最后更新: 2025-10-20 08:58 查看: 21 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

商空间

## 商空间
前面几段我们介绍了研究线性空间的第一种基本方法，即集中力量探讨它的某些局部：子空间，特别是设法把一个维数高的线性空间分解为一些维数较低的子空间的直和．现在我们来介绍研究线性空间的第二种基本方法．这种方法可以从日常生活得到启示．在日常生活中，当我们要了解一个地区（或一个国家）的全貌时，由于地域辽阔，我们无法一览无遗。于是人们想出一个办法，即画出该地区的地图．在地图上一个大的山脉，一座城镇都被简化成一个点，这样，只用一张纸就把该地区的全景清晰地展现在人们的面前了。这种方法用到线性空间理论中来，就是商空间的概念．具体说，商空间的基本思想，就是以线性空间 $V$ 的某个子空间 $M$ 作基准，把 $V$ 的元素划分成许多大类，每个大类看做一个新集合中的一个元素，就好比把一个大的城镇化作地图中的一个点一样。这个新的集合从总体上反映了原线性空间的全貌，就像地图大致展现一个地区的全貌一样．

$M$ 是它的一个子空间．
现在我们利用 $M$ 对 $V$ 中的向量进行分类．
首先来考查一个例子。设 $A$ 是数域 $K$ 上一个 $m \times n$ 矩阵，已知齐次线性方程组 $A X=0$ 的全体解向量组成 $K^n$ 的一个子空间 $M$ ．任给 $X_0 \in K^n$ ，设 $A X_0=B$ 。现在考查 $K$ 上线性方程组 $A X=B$ 。它有一个特解 $X_0$ ，根据第二章 § 3，这个线性方程组的全部解向量是 $K^n$ 的如下子集：

$$
\left\{X_0+Y \mid Y \in M\right\} .
$$

我们可以直观地把这个子集记做 $X_0+M$ ，这样，我们就把 $K^n$ 中全体向量按子空间 $M$ 进行分类，每一类向量 $X_0+M$ 由以 $A$ 为系数矩阵的某个线性方程组 $A X=B$ 的全体解向量组成。 $K^n$ 中两个向量 $X_0$ ， $Y_0$ 属于同一类的充分必要条件是它们是同一线性方程组 $A X=B$ 的解向量，而这又等价于：$Y_0-X_0 \in M$ ．下面把这个例子中包含的思想上升为一般概念。

定义 设 $\alpha$ 是 $V$ 的一个向量．如果 $V$ 的一个向量 $\alpha^{\prime}$ 满足： $\alpha^{\prime}-\alpha \in M$ ，则称 $\alpha^{\prime}$ 与 $\alpha$ 模 $M$ 同余，记做 $\alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M)$ 。

不难看出，向量模 $M$ 同余的关系具有如下三条性质：
$1)$ 反身性：$\alpha \equiv \alpha(\bmod M)$ ；
$2)$ 对称性：若 $\alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M)$ ，则 $\alpha \equiv \alpha^{\prime}(\bmod M)$ ；
$3) ~$ 传递性：若 $\alpha^{\prime \prime} \equiv \alpha^{\prime}(\bmod M), \alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M)$ ，则 $\alpha^{\prime \prime} \equiv \alpha(\bmod M)$.
这就是说，模 $M$ 同余是 $V$ 中的一个等价关系。我们来把相应的等价类写出来．

设 $\alpha$ 是 $V$ 中任意一个向量，定义 $V$ 的子集

$$
\alpha+M=\{\alpha+m \mid m \in M\} .
$$

我们称 $\alpha+M$ 为一个模 $M$ 的同余类或称为模 $M$ 的剩余类，而 $\alpha$ 称为
这个同余类的一个代表．
关于模 $M$ 的同余类，有如下简单的性质：
1）$\alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M) \Longleftrightarrow \alpha^{\prime}-\alpha \in M \Longleftrightarrow \alpha^{\prime} \in \alpha+M$ ；
2）$\alpha^{\prime} \in \alpha+M \Longleftrightarrow \alpha^{\prime}+M=\alpha+M$ ；
3）$\alpha+M=0+M \Longleftrightarrow \alpha \in M$ ；
4）若 $\alpha^{\prime}+M \neq \alpha+M$ ，则 $\left(\alpha^{\prime}+M\right) \cap(\alpha+M)=\varnothing$ ．
证 1）按定义，此性质是显然的．
2）$\alpha^{\prime} \in \alpha+M \Longrightarrow \alpha^{\prime}=\alpha+m(m \in M)$ ，则对任意 $m_1 \in M$ 有 $\alpha^{\prime}+m_1 =\alpha+\left(m+m_1\right) \in \alpha+M$ ，于是 $\alpha^{\prime}+M \subseteq \alpha+M$ ．同时，又因 $\alpha=\alpha^{\prime}-m$ ，故 $\alpha+m_1=\alpha^{\prime}+\left(m_1

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