最后更新: 2025-10-04 10:39 查看: 36 次纠错评论(0) 课件开VIP

线性空间的同构

2．线性空间的同构

定义 设 $U$ 与 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，如果存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $f$ 同时又是双射，则称 $U$ 与 $V$ 同构，而 $f$ 称为 $U$ 到 $V$ 的同构映射．

上一段例 3.3 ，例 3.4 的线性映射 $f$ 都是同构映射．下面再举一个例子。

例 3.6 把复数域 $\mathbb{C}$ 看做实数域上的线性空间。又定义 $M_2(\mathbb{R})$的一个子集如下：

$$
A=\left\{\left.\left[\begin{array}{rr}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right] \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\} .
$$

显然，把 $M_2(\mathbb{R})$ 看做 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，$A$ 是它的一个子空间．定义映射如下：

$$
\begin{aligned}
& f: \mathbb{C} \rightarrow A, \\
& a+b \mathrm{i} \mapsto\left[\begin{array}{rr}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

则有

$$
\begin{aligned}
f((a+b \mathrm{i})+(c+d \mathrm{i})) & =f((a+c)+(b+d) \mathrm{i}) \\
& =\left[\begin{array}{rr}
a+c & b+d \\
-(b+d) & a+c
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{rr}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}
c & d \\
-d & c
\end{array}\right] \\
& =f(a+b \mathrm{i})+f(c+d \mathrm{i})
\end{aligned}
$$

对任意实数 $k$ ，有

$$
\begin{aligned}
f(k(a+b \mathrm{i})) & =f(k a+k b \mathrm{i})=\left[\begin{array}{rr}
k a & k b \\
-k b & k a
\end{array}\right] \\
& =k\left[\begin{array}{rr}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right]=k f(a+b \mathrm{i}),
\end{aligned}
$$

故 $f$ 是一个线性映射．$f$ 显然是一个双射，所以 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上线性空间 $\mathbb{C}$ 到 $A$ 的同构映射．

命题 3.3 设 $U, V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$f$ 是 $U$ 到 $V$ 的同构映射．则 $f^{-1}$ 是 $V$ 到 $U$ 的同构映射．

证 因 $f$ 是双射，按第一章命题 $1.3, f$ 可逆，且 $f^{-1}$ 也是可逆映射（因 $f$ 为其逆映射），因而仍为双射．现在只要证 $f^{-1}$ 是 $V$ 到 $U$ 的线性映射即可。对任意 $\alpha, \beta \in V, k, l \in K$ ，有

$$
\begin{aligned}
f\left(k f^{-1}(\alpha)+l f^{-1}(\beta)\right) & =k f f^{-1}(\alpha)+l f f^{-1}(\beta) \\
& =k \alpha+l \beta
\end{aligned}
$$

从而

$$
\begin{aligned}
f^{-1}(k \alpha+l \beta) & =f^{-1} f\left(k f^{-1}(\alpha)+l f^{-1}(\beta)\right) \\
& =k f^{-1}(\alpha)+l f^{-1}(\beta)
\end{aligned}
$$

设 $U, V, W$ 都是数域 $K$ 上的线性空间．如果 $f$ 是 $U$ 到 $V$ 的同构映射，$g$ 是 $V$ 到 $W$ 的同构映射，显然，$g f$ 是 $U$ 到 $W$ 的同构映射（请读者自己证明）。这些事实说明，同一个数域 $K$ 上的线性空间，其同构关系具有反身性（每一个空间与自己同构，其恒等映射即为同构映射），对称性（如果 $U$ 与 $V$ 同构，则按命题 $3.3, V$ 与 $U$ 同构）及传递性．这就是说，线性空间的同构关系是一种等价关系．当我们只研究线性空间的加法、数乘运算而不涉及具体内容时，则同构的线性空间可以认为是一样的（即在上述意义下看做同一个线性空间）．如果 $U$ 是 $n$ 维线性空间，那么，按命题3．2，所有与 $U$ 同构的线性空间也都是 $n$ 维线性空间。反过来说，如果 $U, V$ 都是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，那么从例3．4可知它们都与 $K^n$ 同构，再由同构关系的对称性与传递性即知 $U$ 与 $V$ 同构．

利用线性空间的同构来讨论许多问题时，可以较简单地解决．下面是一个例子。

例 3.7 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间．证明 $V$ 内两组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 到 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 之间的过渡矩阵 $T=\left(t_{i j}\right)$ 是可逆的．

解 在例3．4中已经给出 $V$ 到 $K^n$ 的同构映射 $f$ ，现在 $\eta_1, \eta_2$ ， $\cdots, \eta_n$ 在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标为 $T$ 的列向量，已知 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 在 $V$线性无关，按照命题 $3.1, f\left(\eta_1\right), f\left(\eta_2\right), \cdots, f\left(\eta_n\right)$ 在 $K^n$ 线性无关，于是 $T$ 为满秩 $n$ 阶方阵。故 $T$ 可逆。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：线性映射

下一篇：线性映射的核、像集和余核

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)