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子空间的交与和、维数公式

## 子空间的交与和
**定义** 设 $M_1, M_2$ 为线性空间 $V$ 的两个子空间，称 $M_1 \cap M_2$ 为它们的**交**。
命
$$
M=\left\{\alpha_1+\alpha_2 \mid \alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right\},
$$

称为 $M_1$ 与 $M_2$ 的**和**，记做 $M_1+M_2$ 即 $M_1+M_2=M_1 \oplus M_2$

两个子空间的交是它们的公共部分．两个子空间的和是分别由两个子空间中各任取一个向量相加所组成的集合。因为 $M_1$ 和 $M_2$ 中都包含零向量，所以显然有

$$
M_1 \subseteq M_1+M_2 ; \quad M_2 \subseteq M_1+M_2 .
$$

但要注意 $M_1+M_2$ 和 $M_1 \cup M_2$ 不同．后者只是把两个子空间的向量简单地聚拢在一起成为一个新的集合而已，它们的向量之间并不相加，在一般情况下，$M_1 \cup M_2 \neq M_1+M_2$ 。

`例2.4` 考查三维几何空间中过坐标原点 $O$ 的两张不重合的平面（参看图 4．2）．它们上面的向量分别组成两个子空间 $M_1, M_2$ ．不难看出，$M_1+M_2$ 是整个三维几何空间．而它们的交 $M_1 \cap M_2$ 则是两平面的交线 $l$ 上全体向量组成的一维子空间．

![图片](/uploads/2025-10/02c67f.jpg)

`例2.5` 考查三维几何空间中过坐标原点 $O$ 的两条不重合的直线 $l_1$ 和 $l_2$ ．它们上面的向量分别组成两个一维子空间 $L_1$ 和 $L_2$ ．不难看出，$L_1+L_2$ 是过 $l_1$ 和 $l_2$ 的一张平面上的全体向量组成的二维子空间．而 $L_1 \cap L_2$ 只有零向量，为零子空间 $\{0\}$（参看图 4．3）．
 ![图片](/uploads/2025-10/228e5d.jpg)

`例2.6`给定数域 $K$ 上的两个齐次线性方程组

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots   \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=0 ;
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
b_{11} x_1+b_{12} x_2+\cdots+b_{1 n} x_n=0, \\
b_{21} x_1+b_{22} x_2+\cdots+b_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
b_{l 1} x_1+b_{l 2} x_2+\cdots+b_{l n} x_n=0 ;
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

方程组（1）的解空间设为 $M_1$ ，方程组（2）的解空间设为 $M_2$ ，它们都是 $K^n$ 的子空间．$M_1 \cap M_2$ 中每个向量既是方程组（1）的解向量，又是方程组（2）的解向量．所以 $M_1 \cap M_2$ 就是把方程组（1）与（2）并在一起得到一个 $n$ 个未知量、 $m+l$ 个方程的新方程组的**解空间**．

在上面的例子中，$M_1+M_2$ 与 $M_1 \cap M_2$ 都恰好还是 $V$ 的子空间．这一点并不是偶然的，而是一个普遍规律．

> **命题2．3** 设 $M_1, M_2$ 为线性空间 $V$ 的两个子空间，则它们的交 $M_1 \cap M_2$ 与和 $M_1+M_2$ 仍是 $V$ 的子空间．

证（i）证 $M_1 \cap M_2$ 是子空间．首先， $0 \in M_1 \cap M_2$ ，故 $M_1 \cap M_2$ 非空．设 $\alpha, \beta \in M_1 \cap M_2$ ，则因 $\alpha, \beta \in M_1$ ，故 $\alpha+\beta \in M_1$ ；同理，$\alpha+\beta \in M_2$ ．于是 $\alpha+\beta \in M_1 \cap M_2$ ．又，对任一 $\alpha \in M_1 \cap M_2$ 及任一 $k \in K$ ，因 $\alpha \in M_1$ ，有 $k \alpha \in M_1$ ；同理，$k \alpha \in M_2$ ．于是 $k \alpha \in M_1 \cap M_2$ ．根据命题 2.1 ， $M_1 \cap M_2$ 为 $V$ 的子空间．
（ii）证 $M_1+M_2$ 为子空间．首先， $0 \in M_1+M_2$ ，故 $M_1+M_2$ 非空．若 $\alpha, \beta \in M_1+M_2$ ，则有

$$
\begin{aligned}
& \alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right) ; \\
& \beta=\beta_1+\beta_2 \quad\left(\beta_1 \in M_1, \beta_2 \in M_2\right) .
\end{aligned}
$$

于是，有

$$
\alpha+\beta=\left(\alpha_1+\beta_1\right)+\left(\alpha_2+\beta_2\right),
$$

其中 $\alpha_1+\beta_1 \in M_1, \alpha_2+\beta_2 \in M_2$ ，故 $\alpha+\beta \in M_1+M_2$ ．又，对任一 $\alpha \in M_1+M_2$ 和任一 $k \in K$ ，因

故

$$
\begin{gathered}
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right), \\
k \alpha=k \alpha_1+k \alpha_2,
\end{gathered}
$$

其中 $k \alpha_1 \in M_1, k \alpha_2 \in M_2$ ，即 $k \alpha \in M_1+M_2$ ．再由命题2．1知 $M_1+M_2$亦为 $V$ 的子空间．

有了两个子空间的交与和后，可以类似地定义多个子空间的交与和．设 $M_1, M_2, \cdots, M_k$ 为 $V$ 的 $k$ 个子空间，它们的交定义为

$$
M_1 \cap M_2 \cap \cdots \cap M_k,
$$

即这 $k$ 个子空间的公共向量所组成的集合．显然，它是 $V$ 的一个子空间。

又定义

$$
M=\left\{\alpha_1+\alpha_2 \cdots+\alpha_k \mid \alpha_i \in M_i, i=1,2, \cdots, k\right\},
$$

称为这 $k$ 个子空间的和，记为 $M_1+M_2+\cdots+M_k$ ．显然，它也是一个子空间。

现在我们证明一个重要的结果．

## 维度关系

**定理2．1** 设 $M_1, M_2$ 是线性空间 $V$ 的两个有限维子空间，则有

$$
\boxed{
\operatorname{dim}\left(M_1+M_2\right)=\operatorname{dim} M_1+\operatorname{dim} M_2-\operatorname{dim} M_1 \cap M_2 
}
$$

证 $M_1 \cap M_2$ 既是 $M_1$ 的子空间，又是 $M_2$ 的子空间．我们在 $M_1 \cap M_2$ 内取定一组基

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r
$$

按命题2．2，它可以扩充成 $M_1$ 的一组基

$$
\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \alpha_1, \cdots, \alpha_s,
$$

也可以扩充成 $M_2$ 的一组基

$$
\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \beta_1, \cdots, \beta_t
$$

（当 $M_1 \cap M_2=\{0\}$ 时，取 $r=0$ 即可）．我们证明向量组

$$
\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \alpha_1, \cdots, \alpha_s, \beta_1, \cdots, \beta_t
$$

是 $M_1+M_2$ 的一组基．
（i）对任一 $\alpha \in M_1+M_2$ ，有

$$
\alpha=\gamma_1+\gamma_2 \quad\left(\gamma_1 \in M_1, \gamma_2 \in M_2\right) .
$$

而

$$
\begin{aligned}
& \gamma_1=k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_r \varepsilon_r+a_1 \alpha_1+\cdots+a_s \alpha_s, \\
& \gamma_2=l_1 \varepsilon_1+\cdots+l_r \varepsilon_r+b_1 \beta_1+\cdots+b_t \beta_t .
\end{aligned}
$$

故有

$$
\begin{aligned}
\alpha=\gamma_1+\gamma_2= & \left(k_1+l_1\right) \varepsilon_1+\cdots+\left(k_r+l_r\right) \varepsilon_r \\
& +a_1 \alpha_1+\cdots+a_s \alpha_s+b_1 \beta_1+\cdots+b_t \beta_t .
\end{aligned}
$$

即 $\alpha$ 可被向量组（I）线性表示。
（ii）再证向量组（I）线性无关．若
$$
\begin{gathered}
k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_r \varepsilon_r+a_1 \alpha_1+\cdots+a_s \alpha_s \\
+b_1 \beta_1+\cdots+b_t \beta_t=0
\end{gathered}
$$

移项，得

因为

$$
\begin{gathered}
k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_r \varepsilon_r+a_1 \alpha_1+\cdots+a_s \alpha_s \\
=-b_1 \beta_1-\cdots-b_t \beta_t .
\end{gathered}
$$

而两者相等，故

$$
\gamma=k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_r \varepsilon_r+a_1 \alpha_1+\cdots+a_s \alpha_s \in M_1 \cap M_2 .
$$

于是 $\gamma$ 可被 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$ 线性表示，即

又已知

$$
\begin{aligned}
\gamma & =f_1 \varepsilon_1+\cdots+f_r \varepsilon_r \\
\gamma & =-b_1 \beta_1-\cdots-b_t \beta_t
\end{aligned}
$$

两式相减，得

$$
0=f_1 \varepsilon_1+\cdots+f_r \varepsilon_r+b_1 \beta_1+\cdots+b_t \beta_t .
$$

由于 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \beta_1, \cdots, \beta_t$ 线性无关，故 $b_1=\cdots=b_t=0$ ．代入（3）式，得

$$
k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_r \varepsilon_r+a_1 \alpha_1+\cdots+a_s \alpha_s=0
$$

再由 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \alpha_1, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，推得 $k_1=\cdots=k_r=a_1=\cdots=a_s=0$ ．故向量组（I）线性无关。

综合（i）与（ii）知向量组（I）是 $M_1+M_2$ 的一组基，因此， $\operatorname{dim}\left(M_1+M_2\right)=r+s+t$ ，而 $\operatorname{dim}\left(M_1 \cap M_2\right)=r, \operatorname{dim} M_1=r+s, \operatorname{dim} M_2 =r+t$ ，于是有

$$
\operatorname{dim}\left(M_1+M_2\right)=\operatorname{dim} M_1+\operatorname{dim} M_2-\operatorname{dim} M_1 \cap M_2 .
$$

这个定理中的公式称为**维数公式**．

**推论** 设 $M_1, M_2, \cdots, M_k$ 是线性空间 $V$ 的 $k$ 个有限维子空间，则

$$
\operatorname{dim}\left(M_1+M_2+\cdots+M_k\right) \leqslant \operatorname{dim} M_1+\operatorname{dim} M_2+\cdots+\operatorname{dim} M_k .
$$

证 按定理2．1，有 $\operatorname{dim}\left(M_1+M_2\right) \leqslant \operatorname{dim} M_1+\operatorname{dim} M_2$ 。当 $k>2$时，应用数学归纳法即可．

`例2.7` 在 $K^3$ 中给定两个向量组

$$
\begin{array}{ll}
\alpha_1=(-1,1,0), & \alpha_2=(1,1,1) \\
\beta_1=(-1,3,0), & \beta_2=(-1,1,-1),
\end{array}
$$

求 $L\left(\alpha_1, \alpha_2\right)+L\left(\beta_1, \beta_2\right)$ 和 $L\left(\alpha_1, \alpha_2\right) \cap L\left(\beta_1, \beta_2\right)$ 的维数和一组基．
解（i）求 $L\left(\alpha_1, \alpha_2\right)+L\left(\beta_1, \beta_2\right)$ 的维数和一组基．因为

$$
L\left(\alpha_1, \alpha_2\right)+L\left(\beta_1, \beta_2\right)=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2\right),
$$

只要求 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ 的一个极大线性无关部分组就可以了．应用第二章§2所讲的办法
$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{rrrr}
-1 & 1 & 0 & \alpha_1 \\
1 & 1 & 1 & \alpha_2 \\
-1 & 3 & 0 & \beta_1 \\
-1 & 1 & -1 & \beta_2
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & \alpha_2 \\
-1 & 1 & 0 & \alpha_1 \\
-1 & 3 & 0 & \beta_1 \\
-1 & 1 & -1 & \beta_2
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & \alpha_2 \\
0 & 2 & 1 & \alpha_1+\alpha_2 \\
0 & 4 & 1 & \beta_1+\alpha_2 \\
0 & 2 & 0 & \beta_2+\alpha_2
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & \alpha_2 \\
0 & 2 & 1 & \alpha_1+\alpha_2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \alpha_1+\alpha_2-\beta_1 \\
0 & 0 & 0 & \alpha_1+\alpha_2-\beta_1+\beta_2
\end{array}\right] .}
\end{aligned}
$$

所以向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ 的秩为3．又因为

$$
\alpha_1+\alpha_2-\beta_1+\beta_2=0
$$

即 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2+\beta_2$ ，故 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_2$ 为 $L\left(\alpha_1, \alpha_2\right)+L\left(\beta_1, \beta_2\right)$ 的一组基，其维数为 3 ．

（ii）求 $L\left(\alpha_1, \alpha_2\right) \cap L\left(\beta_1, \beta_2\right)$ 的维数和一组基．因为

$$
\operatorname{dim} L\left(\alpha_1, \alpha_2\right)=\operatorname{dim} L\left(\beta_1, \beta_2\right)=2,
$$

从（i）的结果，利用维数公式知

$$
\operatorname{dim} L\left(\alpha_1, \alpha_2\right) \cap L\left(\beta_1, \beta_2\right)=1 .
$$

又从（4）式得

$$
\alpha_1+\alpha_2=\beta_1-\beta_2 \in L\left(\alpha_1, \alpha_2\right) \cap L\left(\beta_1, \beta_2\right) .
$$

而

$$
\alpha_1+\alpha_2=(0,2,1) \neq 0,
$$

故 $\alpha_1+\alpha_2$ 为 $L\left(\alpha_1, \alpha_2\right) \cap L\left(\beta_1, \beta_2\right)$ 的一组基．

`例` 基础计算（直接套公式）
 在三维几何空间$\mathbb{R}^3 $ 中，设$V_1 $ 是过原点的平面（$ \dim=2 $），$ V_2 $ 是过原点的一条直线（$ \dim=1 $）。
 问：如果这条直线 不在 这个平面内，求$\dim(V_1+V_2) $ 和$\dim(V_1 \cap V_2) $。
 
思路分析：直线不在平面内，意味着直线与平面只交于原点（零向量）。
计算：
 交空间$V_1 \cap V_2 = \{0\} $，所以$\dim(V_1 \cap V_2) = 0 $。
 代入公式：$ \dim(V_1+V_2) = 2 + 1 - 0 = 3 $。
 结论：它们张成了整个三维空间$\mathbb{R}^3 $。此时和空间是直和。

`例`设$V_1 $ 和$V_2 $ 是 4 维线性空间$V $ 的子空间，且$\dim V_1 = 3 $，$ \dim V_2 = 2 $。
 问：$ \dim(V_1 \cap V_2) $ 的取值范围是多少？

思路分析：题目没给具体交集，但我们可以用不等式夹逼。
第一步（上限）：交集是$V_1 $ 的子集，所以$\dim(V_1 \cap V_2) \le \min(\dim V_1, \dim V_2) = \min(3,2) = 2 $。
 第二步（下限）：和空间$V_1+V_2 $ 是整个大空间$V $ 的子空间，所以$\dim(V_1+V_2) \le \dim V = 4 $。
  由维数公式：$ \dim(V_1 \cap V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1+V_2) = 3+2 - \dim(V_1+V_2) $。
  因为$\dim(V_1+V_2) \le 4 $，所以$\dim(V_1 \cap V_2) \ge 5 - 4 = 1 $。
  结论：$ 1 \le \dim(V_1 \cap V_2) \le 2 $。
  几何直觉：一个三维空间和一个二维空间放在 4 维空间里，它们不可能完全分开（否则维数和为5超过4了），所以至少有一条直线（1维）是共用的。

`例`设$A $ 是$m \times n $ 矩阵，$ B $ 是$n \times s $ 矩阵，且$AB = 0 $。
 证明：$ \mathrm{rank}(A) + \mathrm{rank}(B) \le n $。
（这是考研线性代数最常考的秩不等式之一）*

思路分析：看到$AB=0 $，立即联想到 $ B $ 的每一列都是齐次方程组$AX=0 $ 的解。
 第一步（转为解空间）：
  令$W $ 为方程组$AX=0 $ 的解空间。则$B $ 的$s $ 个列向量都属于$W $。
  所以，$ B $ 的列向量组张成的空间（即$B $ 的列空间$C(B) $）是$W $ 的子空间。
  因此：$ \dim C(B) \le \dim W $。
 第二步（套用秩-零化度定理）：
   由秩-零化度定理：$ \dim W = n - \mathrm{rank}(A) $。
    又因为矩阵的秩等于列秩：$ \dim C(B) = \mathrm{rank}(B) $。
  第三步（得出结论）：
     将第一步和第二步连起来：$ \mathrm{rank}(B) \le n - \mathrm{rank}(A) $。
    移项即得：$ \mathrm{rank}(A) + \mathrm{rank}(B) \le n $。证毕。

## 几何理解维数公式：拼桌子的比喻
想象你有两张桌子：

- **桌子 A**（代表$ V_1 $）有 **4条腿**（维数）。
- **桌子 B**（代表$ V_2 $）有 **6条腿**（维数）。

如果你直接把两张桌子搬进一个房间（求 **和空间$ V_1+V_2 $**），房间里是不是应该有$ 4+6=10 $ 条腿？

**不一定。**

因为这两张桌子可能共用了几条腿（共用腿就是 **交空间$ V_1 \cap V_2 $** ）。

- 如果它们共用 **2条腿**，那么房间里实际只有$ 4+6-2 = 8 $ 条腿。
- 如果它们完全不共用（交集为$\{0\}$，维数为 0），那么房间里就有$ 4+6=10 $ 条腿（此时叫**直和**）。

**所以，维数公式的核心思想是：计算并集（和空间）的大小时，要把重复计算的部分（交集）减去一次。**

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