最后更新: 2025-10-04 10:38 查看: 55 次纠错评论(0) 课件开VIP

线性映射

§ 3 线性映射与线性变换

现在我们来讨论数域 $K$ 上两个线性空间之间保持线性空间加法、数乘对应关系的映射．

1．线性映射
定义 设 $U, V$ 为数域 $K$ 上的两个线性空间，$f$ 为 $U$ 到 $V$ 的一个映射，且满足如下条件：
（i）对任意 $\alpha, \beta \in U$ ，有

$$
f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta) ;
$$

（ii）对任意 $\alpha \in U, k \in K$ ，有

$$
f(k \alpha)=k f(\alpha),
$$

则称 $f$ 为 $U$ 到 $V$ 的一个线性映射．$U$ 到 $V$ 的全体线性映射所成的集合记做 $\operatorname{Hom}(U, V)$ 。

由线性映射的条件（i），（ii）立即推出：
（iii）对任意 $\alpha, \beta \in U, k, l \in K$ ，有

$$
f(k \alpha+l \beta)=k f(\alpha)+l f(\beta) .
$$

反之，若 $U$ 到 $V$ 的一个映射满足（iii），只要分别令 $k=l=1$ 及 $l=0$即知条件（i），（ii）成立，从而为一线性映射．更一般地，我们有
（iv）对任意 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l \in U, k_1, k_2, \cdots, k_l \in K$ ，有

$$
\begin{aligned}
& f\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_l \alpha_l\right) \\
& \quad=k_1 f\left(\alpha_1\right)+k_2 f\left(\alpha_2\right)+\cdots+k_l f\left(\alpha_l\right)
\end{aligned}
$$

上面的（iv）是线性映射最基本的属性，线性映射的所有理论都是以（iv）作为立足点的。

从线性映射条件（ii）立即推出：$f(0)=0, f(-\alpha)=-f(\alpha)$ ．
下面来举一些实例。
例3．1 考查数域 $K$ 上线性空间 $M_{m, n}(K), M_{m, s}(K)$ 。取定 $K$ 上一个 $n \times s$ 矩阵 $A$ ．定义映射

$$
\begin{aligned}
f: M_{m, n}(K) & \longrightarrow M_{m, s}(K), \\
X & \longmapsto X A .
\end{aligned}
$$

上式的意思是：映射 $f$ 把 $M_{m, n}(K)$ 内任意向量 $X$（为 $m \times n$ 矩阵）映射为 $M_{m, s}(K)$ 内的向量 $X A$（矩阵乘法）．对 $X, Y \in M_{m, n}(K), k, l \in K$ ，有

$$
\begin{aligned}
f(k X+l Y) & =(k X+l Y) A=k X A+l Y A \\
& =k f(X)+l f(Y),
\end{aligned}
$$

故 $f$ 为一线性映射．

例 3.2 考查实数域上线性空间 $C(a, b)$ 的两个子空间（这里 $C(a, b)$ 表开区间 $(a, b)$ 内全体连续函数所成的 $\mathbb{R}$ 上线性空间）：

$$
\begin{aligned}
& M=L(1, \sin x, \sin 2 x, \cdots, \sin n x) ; \\
& N=L(1, \cos x, \cos 2 x, \cdots, \cos n x) .
\end{aligned}
$$

定义 $M$ 到 $N$ 的映射 D 为：对任意 $f(x) \in M, \mathrm{D} f(x)=f^{\prime}(x)$（求微商），则对任意 $f(x), g(x) \in M, k, l \in \mathbb{R}$ ，我们有

$$
\begin{aligned}
\mathrm{D}(k f(x)+l g(x)) & =k f^{\prime}(x)+l g^{\prime}(x) \\
& =k \mathrm{D} f(x)+l \mathrm{D} g(x)
\end{aligned}
$$

故 $D$ 为 $M$ 到 $N$ 的线性映射．
例3．3 在三维几何空间内取定直角坐标系 $O x y z$ ，设 3 个坐标向量为 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ ．则任一向量可唯一表示为

$$
\boldsymbol{a}=a \boldsymbol{i}+b \boldsymbol{j}+c \boldsymbol{k}
$$

定义三维几何空间全体向量所成的 $\mathbb{R}$ 上线性空间到 $\mathbb{R}^3$ 的映射 $f(\boldsymbol{a}) =(a, b, c)$ ，则 $f$ 是一个线性映射，且为双射．

例3．4 设 $V$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间。在 $V$ 内取定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，定义 $V$ 到 $K^n$ 的映射 $f$ 如下：若 $\alpha=a_1 \varepsilon_1+a_2 \varepsilon_2+\cdots+ a_n \varepsilon_n$ ，则令 $f(\alpha)=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 。根据§1所指出的向量坐标的基本性质可知 $f$ 是 $V$ 到 $K^n$ 的线性映射，而且也是双射．

例3．5 设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$M$ 是它的一个子空间．定义映射：

$$
\begin{aligned}
\varphi: V & \rightarrow V / M, \\
\alpha & \mapsto \alpha+M,
\end{aligned}
$$

则有

$$
\begin{aligned}
\varphi(\alpha+\beta) & =(\alpha+\beta)+M=(\alpha+M)+(\beta+M) \\
& =\varphi(\alpha)+\varphi(\beta) ; \\
\varphi(k \alpha) & =k \alpha+M=k(\alpha+M)=k \varphi(\alpha) .
\end{aligned}
$$

于是 $\varphi$ 是 $V$ 到商空间 $V / M$ 的线性映射．这个映射称为自然映射．显然自然映射是满射，但不是单射（当 $M \neq\{0\}$ 时）．因为取 $\alpha, \beta \in M, \alpha \neq \beta$ ，此时

$$
\varphi(\alpha)=\alpha+M=0+M=\beta+M=\varphi(\beta) .
$$

另外，从 $\varphi$ 的定义可知：$\varphi(\alpha)=\overline{0}$ 的充分必要条件是 $\alpha \in M$ ．
命题3．1 设 $U, V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$f$ 是 $U$ 到 $V$ 的线性映射，且为单射．则 $U$ 内向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l$ 线性无关的充分必要条件是 $f\left(\alpha_1\right), f\left(\alpha_2\right), \cdots, f\left(\alpha_l\right)$ 在 $V$ 内线性无关．

证 必要性 设有

$$
k_1 f\left(\alpha_1\right)+k_2 f\left(\alpha_2\right)+\cdots+k_l f\left(\alpha_l\right)=0,
$$

由线性映射的基本属性，有 $f\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_l \alpha_l\right)=0$ ，已知 $f(0)=$ 0 ，又知 $f$ 为单射，故

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_l \alpha_l=0 .
$$

因 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l$ 为 $U$ 内线性无关向量组，故有 $k_1=k_2=\cdots=k_l=0$ ，即 $f\left(\alpha_1\right), f\left(\alpha_2\right), \cdots, f\left(\alpha_l\right)$ 线性无关．

充分性 设

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_l \alpha_l=0 .
$$
于是

$$
\begin{aligned}
& k_1 f\left(\alpha_1\right)+k_2 f\left(\alpha_2\right)+\cdots+k_l f\left(\alpha_l\right) \\
& \quad=f\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_l \alpha_l\right)=f(0)=0
\end{aligned}
$$

已知 $f\left(\alpha_1\right), f\left(\alpha_2\right), \cdots, f\left(\alpha_l\right)$ 在 $V$ 内线性无关，因而 $k_1=k_2=\cdots=k_l=$ 0 ，这表明 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l$ 在 $U$ 内线性无关．

命题3．2 设 $U, V$ 是数域 $K$ 上的线性空间， $\operatorname{dim} U=n . f$ 是 $U$到 $V$ 的线性映射．如果 $f$ 是双射，则对 $U$ 的任一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ， $f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)$ 为 $V$ 的一组基，从而 $\operatorname{dim} V=n$ 。

证 从命题3．1 已知 $f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)$ 为 $V$ 内线性无关向量组．任给 $\beta \in V$ ，由于 $f$ 为满射，故有 $\alpha \in U$ ，使 $f(\alpha)=\beta$ ．设

$$
\alpha=k_1 \varepsilon_1+k_2 \varepsilon_2+\cdots+k_n \varepsilon_n
$$

则

$$
\beta=f(\alpha)=k_1 f\left(\varepsilon_1\right)+k_2 f\left(\varepsilon_2\right)+\cdots+k_n f\left(\varepsilon_n\right)
$$

由此知 $f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)$ 为 $V$ 的一组基．

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