ 是 $V$ 的一个非零子空间，则 $M$ 内任一组基都可以扩充成 $V$ 的一组基．
证 根据命题1．1，$n$ 维线性空间中至多有 $n$ 个线性无关的向量，于是 $M$ 内线性无关向量的个数也不能大于 $n$ ，故 $M$ 也是有限维线性空间．设 $\operatorname{dim} M=r$ ，且 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$ 为 $M$ 的一组基．于是 $M= L\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r\right)$ ．

若 $M=V$ ，则 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$ 已经是 $V$ 的一组基．如 $M \neq V$ ，则存在 $\varepsilon_{r+1} \in V$ ，而 $\varepsilon_{r+1} \bar{\in} M$ ．此时 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r, \varepsilon_{r+1}$ 必线性无关．因若 $\varepsilon_1, \cdots$ ， $\varepsilon_r, \varepsilon_{r+1}$ 线性相关，由第二章命题 $3.2, \varepsilon_{r+1}$ 可被 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r$ 线性表示，于是 $\varepsilon_{r+1} \in L\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r\right)=M$ ，与假设矛盾。

如果 $L\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \varepsilon_{r+1}\right) \neq V$ ，再继续上述步骤。经过 $n-r$ 次这种步骤后，得到 $V$ 内 $n$ 个线性无关的向量 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，由命题1．1知它们组成 $V$ 的一组基．

**推论** 一个有限维线性空间 $V$ 内任意 $r$ 个线性无关的向量 $\alpha_1$ ， $\alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 都可以扩充为 $V$ 的一组基。

证 在命题2．2中取 $M=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\right)$ 即可．

`例`设 $A \in \mathrm{M}_{m \times n}(F), B \in \mathrm{M}_{s \times n}(F)$ ．令 $V_1$ 与 $V_2$ 分别是齐次线性方程组 $A X=0$ 与 $B X=0$ 的解空间，则 $V_1 \cap V_2$ 是方程组 $\binom{A}{B} X=0$ 的解空间．

## 生成向量

设 $V$ 是线性空间，$S$ 是 $V$ 的非空子集，定义

$$
L(S)=\left\{\sum_{i=1}^m k_i \alpha_i \mid m \in \mathbb{N}^*, \alpha_i \in S, k_i \in F, i=1,2, \cdots, m\right\},
$$

即 $S$ 中任意有限个向量的线性组合形成的集合．显然，$L(S)$ 在加法和数乘下封闭，所以它是 $V$ 的子空间，我们称其为由 $S$ 张成的子空间（subspace spanned by $S), S$ 中的元素称为 $L(S)$ 的**生成向量**或**生成元**（generator）．

**命题** 设 $V$ 是线性空间，$\alpha_i, \gamma_j \in V, 1 \leqslant i \leqslant s, 1 \leqslant j \leqslant t, S$ 是 $V$ 的非空子集。
（1）$L(S)$ 是 $V$ 中包含集合 $S$ 的最小子空间．
（2）$L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)=L\left(\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t\right)$ 当且仅当向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 与向量组 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t$ 线性等价．
（3）非零向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 的任一极大线性无关组都是 $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$的一个基，从而 $\operatorname{dim} L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)=\operatorname{rank}\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$ ．

证明（1）一方面，根据定义，$L(S)$ 是包含 $S$ 的子空间．另一方面，设 $U$ 是包含 $S$ 的子空间。由于 $U$ 在加法和数乘下封闭，从而包含了 $S$ 中任意有限个向量的线性组合，由此 $L(S) \subseteq U$ ．故 $L(S)$ 是 $V$ 中包含集合 $S$ 的最小子空间．
（2）必要性 因为 $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)=L\left(\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t\right)$ ，所以每个 $\alpha_i$ 都属于 $L\left(\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t\right), 1 \leqslant i \leqslant s$ ，从而可以被 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t$ 线性表出。同理，每个 $\gamma_i(1 \leqslant i \leqslant t)$ 也可以被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性表出．所以，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$与向量组 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t$ 线性等价．

充分性 因为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 与向量组 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t$ 线性等价，所以每个 $\alpha_i(1 \leqslant i \leqslant s)$ 都属于 $L\left(\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t\right)$ ，从而由（1）知 $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right) \subseteq L\left(\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t\right)$ ．同理，我们有 $L\left(\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_t\right) \subseteq L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$ ．
（3）不妨设 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 的一个极大线性无关组，则由基的定义知，$\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 是 $L\left(\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}\right)$ 的一个基．再由（2）知， $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)=L\left(\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \alpha_{i_r}\right)$ ，于是 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 是 $L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$ 的一个基，从而 $\operatorname{dim} L\left(\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_s\right)=r=\operatorname{rank}\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right)$ ．

`例`设 $V_1, V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间．证明：$V_1 \cup V_2$ 是 $V$ 的子空间当且仅当 $V_1 \subseteq V_2$ 或 $V_2 \subseteq V_1$ ．

证明 充分性显然．下证必要性．假设 $V_1 \nsubseteq V_2$ 且 $V_2 \nsubseteq V_1$ ．于是，存在 $\alpha \in V_1$ 但 $\alpha \notin V_2$ ，以及 $\beta \in V_2$ 但 $\beta \notin V_1$ ．因为 $V_1 \cup V_2$ 是线性空间，所以 $\alpha+\beta \in V_1 \cup V_2$ ，从而 $\alpha+\beta \in V_1$ 或 $\alpha+\beta \in V_2$ ．若 $\alpha+\beta \in V_1$ ，则由 $\alpha \in V_1$知 $\beta \in V_1$ ，矛盾．类似地，$\alpha+\beta \in V_2$ 也是不可能的．

由上面的例题知，线性空间的两个子空间的并集未必是线性空间．但由线性空间 $V$ 的两个子空间 $V_1, V_2$ 的并集 $V_1 \cup V_2$ 张成的子空间 $L\left(V_1 \cup V_2\right)$ 是 $V$ 中同时包含 $V_1$ 与 $V_2$ 的最小子空间，显然 $L\left(V_1 \cup V_2\right)=\left\{\alpha_1+\alpha_2 \mid \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\right\}$ ．

**定义** 设 $V_1, V_2$ 是线性空间 $V$ 的子空间，称 $L\left(V_1 \cup V_2\right)$ 是 $V_1$ 与 $V_2$的和（sum），记为 $V_1+V_2$ ．

`例`  （1）二维平面 $\mathbb{R}^2$ 中任意两条过原点的不同直线都是子空间，不难验证它们的和是 $\mathbb{R}^2$ ．
（2）在三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中取一条过原点的直线和一个过原点的平面．若该直线落在此平面中，则它们的和就是这个平面；否则，它们的和为整个 $\mathbb{R}^3$ ．类似地，若取两个过原点的不同的平面，则它们的和也是 $\mathbb{R}^3$ ．
（3）设 $V$ 是线性空间，$\alpha_i, \beta_j \in V, 1 \leqslant i \leqslant t, 1 \leqslant j \leqslant s$ ，则

$$
L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t\right)+L\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\right)=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\right) .
$$

由上面的例子可以发现， $\operatorname{dim}\left(V_1+V_2\right)$ 可能是 $\operatorname{dim} V_1+\operatorname{dim} V_2$ ，也可能比它小．确切的关系由下面的结论给出。

**定理** （维数公式（dimension formula））设 $V$ 是线性空间，$V_1, V_2$ 是它的两个子空间，则

$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}\left(V_1+V_2\right)+\operatorname{dim}\left(V_1 \cap V_2\right)=\operatorname{dim} V_1+\operatorname{dim} V_2 \tag{4.3.1}
\end{equation*}
$$

证明 不妨设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l$ 是 $V_1 \cap V_2$ 的一个基，并将其分别扩充成 $V_1$ 的一个基 $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_l, \beta_1, \beta_2 \cdots, \beta_t$ 和 $V_2$ 的一个基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l, \gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s$ ．因为 $V_1=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t\right), V_2=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l, \gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s\right)$ ，所以

$$
V_1+V_2=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t, \gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s\right)
$$

从而 $V_1+V_2$ 中的元素均可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t, \gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s$ 线性表出．下证 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t, \gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s$ 线性无关．设

$$
a_1 \alpha_1+\cdots+a_l \alpha_l+b_1 \beta_1+\cdots+b_t \beta_t+c_1 \gamma_1+\cdots+c_s \gamma_s=0
$$

其中 $a_i, b_j, c_k \in F, 1 \leqslant i \leqslant l, 1 \leqslant j \leqslant t, 1 \leqslant k \leqslant s$ ，则

$$
a_1 \alpha_1+\cdots+a_l \alpha_l+b_1 \beta_1+\cdots+b_t \beta_t=-\left(c_1 \gamma_1+\cdots+c_s \gamma_s\right) \in V_1 \cap V_2
$$

从而存在 $d_i \in F, 1 \leqslant i \leqslant l$ ，使得 $-\left(c_1 \gamma_1+\cdots+c_s \gamma_s\right)=d_1 \alpha_1+\cdots+d_l \alpha_l$ ，即

$$
d_1 \alpha_1+\cdots+d_l \alpha_l+c_1 \gamma_1+\cdots+c_s \gamma_s=0
$$

由于 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l, \gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s$ 是 $V_2$ 的基，所以 $c_1=\cdots=c_s=0$ ．于是

$$
a_1 \alpha_1+\cdots+a_l \alpha_l+b_1 \beta_1+\cdots+b_t \beta_t=0
$$

由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 是 $V_1$ 的基知，$a_1=\cdots=a_l=b_1=\cdots=b_t=0$ ．故 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t, \gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s$ 线性无关，从而是 $V_1+V_2$ 的一个基．因此（4．3．1）式成立．

若 $V_1 \cap V_2=0$ ，则由上面的证明可以看出，$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t, \gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s$是 $V_1+V_2$ 的一个基．故（4．3．1）式成立．

下面考虑一种特殊情况：子空间和的维数等于维数的和。
**定义**  设 $V_1, V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间．若 $V_1+V_2$ 中的每个向量 $\alpha$ 可唯一分解为 $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$ ，其中 $\alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2$ ，则称和 $V_1+V_2$ 为直和（direct sum），记为 $V_1 \oplus V_2$ ．

其他版本
【线性代数】集合论、向量空间及其子空间

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