最后更新: 2025-10-20 09:07 查看: 35 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

子空间的交与和

## 子空间的交与和
**定义** 设 $M_1, M_2$ 为线性空间 $V$ 的两个子空间，称 $M_1 \cap M_2$ 为它们的交。又命

$$
M=\left\{\alpha_1+\alpha_2 \mid \alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right\},
$$

称为 $M_1$ 与 $M_2$ 的和，记做 $M_1+M_2$ ．
两个子空间的交是它们的公共部分．两个子空间的和是分别由两个子空间中各任取一个向量相加所组成的集合。因为 $M_1$ 和 $M_2$ 中都包含零向量，所以显然有

![图片](/uploads/2025-10/02c67f.jpg)

$$
M_1 \subseteq M_1+M_2 ; \quad M_2 \subseteq M_1+M_2 .
$$

但要注意 $M_1+M_2$ 和 $M_1 \cup M_2$ 不同．后者只是把两个子空间的向量简单地聚拢在一起成为一个新的集合而已，它们的向量之间并不相加，在一般情况下，$M_1 \cup M_2 \neq M_1+M_2$ 。

例 2.4 考查三维几何空间中过坐标原点 $O$ 的两张不重合的平面（参看图 4．2）．它们上面的向量分别组成两个子空间 $M_1, M_2$ ．不难看出，$M_1+M_2$ 是整个三维几何空间．而它们的交 $M_1 \cap M_2$ 则是两平面的交线 $l$ 上全体向量组成的一维子空间．

例 2.5 考查三维几何空间中过坐标原点 $O$ 的两条不重合的直线 $l_1$ 和 $l_2$ ．它们上面的向量分别组成两个一维子空间 $L_1$ 和 $L_2$ ．不难看出，$L_1+L_2$ 是过 $l_1$ 和 $l_2$ 的一张平面上的全体向量组成的二维子空间．而 $L_1 \cap L_2$ 只有零向量，为零子空间 $\{0\}$（参看图 4．3）．
 ![图片](/uploads/2025-10/228e5d.jpg)
 
 例 2.6 给定数域 $K$ 上的两个齐次线性方程组

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=0 ;
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
b_{11} x_1+b_{12} x_2+\cdots+b_{1 n} x_n=0, \\
b_{21} x_1+b_{22} x_2+\cdots+b_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
b_{l 1} x_1+b_{l 2} x_2+\cdots+b_{l n} x_n=0 ;
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

方程组（1）的解空间设为 $M_1$ ，方程组（2）的解空间设为 $M_2$ ，它们都是 $K^n$ 的子空间．$M_1 \cap M_2$ 中每个向量既是方程组（1）的解向量，又是方程组（2）的解向量．所以 $M_1 \cap M_2$ 就是把方程组（1）与（2）并在一起得到一个 $n$ 个未知量、 $m+l$ 个方程的新方程组的**解空间**．

在上面的例子中，$M_1+M_2$ 与 $M_1 \cap M_2$ 都恰好还是 $V$ 的子空间．这一点并不是偶然的，而是一个普遍规律．

**命题2．3** 设 $M_1, M_2$ 为线性空间 $V$ 的两个子空间，则它们的交 $M_1 \cap M_2$ 与和 $M_1+M_2$ 仍是 $V$ 的子空间．

证（i）证 $M_1 \cap M_2$ 是子空间．首先， $0 \in M_1 \cap M_2$ ，故 $M_1 \cap M_2$ 非空．设 $\alpha, \beta \in M_1 \cap M_2$ ，则因 $\alpha, \beta \in M_1$ ，故 $\alpha+\beta \in M_1$ ；同理，$\alpha+\beta \in M_2$ ．于是 $\alpha+\beta \in M_1 \cap M_2$ ．又，对任一 $\alpha \in M_1 \cap M_2$ 及任一 $k \in K$ ，因 $\alpha \in M_1$ ，有 $k \alpha \in M_1$ ；同理，$k \alpha \in M_2$ ．于是 $k \alpha \in M_1 \cap M_2$ ．根据命题 2.1 ， $M_1 \cap M_2$ 为 $V$ 的子空间．
（ii）证 $M_1+M_2$ 为子空间．首先， $0 \in M_1+M_2$ ，故 $M_1+M_2$ 非空．若 $\alpha, \beta \in M_1+M_2$ ，则有

$$
\begin{aligned}
& \alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right) ; \\
& \beta=\beta_1+\beta_2 \quad\left(\beta_1 \in M_1, \beta_2 \in M_2\r

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