最后更新: 2025-10-20 09:10 查看: 41 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

子空间的直和

## 子空间的直和
我们先考查三维几何空间 $V$ ．设过坐标原点 $O$ 的两张不重合的平面分别代表 $V$ 的两个子空间 $M_1$ 与 $M_2$（参看图4．4）．显然，

![图片](/uploads/2025-10/2f68de.jpg)
 
 $M_1+M_2=V$ ．因此，$V$ 内任一向量 $\alpha$ 可表为

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right) .
$$

但现在这个表示方法不是唯一的．就是说，我们可以找到 $\alpha$ 的另一表示方法

$$
\alpha=\alpha_1^{\prime}+\alpha_2^{\prime} \quad\left(\alpha_1^{\prime} \in M_1, \alpha_2^{\prime} \in M_2\right),
$$

且 $\alpha_1^{\prime} \neq \alpha_1, \alpha_2^{\prime} \neq \alpha_2$ ．最简单的例子是考查 $V$ 中的零向量．设 $\beta$ 为 $M_1 \cap M_2=L$ 中任一向量．因为 $L \neq\{0\}$ ，可令 $\beta \neq 0$ ，而 $\beta \in M_1,-\beta \in M_2$ ，我们有

$$
0=0+0=\beta+(-\beta) .
$$

即 $V$ 中零向量至少有两种（实际上有无穷多种）方式表为 $M_1$ 和 $M_2$中向量之和的形式．

只要零向量表法不唯一，那么，任意向量的表法也不唯一．因为：设 $\alpha$ 有一个表示

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right),
$$

那么，有

$$
\begin{aligned}
\alpha & =\alpha+0=\left(\alpha_1+\alpha_2\right)+(\beta+(-\beta)) \\
& =\left(\alpha_1+\beta\right)+\left(\alpha_2-\beta\right)
\end{aligned}
$$

其中 $\alpha_1+\beta \in M_1, \alpha_2-\beta \in M_2$ ，且 $\alpha_1+\beta \neq \alpha_1, \alpha_2-\beta \neq \alpha_2$ ．
我们再考查另一种情况．设 $V$ 中过坐标原点 $O$ 的一张平面上的全体向量所成的集合 $M$ ，和过 $O$ 点但不在 $M$ 内的直线 $l$ 上的全体向量所成的集合 $L$ 分别代表 $V$ 的两个子空间（参看图4．5）．此时也有

$$
V=M+L .
$$

于是，$V$ 内任一向量 $\alpha$ 可表为

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M, \alpha_2 \in L\right),
$$

此时表法必定是唯一的．因若还有另一表法

$$
a=\alpha_1^{\prime}+\alpha_2^{\prime} \quad\left(\alpha_1^{\prime} \in M, \alpha_2^{\prime} \in L\right),
$$

![图片](/uploads/2025-10/f7d779.jpg)
 
 两式相减，得

$$
\begin{gathered}
\left(\alpha_1-\alpha_1^{\prime}\right)+\left(\alpha_2-\alpha_2^{\prime}\right)=0, \\
\alpha_1-\alpha_1^{\prime}=\alpha_2^{\prime}-\alpha_2 .
\end{gathered}
$$

于是 $\alpha_1-\alpha_1^{\prime} \in L \bigcap M=\{0\}$ ，即 $\alpha_1-\alpha_1^{\prime}=0, \alpha_1=\alpha_1^{\prime}$ 。因而又有 $\alpha_2=\alpha_2^{\prime}$ 。
上面两个例子反映了两种情况：第一种情况向量表法不唯一；第二种情况向量表法唯一。究其原因，主要在于第一种情况下两个子空间的交 $M_1 \cap M_2 \neq\{0\}$ ，而第二种情况下 $M \cap L=\{0\}$ 。

当我们研究一个线性空间时，常常需要设法把它分解成两个较低维的子空间 $M_1, M_2$（或更多个子空间 $M_1, M_2, \cdots, M_k$ ）的和：$V= M_1+M_2$ ．但如果出现的是第一种情况，对于我们利用这个分解式讨

论问题显然是不方便的．我们希望的是出现第二种情况．因而，我们这一节里把第二种情况单独提出来研究．

定义 设 $M_1, M_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，$M_1+M_2=M$ ．如果对 $M$ 内任一向量 $\alpha$ ，其表示式

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right)
$$

是唯一的，则称 $M$ 是 $M_1$ 与 $M_2$ 的直和（亦称 $M_1+M_2$ 是直和），记做

$$
M=M_1 \oplus M_2 .
$$

定理 2.2 设 $M_1, M_2$ 是数域 $K$ 上线性空间 $V$ 的两个有限维子空间，则下面几条互相等价：
（i）$M_1+M_2$ 是直和；
（ii） 0 向量表法唯一，即由

$$
0=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M_1, \alpha_2 \in M_2\right),
$$

必定有 $\alpha_1=\alpha_2=0$ ；
（iii）$M_1 \cap M_2=\{0\}$ ；
（iv） $\operatorname{dim} M_1+\operatorname{dim} M_2=\operatorname{dim}\left(M_1+M_2\right)$ ．
证 采用轮转方式证明这些命题等价．

（i）$\Longrightarrow$（ii）按定义，$M_1+M_2$ 内任一向量表法唯一，因而零向量的表法当然是唯一的．
（ii）$\Longrightarrow$（iii）用反证法．若 $M_1 \cap M_2 \neq\{0\}$ ，则有一 $\beta \in M_1 \cap M_2$

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