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线性映射的核、像集和余核

3．线性映射的核、像集和余核
定义 设 $U, V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$f$ 是 $U$ 到 $V$ 的线性映射。定义

$$
\operatorname{Ker} f=\{\alpha \in U \mid f(\alpha)=0\}
$$

称为线性映射 $f$ 的核．又定义

$$
\operatorname{Im} f=\{f(\alpha) \mid \alpha \in U\}
$$

称为线性映射 $f$ 的像集．
线性映射的核与像集是刻画线性映射 $f$ 的性质的两个重要概念．

命题3．4 设 $U, V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ．则有：
（i） $\operatorname{Ker} f$ 是 $U$ 的子空间，$f$ 是单射的充分必要条件是 $\operatorname{Ker} f= \{0\}$ ；
（ii） $\operatorname{Im} f$ 是 $V$ 的子空间，定义 $\operatorname{Coker} f=V / \operatorname{Im} f . f$ 是满射的充分必要条件是

$$
\text { Coker } f=\{0\}
$$

Coker $f$ 称为线性映射 $f$ 的余核．
证（i）设 $\alpha, \beta \in \operatorname{Ker} f, k, l \in K$ ，则

$$
f(k \alpha+l \beta)=k f(\alpha)+l f(\beta)=0,
$$

即 $k \alpha+l \beta \in \operatorname{Ker} f$ ，这表明 $\operatorname{Ker} f$ 对加法、数乘封闭，从而为 $U$ 的子空间．若 $f$ 为单射，显然 $\operatorname{Ker} f=\{0\}$ ．反之，若 $\operatorname{Ker} f=\{0\}$ ，设有 $\alpha, \beta \in U$ ，使 $f(\alpha)=f(\beta)$ ，则 $f(\alpha-\beta)=f(\alpha)-f(\beta)=0$ ，故 $\alpha-\beta \in \operatorname{Ker} f= \{0\}$ ，即 $\alpha=\beta$ ．于是 $f$ 为单射．
（ii）设 $\alpha, \beta \in \operatorname{Im} f, k, l \in K$ ，于是有 $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime} \in U$ ，使 $f\left(\alpha^{\prime}\right)=\alpha$ ， $f\left(\beta^{\prime}\right)=\beta$ ，此时

$$
\begin{aligned}
f\left(k \alpha^{\prime}+l \beta^{\prime}\right) & =k f\left(\alpha^{\prime}\right)+l f\left(\beta^{\prime}\right) \\
& =k \alpha+l \beta \in \operatorname{Im} f .
\end{aligned}
$$

这表明 $\operatorname{Im} f$ 对 $V$ 内加法、数乘封闭，从而 $\operatorname{Im} f$ 为 $V$ 的子空间．$f$ 为满射等价于 $\operatorname{Im} f=V$ ，而这又等价于 Coker $f=V / \operatorname{Im} f=\{0\}$ 。

例 3.8 给定数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，在第二章 $\S 4$ 已指出， $A$ 给出 $K^n$ 到 $K^m$ 的一个保持向量加法、数乘的映射，亦即一个线性映射：

$$
f_A(X)=A X \quad\left(\forall X \in K^n\right) .
$$

现在

$$
\operatorname{Ker} f_A=\left\{X \in K^n \mid f_A(X)=A X=0\right\},
$$
即 $\operatorname{Ker} f_A$ 为齐次线性方程组 $A X=0$ 的解空间．如设 $A$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in K^m$ ，在第二章 $\S 4$ 指出，对 $K^n$ 的坐标向量 $X_j$ ， $f_A\left(X_j\right)=\alpha_j$ ．因为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 生成 $K^n$ ，故

$$
\operatorname{Im} f_A=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right),
$$

即 $\operatorname{Im} f_A$ 是由 $A$ 的列向量组生成的 $K^m$ 的子空间．现在线性方程组 $A X=B$ 有解的充分必要条件（即 $B \in K^m$ 可被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示的充分必要条件）就是 $B \in \operatorname{Im} f_A$ 。而 Coker $f_A=K^m / L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$则是以 $A$ 为系数矩阵的线性方程组 $A X=B$ 有解（或无解）程度的一个量度：如是 $\operatorname{Coker} f_A=\{0\}$ ，则所有这种方程组都是有解的。 Coker $f_A$ 越大（含的元素多），则 $A X=B$ 无解的可能性就越大。

上面的例子使我们对线性方程组的理论看的更加透彻。而下面的命题可以使我们的认识更进一步。

首先指出：对于例3．5中给出的 $V$ 到商空间 $V / M$ 的自然映射 $\varphi$ ，我们有 $\operatorname{Ker} \varphi=M$ ，而 $\operatorname{Im} \varphi=V / M$ ．

命题3．5 设 $U, V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，则 $U / \operatorname{Ker} f$ 与 $\operatorname{Im} f$ 同构．

证 定义 $U / \operatorname{Ker} f$ 到 $\operatorname{Im} f$ 的映射

$$
\tau(\alpha+\operatorname{Ker} f)=f(\alpha) \in \operatorname{Im} f \quad(\forall \alpha \in U) .
$$

（或者用§2中的记号，写成 $\tau(\bar{\alpha})=f(\alpha)$ 。）首先要验证上面的定义在逻辑上无矛盾（因为 $U / \operatorname{Ker} f$ 中元素的表示法不唯一）．设有

$$
\alpha+\operatorname{Ker} f=\beta+\operatorname{Ker} f,
$$

则 $\beta=\alpha+m(m \in \operatorname{Ker} f)$ ．于是 $f(\beta)=f(\alpha)+f(m)=f(\alpha)$ ，这表明

$$
\tau(\alpha+\operatorname{Ker} f)=f(\alpha)=f(\beta)=\tau(\beta+\operatorname{Ker} f) .
$$

（i）证明 $\tau$ 是线性映射．对 $\bar{\alpha}, \bar{\beta} \in U / \operatorname{Ker} f$ ，有

$$
\begin{aligned}
\tau(k \bar{\alpha} & +l \bar{\beta})=\tau(\overline{k \alpha+l \beta})=f(k \alpha+l \beta) \\
& =k f(\alpha)+l f(\beta) \\
& =k \tau(\alpha+\operatorname{Ker} f)+l \tau(\beta+\operatorname{Ker} f) \\
& =k \tau(\bar{\alpha})+l \tau(\bar{\beta})
\end{aligned}
$$

（ii）证明 $\tau$ 是单射．设

$$
\tau(\alpha+\operatorname{Ker} f)=\tau(\beta+\operatorname{Ker} f),
$$

于 是 $f(\alpha)=f(\beta)$ ，即 $f(\alpha-\beta)=f(\alpha)-f(\beta)=0$ ，由此知 $\alpha-\beta \in \operatorname{Ker} f$ ，于是 $\alpha+\operatorname{Ker} f=\beta+\operatorname{Ker} f$ ．
（iii）$\tau$ 显然为满射，因为
$$
\operatorname{Im} f=\{f(\alpha) \mid \alpha \in U\}
$$

综上所述知 $\tau$ 为 $U / \operatorname{Ker} f$ 到 $\operatorname{Im} f$ 的同构映射．
由命题3．5及命题2．5，命题3．2立得下面重要结果。
推论 1 设 $U, V$ 是数域 $K$ 上的两个线性空间， $\operatorname{dim} U=n, f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，则 $\operatorname{dim} \operatorname{Ker} f+\operatorname{dim} \operatorname{Im} f=\operatorname{dim} U$ ．

如果采用例 3.5 的记号：用 $\varphi$ 表示 $U$ 到 $U / \operatorname{Ker} f$ 的自然映射，那么命题 3.5 可以用下面一张图表示：

![图片](/uploads/2025-10/835b08.jpg)
 
 
 即对任意 $\alpha \in U$ ，有

$$
\tau \varphi(\alpha)=\tau(\alpha+\operatorname{Ker} f)=f(\alpha)
$$

或者简单地写成 $f=\tau \varphi$ ．
容易看出，满足上述条件的同构 $\tau$ 是唯一的．因为如果又有 $U / \operatorname{Ker} f$ 到 $\operatorname{Im} f$ 的线性空间同构 $\tau^{\prime}$ 使 $f=\tau^{\prime} \varphi$ ，则对任意 $\alpha \in U$ ，有 $\tau^{\prime} \varphi(\alpha)=\tau^{\prime}(\alpha+\operatorname{Ker} f)=f(\alpha)=\tau(\alpha+\operatorname{Ker} f)$ ，由此立即推知 $\tau^{\prime}=\tau$ 。

现在回顾一下第二章 § 3 的定理 3．1，即齐次线性方程组基础解系中向量的个数的定理，它只是上面命题的一个简单推论．

推论 2 给定数域 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵 $A$ 。设 $\mathrm{r}(A)=r$ ，则齐次线性方程组 $A X=0$ 的基础解系中含 $n-r$ 个向量．

证 $A X=0$ 的基础解系中向量个数即为其解空间的维数。在例 3.8 中已指出：令 $f_A$ 为 $K^n$ 到 $K^m$ 的线性映射：$f_A(X)=A X$ ，则 $A X=0$ 的解空间为 $\operatorname{Ker} f_A$ ，而 $\operatorname{Im} f_A=L\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ，故 $\operatorname{dim}\left(\operatorname{Im} f_A\right)= \mathrm{r}(A)=r$ 。按命题3．5的推论1，有

$$
\operatorname{dim} \operatorname{Ker} f_A+\operatorname{dim} \operatorname{Im} f_A=\operatorname{dim} K^n=n .
$$

从而 $\operatorname{dim} \operatorname{Ker} f_A=n-\operatorname{dim} \operatorname{Im} f_A=n-r$ ．

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