最后更新: 2026-07-02 09:11 查看: 111 次纠错评论(0) 课件开VIP

子空间的直和与补空间

## 子空间的直和
我们先考查三维几何空间 $V$ ．设过坐标原点 $O$ 的两张不重合的平面分别代表 $V$ 的两个子空间 $M_1$ 与 $M_2$（参看图4．4）．显然，$M_1+M_2=V$ ．因此，$V$ 内任一向量 $\alpha$ 可表为

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right) .
$$

![图片](/uploads/2025-10/2f68de.jpg)
 
解释一下： 参考下图，再$M_1$里取一个红色向量，再$M_2$里取一个橙色向量，根据平行四边形法则，可以合成一个绿色向量。所有绿色想象组成了V空间。

![图片](/uploads/2026-07/84c813.jpg)

但现在这个表示方法不是唯一的．就是说，我们可以找到 $\alpha$ 的另一表示方法

$$
\alpha=\alpha_1^{\prime}+\alpha_2^{\prime} \quad\left(\alpha_1^{\prime} \in M_1, \alpha_2^{\prime} \in M_2\right),
$$

且 $\alpha_1^{\prime} \neq \alpha_1, \alpha_2^{\prime} \neq \alpha_2$ ．最简单的例子是考查 $V$ 中的零向量．设 $\beta$ 为 $M_1 \cap M_2=L$ 中任一向量．因为 $L \neq\{0\}$ ，可令 $\beta \neq 0$ ，而 $\beta \in M_1,-\beta \in M_2$ ，我们有

$$
0=0+0=\beta+(-\beta) .
$$

即 $V$ 中零向量至少有两种（实际上有无穷多种）方式表为 $M_1$ 和 $M_2$中向量之和的形式．

只要零向量表法不唯一，那么，任意向量的表法也不唯一．因为：设 $\alpha$ 有一个表示

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right),
$$

那么，有

$$
\begin{aligned}
\alpha & =\alpha+0=\left(\alpha_1+\alpha_2\right)+(\beta+(-\beta)) \\
& =\left(\alpha_1+\beta\right)+\left(\alpha_2-\beta\right)
\end{aligned}
$$

其中 $\alpha_1+\beta \in M_1, \alpha_2-\beta \in M_2$ ，且 $\alpha_1+\beta \neq \alpha_1, \alpha_2-\beta \neq \alpha_2$ ．
我们再考查另一种情况．设 $V$ 中过坐标原点 $O$ 的一张平面上的全体向量所成的集合 $M$ ，和过 $O$ 点但不在 $M$ 内的直线 $l$ 上的全体向量所成的集合 $L$ 分别代表 $V$ 的两个子空间（参看图4．5）．此时也有

$$
V=M+L .
$$

于是，$V$ 内任一向量 $\alpha$ 可表为

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M, \alpha_2 \in L\right),
$$

此时表法必定是唯一的．因若还有另一表法

$$
a=\alpha_1^{\prime}+\alpha_2^{\prime} \quad\left(\alpha_1^{\prime} \in M, \alpha_2^{\prime} \in L\right),
$$

![图片](/uploads/2025-10/f7d779.jpg)
 
 两式相减，得

$$
\begin{gathered}
\left(\alpha_1-\alpha_1^{\prime}\right)+\left(\alpha_2-\alpha_2^{\prime}\right)=0, \\
\alpha_1-\alpha_1^{\prime}=\alpha_2^{\prime}-\alpha_2 .
\end{gathered}
$$

于是 $\alpha_1-\alpha_1^{\prime} \in L \bigcap M=\{0\}$ ，即 $\alpha_1-\alpha_1^{\prime}=0, \alpha_1=\alpha_1^{\prime}$ 。因而又有 $\alpha_2=\alpha_2^{\prime}$ 。

> 上面两个例子反映了两种情况：第一种情况向量表法不唯一；第二种情况向量表法唯一。究其原因，主要在于第一种情况下两个子空间的交 $M_1 \cap M_2 \neq\{0\}$ ，而第二种情况下 $M \cap L=\{0\}$ 。

当我们研究一个线性空间时，常常需要设法把它分解成两个较低维的子空间 $M_1, M_2$（或更多个子空间 $M_1, M_2, \cdots, M_k$ ）的和：$V= M_1+M_2$ ．但如果出现的是第一种情况，对于我们利用这个分解式讨论问题显然是不方便的．我们希望的是出现第二种情况．因而，我们这一节里把第二种情况单独提出来研究．

**定义** 设 $M_1, M_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，$M_1+M_2=M$ ．如果对 $M$ 内任一向量 $\alpha$ ，其表示式

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right)
$$

是唯一的，则称 $M$ 是 $M_1$ 与 $M_2$ 的直和（亦称 $M_1+M_2$ 是**直和**），记做

$$
M=M_1 \oplus M_2 .
$$

**定理2.2** 设 $M_1, M_2$ 是数域 $K$ 上线性空间 $V$ 的两个有限维子空间，则下面几条互相等价：
（i）$M_1+M_2$ 是直和；
（ii） 0 向量表法唯一，即由

$$
0=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right),
$$

必定有 $\alpha_1=\alpha_2=0$ ；
（iii）$M_1 \cap M_2=\{0\}$ ；
（iv） $\operatorname{dim} M_1+\operatorname{dim} M_2=\operatorname{dim}\left(M_1+M_2\right)$ ．
证 采用轮转方式证明这些命题等价．

（i）$\Longrightarrow$（ii）按定义，$M_1+M_2$ 内任一向量表法唯一，因而零向量的表法当然是唯一的．
（ii）$\Longrightarrow$（iii）用反证法．若 $M_1 \cap M_2 \neq\{0\}$ ，则有一 $\beta \in M_1 \cap M_2$ ， $\beta \neq 0$ ．于是 $\beta \in M_1,-\beta \in M_2$ ，而

$$
0=\beta+(-\beta) .
$$

这与零向量表法唯一的假设矛盾。
（iii）$\Longrightarrow$（iv）利用定理2．1即得。
（iv）$\Longrightarrow$（i）利用定理2．1知 $\operatorname{dim}\left(M_1 \cap M_2\right)=0$ ，即 $M_1 \cap M_2= \{0\}$ ．对任一 $\alpha \in M_1+M_2$ ，如果

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2=\alpha_1^{\prime}+\alpha_2^{\prime} \quad\left(\alpha_1, \alpha_1^{\prime} \in M_1 ; \alpha_2, \alpha_2^{\prime} \in M_2\right),
$$

则有

$$
\alpha_1-\alpha_1^{\prime}=\alpha_2^{\prime}-\alpha_2 .
$$

于是 $\alpha_1-\alpha_1^{\prime} \in M_1 \cap M_2=\{0\}$ ，即 $\alpha_1-\alpha_1^{\prime}=0, \alpha_2-\alpha_2^{\prime}=0$ ．这说明 $\alpha_1=\alpha_1^{\prime}$ ， $\alpha_2=\alpha_2^{\prime}$ ，因而 $\alpha$ 表法唯一。

为了帮助读者理解直和的概念，我们再举两个例子。

`例2.8`考虑线性空间 $M_n(K)$ 。命 $M$ 为 $M_n(K)$ 内主对角线上元素之和为零的方阵所成的子空间．又命 $N$ 为全体 $n$ 阶数量矩阵 $d E(d \in K)$ 所成的子空间．如果 $A \in M \cap N$ ，则 $A=d E$ ．但 $A$ 的主对角线上元素之和 $n d=0$ ，故 $d=0$ ．于是 $A=0$ ．由此即得 $M \cap N=\{0\}$ ，所以，$M+N$ 是直和．

`例2.9` 如果在例2．8中 $M$ 不变，而把 $N$ 改为 $M_n(K)$ 内全体对角矩阵所组成的子空间，那么 $M+N$ 不是直和，因为

$$
\left[\begin{array}{lllll}
1 & & & & \\
& -1 & & & \\
& & 0 & & \\
& & & \ddots & \\
& & & & 0
\end{array}\right] \in M \cap N,
$$

即 $M \cap N \neq\{0\}$ 。
下面我们来研究多个子空间的直和．为书写简单，我们采用如下记号

$$
M_1+M_2+\cdots+M_k=\sum_{i=1}^k M_i .
$$

**定义** 设 $M_1, M_2, \cdots, M_k$ 为线性空间 $V$ 的子空间，$M_1+M_2+\cdots +M_k=M$ ．如果对 $M$ 中任一向量 $\alpha$ ，表达式

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k \quad\left(\alpha_i \in M_i, i=1,2, \cdots, k\right)
$$

是唯一的，则称 $M$ 是 $M_1, M_2, \cdots, M_k$ 的**直和** $\left(\right.$ 亦称 $M_1+M_2+\cdots+M_k$是直和），记做

![图片](/uploads/2025-10/f68736.jpg)
 
 **定理2.3** 设 $M_1, M_2, \cdots, M_k$ 是数域 $K$ 上线性空间 $V$ 的有限维子空间，则下列命题互相等价：
（i）$M=M_1+M_2+\cdots+M_k$ 是直和；
（ii）零向量的表法唯一，即若

$$
0=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k \quad\left(\alpha_i \in M_i, i=1,2, \cdots, k\right),
$$

则 $\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0$ ；
（iii）$M_i \cap\left(\sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^k M_j\right)=\{0\} \quad(i=1,2, \cdots, k)$ ；
（iv） $\operatorname{dim} \sum_{i=1}^k M_i=\sum_{i=1}^k \operatorname{dim} M_i$ ．
证 采用轮转方式来证明上述命题互相等价．

（i）$\Longrightarrow$（ii）显然．
（ii）$\Longrightarrow$（iii）用反证法．若有某个 $i$ ，使

$$
M_i \cap\left(\sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^k M_j\right) \neq\{0\}
$$

设 $\beta$ 为此交集中一个非零向量，则 $-\beta \in M_i, \beta \in \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^k M_j$ ．于是 $\beta$ 可表作

$$
\beta=\alpha_1+\cdots+\alpha_{i-1}+\alpha_{i+1}+\cdots+\alpha_k,
$$

其中 $\alpha_j \in M_j(j \neq i)$ ．那么，就有

$$
\begin{aligned}
0 & =\beta+(-\beta) \\
& =\alpha_1+\cdots+\alpha_{i-1}+(-\beta)+\alpha_{i+1}+\cdots+\alpha_k,
\end{aligned}
$$

其中至少 $(-\beta) \neq 0$ ，这与零向量的表法唯一矛盾．
（iii）$\Rightarrow$（iv）采用数学归纳法．当 $k=2$ 时即为定理 2．2．今设命题对 $k-1$ 个子空间的情况成立，证明它对 $k$ 个子空间的情况也成立．

因为 $M_1 \cap\left(\sum_{i=2}^k M_j\right)=\{0\}$ ，应用维数公式，有

$$
\operatorname{dim} \sum_{i=1}^k M_i=\operatorname{dim} M_1+\operatorname{dim} \sum_{j=2}^k M_j .
$$

对任一 $M_j(j \geqslant 2)$ 有

$$
M_j \cap\left(\sum_{\substack{s=2 \\ s \neq j}}^k M_s\right) \subseteq M_j \cap\left(\sum_{\substack{s=1 \\ s \neq j}}^k M_s\right)=\{0\} .
$$

于是，按归纳假设，有

$$
\operatorname{dim} \sum_{j=2}^k M_j=\sum_{j=2}^k \operatorname{dim} M_j .
$$

从而

$$
\operatorname{dim} \sum_{i=1}^k M_i=\sum_{i=1}^k \operatorname{dim} M_i .
$$

（iv）$\Rightarrow$（i）先证

$$
M_i \cap\left(\sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^k M_j\right)=\{0\} \quad(i=1,2, \cdots, k) .
$$

对任一 $i$ ，按维数公式及其推论，有

$$
\begin{aligned}
0 & \leqslant \operatorname{dim}\left\{M_i \cap\left(\sum_{\substack{j=1 \\
j \neq i}}^k M_j\right)\right\}=\operatorname{dim} M_i+\operatorname{dim} \sum_{\substack{j=1 \\
j \neq i}}^k M_j-\operatorname{dim} \sum_{j=1}^k M_j \\
& \leqslant \operatorname{dim} M_i+\sum_{\substack{j=1 \\
j \neq i}}^k \operatorname{dim} M_j-\operatorname{dim} \sum_{j=1}^k M_j \\
& =\sum_{j=1}^k \operatorname{dim} M_j-\operatorname{dim} \sum_{j=1}^k M_j
\end{aligned}
$$

由假设， $\operatorname{dim} \sum_{j=1}^k M_j=\sum_{j=1}^k \operatorname{dim} M_j$ ，故

即

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{dim} M_i \cap\left(\sum_{\substack{j=1 \\
j \neq i}}^k M_j\right)=0, \\
& M_i \cap\left(\sum_{\substack{j=1 \\
j \neq i}}^k M_j\right)=\{0\} .
\end{aligned}
$$

现设 $\alpha \in \sum_{i=1}^k M_i$ ，证明 $\alpha$ 的表法唯一。命

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k=\alpha_1^{\prime}+\alpha_2^{\prime}+\cdots+\alpha_k^{\prime},
$$

其中 $\alpha_i, \alpha_i^{\prime} \in M_i(i=1,2, \cdots, k)$ ．对任一 $i$ ，有

$$
\begin{aligned}
\alpha_i-\alpha_i^{\prime} & =\left(\alpha_1^{\prime}-\alpha_1\right)+\cdots+\left(\alpha_{i-1}^{\prime}-\alpha_{i-1}\right) \\
& +\left(\alpha_{i+1}^{\prime}-\alpha_{i+1}\right)+\cdots+\left(\alpha_k^{\prime}-\alpha_k\right) \in \sum_{\substack{j=1 \\
j \neq i}}^k M_j
\end{aligned}
$$

于是

$$
\alpha_i-\alpha_i^{\prime} \in M_i \cap\left(\sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^k M_j\right)=\{0\},
$$

即 $\alpha_i-\alpha_i^{\prime}=0$ ，亦即 $\alpha_i=\alpha_i^{\prime}(i=1,2, \cdots, k)$ 。这说明 $\alpha$ 的表法是唯一的。所以 $M=M_1+M_2+\cdots+M_k$ 是直和．

> 定理 2.2 和定理 2.3 给出了两个子空间和多个子空间的和是不是直和的几种判别法则．这些法则在许多理论问题上都是有用的．

**推论** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$M_1, M_2, \cdots, M_k$ 是其子空间，且

$$
V=M_1 \oplus M_1 \oplus \cdots \oplus M_k
$$

则在每个子空间 $M_i$ 内取一组基，合并后即成 $V$ 的一组基．
证 设 $M_i$ 内取定基 $\varepsilon_{i 1}, \varepsilon_{i 2}, \cdots, \varepsilon_{i n_i}$ ，则 $n_i=\operatorname{dim} M_i$ 。按上面定理，有 $n_1+n_2+\cdots+n_k=\operatorname{dim} V=n$ ．故这些向量组合并后所得向量组（I）共含 $n$ 个向量．任给 $\alpha \in V$ ，我们有

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k\left(\alpha_i \in M_i\right) .
$$

现在每个 $\alpha_i$ 可被 $\varepsilon_{i 1}, \varepsilon_{i 2}, \cdots, \varepsilon_{i n_i}$ 线性表示，从而 $\alpha$ 可被（I）线性表示，按本章命题1．1的推论知（I）为 $V$ 的一组基．

下面再介绍一个重要的事实。
**命题2．4** 设 $M$ 是数域 $K$ 上有限维线性空间 $V$ 的一个子空间，则必存在 $V$ 的子空间 $N$ ，使

$$
V=M \oplus N .
$$

证 若 $M=\{0\}$ ，则取 $N=V$ ．下面设 $M \neq\{0\}$ ．在 $M$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$ ，则 $M=L\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r\right)$ 。另一方面，按命题 $2.2, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots$ ， $\varepsilon_r$ 可扩充成 $V$ 的一组基

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r, \varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n .
$$

令 $N=L\left(\varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n\right)$ ，则显见有 $V=M+N$ ．又因为 $\operatorname{dim} V=n= r+(n-r)=\operatorname{dim} M+\operatorname{dim} N$ ，故由定理 2.2 知：$V=M \oplus N$ ．

命题2．4中所指出的子空间 $N$ 称为子空间 $M$ 的一个**补空间**．一个子空间的补空间不是唯一的，因为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$ 可以有多种方式 （实际上有无穷多种方式）扩充成空间的一组基．为了帮助读者领会这一现象，我们看一个例子。

`例2.10`考虑平面上以坐标原点 $O$ 为起点的全体向量所组成的实数域上二维线性空间 $V$ ．过 $O$ 点的一条直线上的全体向量组成一个一维子空间 $M$ ．过 $O$ 点再任意作一条不与 $M$ 重合的直线，它上面的全体向量组成一个一维子空间 $N$ ．现在 $M \cap N=\{0\}$ ，所以 $V= M \oplus N$ ，于是 $N$ 是 $M$ 的一个补空间．显然，$N$ 可以有无穷多种取法．当 $M, N$ 确定之后，从图4．6可以看出，平面上任一向量 $\alpha$ 可按平行四边形法则唯一地分解成

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M, \alpha_2 \in N\right) .
$$

如果改变 $N$ 的选择，那么这个分解式中的 $\alpha_1, \alpha_2$ 都要跟着改变．

![图片](/uploads/2025-10/91b1dc.jpg)

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