最后更新: 2026-07-02 10:58 查看: 57 次纠错评论(0) 课件开VIP

商空间、同余类与剩余类

## 商空间
前面几段我们介绍了研究线性空间的第一种基本方法，即集中力量探讨它的某些局部：子空间，特别是设法把一个维数高的线性空间分解为一些维数较低的子空间的直和．现在我们来介绍研究线性空间的第二种基本方法:商空间。这种方法可以从日常生活得到启示．

> **在日常生活中，当我们要了解一个地区（或一个国家）的全貌时，由于地域辽阔，我们无法一览无遗。于是人们想出一个办法，即画出该地区的地图．在地图上一个大的山脉，一座城镇都被简化成一个点，这样，只用一张纸就把该地区的全景清晰地展现在人们的面前了。这种方法用到线性空间理论中来，就是商空间的概念．具体说，商空间的基本思想，就是以线性空间 $V$ 的某个子空间 $M$ 作基准，把 $V$ 的元素划分成许多大类，每个大类看做一个新集合中的一个元素，就好比把一个大的城镇化作地图中的一个点一样。这个新的集合从总体上反映了原线性空间的全貌，就像地图大致展现一个地区的全貌一样**．

在这一段中，我们总假定$V$是数域K上的一个n维线性空间， $M$ 是它的一个子空间．现在我们利用 $M$ 对 $V$ 中的向量进行分类．

首先来考查一个例子。设 $A$ 是数域 $K$ 上一个 $m \times n$ 矩阵，已知齐次线性方程组 $A X=0$ 的全体解向量组成 $K^n$ 的一个子空间 $M$ ．任给 $X_0 \in K^n$ ，设 $A X_0=B$ 。现在考查 $K$ 上线性方程组 $A X=B$ 。它有一个特解 $X_0$ ，根据第二章 § 3，这个线性方程组的全部解向量是 $K^n$ 的如下子集：

$$
\left\{X_0+Y \mid Y \in M\right\} .
$$

我们可以直观地把这个子集记做 $X_0+M$ ，这样，我们就把 $K^n$ 中全体向量按子空间 $M$ 进行分类，每一类向量 $X_0+M$ 由以 $A$ 为系数矩阵的某个线性方程组 $A X=B$ 的全体解向量组成。 $K^n$ 中两个向量 $X_0$ ， $Y_0$ 属于同一类的充分必要条件是它们是同一线性方程组 $A X=B$ 的解向量，而这又等价于：$Y_0-X_0 \in M$ ．下面把这个例子中包含的思想上升为一般概念。

**定义** 设 $\alpha$ 是 $V$ 的一个向量．如果 $V$ 的一个向量 $\alpha^{\prime}$ 满足： $\alpha^{\prime}-\alpha \in M$ ，则称 $\alpha^{\prime}$ 与 $\alpha$ 模 $M$ 同余，记做 $\alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M)$ 。

不难看出，向量模 $M$ 同余的关系具有如下三条性质：
$1)$ 反身性：$\alpha \equiv \alpha(\bmod M)$ ；
$2)$ 对称性：若 $\alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M)$ ，则 $\alpha \equiv \alpha^{\prime}(\bmod M)$ ；
$3) ~$ 传递性：若 $\alpha^{\prime \prime} \equiv \alpha^{\prime}(\bmod M), \alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M)$ ，则 $\alpha^{\prime \prime} \equiv \alpha(\bmod M)$.
这就是说，模 $M$ 同余是 $V$ 中的一个等价关系。我们来把相应的等价类写出来．

设 $\alpha$ 是 $V$ 中任意一个向量，定义 $V$ 的子集

$$
\alpha+M=\{\alpha+m \mid m \in M\} .
$$

我们称 $\alpha+M$ 为一个模 $M$ 的**同余类**或称为模 $M$ 的**剩余类**，而 $\alpha$ 称为这个同余类的一个代表．
关于模 $M$ 的同余类，有如下简单的性质：
1）$\alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M) \Longleftrightarrow \alpha^{\prime}-\alpha \in M \Longleftrightarrow \alpha^{\prime} \in \alpha+M$ ；
2）$\alpha^{\prime} \in \alpha+M \Longleftrightarrow \alpha^{\prime}+M=\alpha+M$ ；
3）$\alpha+M=0+M \Longleftrightarrow \alpha \in M$ ；
4）若 $\alpha^{\prime}+M \neq \alpha+M$ ，则 $\left(\alpha^{\prime}+M\right) \cap(\alpha+M)=\varnothing$ ．
证 1）按定义，此性质是显然的．
2）$\alpha^{\prime} \in \alpha+M \Longrightarrow \alpha^{\prime}=\alpha+m(m \in M)$ ，则对任意 $m_1 \in M$ 有 $\alpha^{\prime}+m_1 =\alpha+\left(m+m_1\right) \in \alpha+M$ ，于是 $\alpha^{\prime}+M \subseteq \alpha+M$ ．同时，又因 $\alpha=\alpha^{\prime}-m$ ，故 $\alpha+m_1=\alpha^{\prime}+\left(m_1-m\right) \in \alpha^{\prime}+M$ ．于是 $\alpha+M \subseteq \alpha^{\prime}+M$ ．这表明

$$
\alpha^{\prime}+M=\alpha+M .
$$

3）按性质2）即知此性质成立（注意 $0+M=M$ ）．
4）若有 $\beta \in\left(\alpha^{\prime}+M\right) \cap(\alpha+M)$ ，则按性质2 $)$ 知
$$
\alpha^{\prime}+M=\beta+M=\alpha+M .
$$

线性空间 $V$ 内每个向量必属于某一模 $M$ 同余类（即以它自己为代表的那个同余类），而不同的同余类不相交，于是 $V$ 就可以看成一些彼此互相分离的同余类的并集。

![图片](/uploads/2025-10/501c85.jpg)

我们举一个例子。设 $V$ 为平面上以坐标原点 $O$ 为起点的全体向量所组成的线性空间。命 $M$ 为 $O X$ 轴上全体向量组成的一维子空间。两个平面向量 $\alpha, \alpha^{\prime}$ 之差 $\alpha^{\prime}-\alpha \in M$ 的充分必要条件是：它们的终点落在同一条平行于 $O X$ 轴的直线 $l$ 上（参看图4．7）。因此，现在 $V$ 内每个模 $M$ 的同余类可由一条平行于 $O X$ 轴的直线来表示，该同余类是由终点落在此直线上的全体向量组成的．显然，不同的同余类的交集是空集，而 $V$则是所有这些同余类的并集（如果从几何直观上看，那就是平面由平行于 $O X$ 轴的直线并成）．

命 $\bar{V}$ 表示 $V$ 内向量模 $M$ 的同余类的全体所成的集合（就上面的例子说， $\bar{V}$ 可以直观地理解为一条条平行于 $O X$ 轴的直线所组成的集合）．注意 $\bar{V}$ 不是 $V$ 的子集，它的每个元素是 $V$ 内模 $M$ 的一个同余类。

现在我们在集合 $\bar{V}$ 内引进加法和数乘运算：
（i）定义

$$
(\alpha+M)+(\beta+M)=(\alpha+\beta)+M ;
$$

（ii）对任意 $k \in K$ ，定义

$$
k(\alpha+M)=k \alpha+M .
$$

我们证明上面的定义在逻辑上是没有矛盾的，也就是说，在同一个同余类中选择不同元素作为代表时，上面所定义的加法和数乘都不会因之而出现不同的结果．我们分别对加法和数乘运算来做证明．

证（i）设

$$
\alpha+M=\alpha^{\prime}+M, \beta+M=\beta^{\prime}+M,
$$

则 $\alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M), \beta^{\prime} \equiv \beta(\bmod M)$ 。所以有

$$
\alpha^{\prime}=\alpha+m_1, \beta^{\prime}=\beta+m_2 \quad\left(m_1, m_2 \in M\right),
$$

故 $\alpha^{\prime}+\beta^{\prime}=\alpha+\beta+\left(m_1+m_2\right) \in(\alpha+\beta)+M$ ，于是

$$
\left(\alpha^{\prime}+\beta^{\prime}\right)+M=(\alpha+\beta)+M .
$$

这说明

$$
(\alpha+M)+(\beta+M)=\left(\alpha^{\prime}+M\right)+\left(\beta^{\prime}+M\right) .
$$

所以，上面所定义的同余类间的加法运算不会因为各同余类代表的选择的不同而出现矛盾。
（ii）设 $\alpha+M=\alpha^{\prime}+M$ ，则 $\alpha^{\prime} \equiv \alpha(\bmod M)$ ．所以

$$
\begin{aligned}
\alpha^{\prime} & =\alpha+m \quad(m \in M) \\
k \alpha^{\prime} & =k \alpha+k m \quad \in k \alpha+M,
\end{aligned}
$$

故 $k \alpha^{\prime}+M=k \alpha+M$ ．于是

$$
k(\alpha+M)=k\left(\alpha^{\prime}+M\right) .
$$

所以，上面所定义的同余类的数乘运算也不会因为其代表的选择不同而出现矛盾的结果。

现在我们来证明 $\bar{V}$ 关于上面所定义的加法与数乘运算成为数域 $K$ 上的一个线性空间．这需要逐一检验线性空间定义中的 8 个条件是否满足．

（i）

$$
\begin{aligned}
(\alpha+ & M)+[(\beta+M)+(\gamma+M)] \\
& =(\alpha+M)+[(\beta+\gamma)+M] \\
& =(\alpha+\beta+\gamma)+M=[(\alpha+\beta)+M]+(\gamma+M) \\
& =[(\alpha+M)+(\beta+M)]+(\gamma+M)
\end{aligned}
$$

（ii）

$$
\begin{aligned}
(\alpha+M)+(\beta+M) & =(\alpha+\beta)+M=(\beta+\alpha)+M \\
& =(\beta+M)+(\alpha+M)
\end{aligned}
$$

（iii）以零向量为代表的同余类 $0+M=M$ 满足：

$$
(\alpha+M)+(0+M)=\alpha+M,
$$

故 $0+M=M$ 是 $\bar{V}$ 中的零元素；
（iv）$(\alpha+M)+[(-\alpha)+M]=[\alpha+(-\alpha)]+M=0+M$ ，即 $(-\alpha) +M$ 是 $\alpha+M$ 的负元素；
（v） $1 \cdot(\alpha+M)=1 \cdot \alpha+M=\alpha+M$ ；
（vi）

$$
\begin{aligned}
(k l)(a+M) & =(k l) \alpha+M=k(l \alpha)+M \\
& =k(l \alpha+M)=k[l(\alpha+M)] ;
\end{aligned}
$$

（vii）$(k+l)(\alpha+M)=(k+l) \alpha+M=(k \alpha+l \alpha)+M$

$$
\begin{aligned}
& =(k \alpha+M)+(l \alpha+M) \\
& =k(\alpha+M)+l(\alpha+M) ;
\end{aligned}
$$

（viii）

$$
\begin{aligned}
k[(\alpha+M) & +(\beta+M)]=k[(\alpha+\beta)+M] \\
& =k(\alpha+\beta)+M=(k \alpha+k \beta)+M \\
& =(k \alpha+M)+(k \beta+M) \\
& =k(\alpha+M)+k(\beta+M)
\end{aligned}
$$

这样， $\bar{V}$ 关于所定义的加法与数乘确实组成数域 $K$ 上的一个线性空间．这个线性空间称为 $V$ 对子空间 $M$ 的商空间，记做 $V / M$ ．

为了把商空间的元素写的简单一点，我们使用记号：$\alpha+M=\bar{\alpha}$ ．于是由 $(\alpha+M)+(\beta+M)=(\alpha+\beta)+M$ 得出 $\bar{\alpha}+\bar{\beta}=\overline{\alpha+\beta}$ ，又由 $k(\alpha+M)=k \alpha+M$ 得出 $k \bar{\alpha}=\overline{k \alpha}$ 。 一般说，有

$$
\boxed{
k_1 \bar{\alpha}_1+k_2 \bar{\alpha}_2+\cdots+k_s \bar{\alpha}_s=\overline{k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s} .
}
$$

上面这个公式对于今后在商空间中讨论问题是很有用的．

下面来举一个商空间的具体例子．

`例2.11`设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵，以 $X$ 表示未知量 $x_1$ ， $x_2, \cdots, x_n$ 所成的 $n \times 1$ 矩阵。在例 2.2 中已指出：齐次线性方程组 $A X=0$ 的全体解向量组成 $K^n$ 的一个子空间 $M$ ．对于 $\alpha \in K^n$ ，把 $\alpha$ 看做 $K$ 上 $n \times 1$ 矩阵，令 $B=A \alpha$ ，那么 $\alpha$ 为线性方程组 $A X=B$ 的一个特解，模 $M$ 的剩余类 $\alpha+M$ 恰为线性方程组 $A X=B$ 的全体解向量所成的集合．这样，商空间 $K^n / M$ 的每一个元素就代表了 $K$ 上一个线性方程组 $A X=B$ 的全体解向量．这一认识对我们深入讨论线性方程组是有用的．

下面我们来讨论商空间的基与维数．

**命题 2.5** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$M$ 是 $V$ 的一个 $m$维子空间，则 $\operatorname{dim} V / M=n-m$ ．

证 在 $M$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_m$ ，扩充为 $V$ 的一组基：$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_m$ ， $\varepsilon_{m+1}, \cdots, \varepsilon_n$ ．我们来证明 $\bar{\varepsilon}_{m+1}, \cdots, \bar{\varepsilon}_n$ 是 $V / M$ 的一组基．
（i）证 $\bar{\varepsilon}_{m+1}, \cdots, \bar{\varepsilon}_n$ 线性无关．设有

$$
k_{m+1} \bar{\varepsilon}_{m+1}+\cdots+k_n \bar{\varepsilon}_n=\overline{0},
$$

那么

$$
\overline{k_{m+1} \varepsilon_{m+1}+\cdots+k_n \varepsilon_n}=\overline{0}=0+M \text {. }
$$

于是

$$
k_{m+1} \varepsilon_{m+1}+\cdots+k_n \varepsilon_n \in M .
$$

由此推知

$$
k_{m+1} \varepsilon_{m+1}+\cdots+k_n \varepsilon_n=k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_m \varepsilon_m .
$$

但 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_m, \varepsilon_{m+1}, \cdots, \varepsilon_n$ 线性无关，由上式立即推出 $k_{m+1}=\cdots=k_n=$ 0 ．这表明 $\bar{\varepsilon}_{m+1}, \cdots, \bar{\varepsilon}_n$ 在 $V / M$ 内线性无关．
（ii）对任意 $\bar{\alpha} \in V / M$ ，证明 $\bar{\alpha}$ 可被 $\bar{\varepsilon}_{m+1}, \bar{\varepsilon}_{m+2}, \cdots, \bar{\varepsilon}_n$ 线性表示．设 $\bar{\alpha}=\alpha+M$ ，有

$$
\alpha=k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_m \varepsilon_m+k_{m+1} \varepsilon_{m+1}+\cdots+k_n \varepsilon_n .
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\bar{\alpha} & =\overline{k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_m \varepsilon_m+k_{m+1} \varepsilon_{m+1}+\cdots+k_n \varepsilon_n} \\
& =k_1 \bar{\varepsilon}_1+\cdots+k_m \bar{\varepsilon}_m+k_{m+1} \bar{\varepsilon}_{m+1}+\cdots+k_n \bar{\varepsilon}_n \\
& =k_{m+1} \bar{\varepsilon}_{m+1}+\cdots+k_n \bar{\varepsilon}_n
\end{aligned}
$$

上面用到了 $\varepsilon_i \in M(i=1,2, \cdots, m)$ ，故 $\bar{\varepsilon}_i=\overline{0}$ ．
上面推理指明 $\bar{\varepsilon}_{m+1}, \cdots, \bar{\varepsilon}_n$ 是 $V / M$ 的一组基，命题得证．

## 类比数的同余类(剩余类)
####  1. 什么是同余类

**同余类（剩余类）**就是：**“除以某个数后，余数相同的一群整数”**。

比如，我问你：“除以 5 余 2 的数有哪些？”
你会回答：$ 2, 7, 12, 17, \dots$ 还有 $ -3, -8, -13, \dots$
**这所有余数为 2 的数，整体就叫“模 5 的一个剩余类”。**

####  2. 为什么叫“剩余类”？

- **剩余**：指的就是“除法剩下的余数”。
- **类**：指的是一类、一组、一伙。

**核心逻辑**：我不管你的“商”是 1 还是 100，**我只关心你“剩下”几**。只要剩下的数一样，你们就是同一个“剩余类”。

#### 3. 一个模数会把整数分成几个类？

除以 $ n$，余数只有 $ n$ 种可能：$ 0, 1, 2, \dots, n-1$。

所以，**模 $ n$ 的剩余类一共有 $ n$ 个**。

以 **模 5** 为例，全体整数被分成 5 个“家族”：

| 剩余类（家族名） | 包含的整数例子 |
| :--- | :--- |
| **类 [0]** （余0） | $ \dots, -10, -5, 0, 5, 10, 15, \dots$ |
| **类 [1]** （余1） | $ \dots, -9, -4, 1, 6, 11, 16, \dots$ |
| **类 [2]** （余2） | $ \dots, -8, -3, 2, 7, 12, 17, \dots$ |
| **类 [3]** （余3） | $ \dots, -7, -2, 3, 8, 13, 18, \dots$ |
| **类 [4]** （余4） | $ \dots, -6, -1, 4, 9, 14, 19, \dots$ |

**注意**：负数也算！$ -3$ 除以 5，商是 -1，余数是 2（因为 $ -3 = (-1)\times 5 + 2$），所以 $ -3$ 属于 **类 [2]**。

#### 4. 剩余类的“代表元”

因为我们把每个类看成一个整体，为了称呼方便，我们通常**从每个类里挑出一个最顺眼的数**来代表这个类。

最顺眼的数就是**非负的最小余数**：$ 0, 1, 2, \dots, n-1$。

- 类 [2] 里有无穷多个数（...，-8，2，7...），但我们一提起“类 [2]”，脑子里就默认用 **2** 来代表它。
- 这个挑出来的 2，就叫这个剩余类的**“代表元”**。

#### 5. 剩余类之间的“加减乘除”

这是同余类最有用的地方：**同余类之间可以直接做运算**。

- **加法**：类 [2] + 类 [4] = 类 [6] = **类 [1]** （因为 6 除以 5 余 1）。
- **乘法**：类 [2] × 类 [3] = 类 [6] = **类 [1]**。

**奇妙的地方**：这种运算结果和具体选哪个代表元无关！
比如计算类 [2] × 类 [4]（模 5）：
- 用代表元 2 和 4：$ 2 \times 4 = 8$，余 3，结果是类 [3]。
- 换一个代表元，比如用 7（也属于类[2]）和 9（属于类[4]）：$ 7 \times 9 = 63$，$ 63 \div 5$ 余 3，结果还是类 [3]。

#### 6. 几个容易混淆的小点（帮你排雷）

- **剩余类 vs 余数**：
  - **余数**是单个数字（比如 2）。
  - **剩余类**是**一整批**数字（比如 $ \dots, -8, 2, 7, 12 \dots$）。只不过我们习惯用“余数 2”来称呼这个类。
  
- **完全剩余系**：
  如果我从上面 5 个类里，每个类随便抽一个数，比如抽 $ \{ 5, 6, 7, 8, 9 \}$，
  这 5 个数合起来就叫**“模 5 的一个完全剩余系”**。
  说白了，就是**“每个类派一个代表来开会”**，刚好凑齐 0、1、2、3、4 的余数。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：子空间的直和与补空间

下一篇：线性映射

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)