最后更新: 2025-10-04 10:43 查看: 43 次纠错评论(0) 课件开VIP

线性映射的运算

4．线性映射的运算
我们已经知道，线性映射是矩阵的抽象化．矩阵之间存在加法、数乘及乘法，显然，在线性映射之间也应存在相当的运算，在第二章的小结中也已大概指出这些运算应当是怎样的．现在来给出它们的严格定义。

设 $U, V$ 是数域 $K$ 上的线性空间．
1）给定 $f, g \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，定义

$$
(f+g) \alpha=f(\alpha)+g(\alpha) \quad(\forall \alpha \in U),
$$

则 $f+g \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ．这是因为

$$
\begin{aligned}
(f+ & g)(k \alpha+l \beta)=f(k \alpha+l \beta)+g(k \alpha+l \beta) \\
& =k f(\alpha)+l f(\beta)+k g(\alpha)+l g(\beta) \\
& =k(f(\alpha)+g(\alpha))+l(f(\beta)+g(\beta)) \\
& =k(f+g)(\alpha)+l(f+g)(\beta)
\end{aligned}
$$

$f+g$ 称为 $f$ 与 $g$ 的加法．

2）给定 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ 及 $k \in K$ ，定义

$$
(k f)(\alpha)=k f(\alpha) \quad(\forall \alpha \in U),
$$

则 $k f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ．这是因为

$$
\begin{aligned}
(k f)\left(k_1 \alpha+l \beta\right) & =k f\left(k_1 \alpha+l \beta\right) \\
& =k\left(k_1 f(\alpha)+l f(\beta)\right) \\
& =k_1 k f(\alpha)+l k f(\beta) \\
& =k_1(k f)(\alpha)+l(k f)(\beta)
\end{aligned}
$$

$k f$ 称为 $k$ 与 $f$ 的数乘．
容易验证，在 $\operatorname{Hom}(U, V)$ 内定义的上述加法、数乘满足线性空间定义中的八条运算法则，其中零元素为如下 $U$ 到 $V$ 的零映射：

$$
\mathbf{0}(\alpha)=0 \quad(\forall \alpha \in U) .
$$

显然 $\mathbf{0} \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，且对任意 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，有 $f+\mathbf{0}=f$ ．又对任意 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，定义

$$
(-f)(\alpha)=-f(\alpha) \quad(\forall \alpha \in U) .
$$

显然一 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，且 $f+(-f)=\mathbf{0}$ ．
因此， $\operatorname{Hom}(U, V)$ 关于上述加法、数乘也组成 $K$ 上的线性空间．
3）设 $U, V, W$ 都是数域 $K$ 上的线性空间．如果 $f \in \operatorname{Hom}(U$ ， $V), g \in \operatorname{Hom}(V, W)$ ，定义

$$
(g f) \alpha=g(f(\alpha)) \quad(\forall \alpha \in U),
$$

则显然 $g f \in \operatorname{Hom}(U, W)$ ．这是因为

$$
\begin{aligned}
(g f)(k \alpha+l \beta) & =g(f(k \alpha+l \beta)) \\
& =g(k f(\alpha)+l f(\beta)) \\
& =k g(f(\alpha))+l g(f(\beta)) \\
& =k(g f)(\alpha)+l(g f)(\beta)
\end{aligned}
$$

$g f$ 称为 $g$ 与 $f$ 的乘法．$g$ 与 $f$ 只有满足上述条件时才能相乘．
线性映射的乘法满足如下运算法则（在下面总假定出现的乘法是有意义的）。
（i）乘法结合律：$(f g) h=f(g h)$ ．
（ii）加法与乘法分配律：

$$
\begin{aligned}
& f(g+h)=f g+f h \\
& (f+g) h=f h+g h
\end{aligned}
$$

（iii）对任意 $k \in K, k(f g)=(k f) g=f(k g)$ ．
线性映射乘法的结合律是第一章命题1．2的具体例子。（ii）， （iii）的证明留给读者作为练习。

这里同样要注意两点：
1）线性映射的乘法一般不可交换次序；
2）线性映射的乘法没有消去律，即由等式 $f g=f h, f \neq 0$ 并不能推出 $g=h$ ，同样，由等式 $g f=h f, f \neq 0$ 也不能推出 $g=h$ 。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：线性映射的核、像集和余核

下一篇：线性映射的矩阵

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)