最后更新: 2025-10-04 10:46 查看: 48 次纠错评论(0) 课件开VIP

线性映射的矩阵

5．线性映射的矩阵
把矩阵提升为一般的线性映射是理论上一大进步，它使我们对许多问题的认识大大深入了。但从另一方面说，当我们面临需要对某些问题作具体计算的时候，我们又要想法把抽象线性映射具体化为矩阵，就是说，从抽象再回到具体。

现在设 $U, V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，且设 $\operatorname{dim} U=n, \operatorname{dim} V= m$ ．设 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ．为了把 $f$ 具体化，我们在 $U$ 内取定一组基 $\varepsilon_1$ ， $\varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，在 $V$ 内也取定一组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m$ ．我们先证明一个基本命题．

命题 3.6 记号如上述．我们有如下结论：
（i）$U$ 到 $V$ 的任一线性映射 $f$ 由它在 $U$ 的基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 处的作用唯一决定，就是说，如果又有 $g \in \operatorname{Hom}(U, V)$ 使 $g\left(\varepsilon_i\right)=f\left(\varepsilon_i\right)(i= 1,2, \cdots, n)$ ，则 $g(\alpha)=f(\alpha)(\forall \alpha \in U)$ ；
（ii）任给 $V$ 内 $n$ 个向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，必存在唯一的 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，使 $f\left(\varepsilon_i\right)=\alpha_i(i=1,2, \cdots, n)$ ．

证（i）对 $U$ 内任一向量 $\alpha$ ，设

$$
\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n,
$$

则

$$
\begin{aligned}
f(\alpha) & =x_1 f\left(\varepsilon_1\right)+x_2 f\left(\varepsilon_2\right)+\cdots+x_n f\left(\varepsilon_n\right) \\
& =x_1 g\left(\varepsilon_1\right)+x_2 g\left(\varepsilon_2\right)+\cdots+x_n g\left(\varepsilon_n\right)=g(\alpha)
\end{aligned}
$$

（ii）定义 $U$ 到 $V$ 的映射 $f$ 如下：若 $\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n$ ，则令 $f(\alpha)=x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n$ ．现在来证 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ．若又有 $\beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n$ ，则

$$
\begin{aligned}
f(k \alpha+l \beta) & =f\left(\left(k x_1+l y_1\right) \varepsilon_1+\left(k x_2+l y_2\right) \varepsilon_2+\cdots+\left(k x_n+l y_n\right) \varepsilon_n\right) \\
& =\left(k x_1+l y_1\right) \alpha_1+\left(k x_2+l y_2\right) \alpha_2+\cdots+\left(k x_n+l y_n\right) \alpha_n \\
& =k\left(x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n\right)+l\left(y_1 \alpha_1+y_2 \alpha_2+\cdots+y_n \alpha_n\right) \\
& =k f(\alpha)+l f(\beta)
\end{aligned}
$$

现在显然有 $f\left(\varepsilon_i\right)=\alpha_i$ ．满足此条件的线性映射的唯一性由（1）立即推出。

根据命题3．6，只要知道 $f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)$ ，那么 $f(\alpha)$ 就被唯一决定了。而 $f\left(\varepsilon_i\right)$ 可表为 $V$ 的一组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m$ 的线性组合。设

$$
\begin{aligned}
& f\left(\varepsilon_1\right)=a_{11} \eta_1+a_{21} \eta_2+\cdots+a_{m 1} \eta_m, \\
& f\left(\varepsilon_2\right)=a_{12} \eta_1+a_{22} \eta_2+\cdots+a_{m 2} \eta_m, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& f\left(\varepsilon_n\right)=a_{1 n} \eta_1+a_{2 n} \eta_2+\cdots+a_{m n} \eta_m,
\end{aligned}
$$

令

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right],
$$

那么，上面的 $n$ 个等式可以借助矩阵乘法的法则形式地表示成

$$
\left(f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right) A .
$$

$m \times n$ 矩阵 $A$ 称为线性映射 $f$ 在给定基下的矩阵。显然，$U, V$ 的基取定之后，$f$ 由矩阵 $A$ 唯一决定。命题 3.6 的（ii）又说明：任给 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，我们令

$$
\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right) A,
$$

则存在唯一的 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，使 $f\left(\varepsilon_i\right)=\alpha_i$ ，即

$$
\left(f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right) A,
$$

于是 $f$ 在所取定基下的矩阵即为 $A$ ．
现在定义 Hom $(U, V)$ 到 $M_{m, n}(K)$ 的一个映射 $\sigma$ 如下：对 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，如果 $f$ 在 $U, V$ 所取定的基下的矩阵为 $A$ ，则令 $\sigma(f)=A$ ．那么上面命题 3.6 的（i）说明 $\sigma$ 为单射（不同线性映射的矩阵是不同的），而（ii）则说明 $\sigma$ 为满射（任一 $m \times n$ 矩阵都是某线性映射的矩阵）．于是集合 $\operatorname{Hom}(U, V)$ 和集合 $M_{m, n}(K)$ 之间存在一一对

应．不但如此，这个双射 $\sigma$ 还保持 $\operatorname{Hom}(U, V)$ 的运算和 $M_{m, n}(K)$ 内运算的对应关系．为了证明这一点，我们先来引进一个记号．

设 $f \in \operatorname{Hom}(U, V)$ ，对 $U$ 内任意向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ ，我们约定

$$
f\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\right)=\left(f\left(\alpha_1\right), f\left(\alpha_2\right), \cdots, f\left(\alpha_k\right)\right) .
$$

使用这个记号将使我们下面的推理简化．这是因为这一记号具有如下一个性质：令 $\alpha \in U$ ，则

$$
\begin{aligned}
\alpha & =x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X, \\
f(\alpha) & =x_1 f\left(\varepsilon_1\right)+x_2 f\left(\varepsilon_2\right)+\cdots+x_n f\left(\varepsilon_n\right) \\
& =\left(f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right) X \\
& =\left[f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\right] X .
\end{aligned}
$$

把上面两个式子合并，可以写成

$$
\begin{aligned}
f(\alpha) & =f\left[\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X\right] \\
& =\left[f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\right] X .
\end{aligned}
$$

上面式子右边的等式形式上与结合律一致．
一般地，设

$$
\alpha_1=\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right) X_1, \cdots, \alpha_s=\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right) X_s .
$$

我们有

$$
f\left(\alpha_1\right)=\left(f\left(\varepsilon_1\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right) X_1, \cdots, f\left(\alpha_s\right)=\left(f\left(\varepsilon_1\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right) X_s .
$$

以 $X_1, \cdots, X_s$ 为列向量排成 $n \times s$ 矩阵 $X$ ，则有

$$
\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_s\right)=\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right) X .
$$

而

$$
\left(f\left(\alpha_1\right), \cdots, f\left(\alpha_s\right)\right)=\left(f\left(\varepsilon_1\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right) X
$$

按上面的约定，有

$$
f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_s\right)=\left(f\left(\alpha_1\right), \cdots, f\left(\alpha_s\right)\right)
$$

把上面式子合并，即写成

$$
\begin{aligned}
f\left[\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right) X\right] & =\left(f\left(\varepsilon_1\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right) X \\
& =\left[f\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right)\right] X .
\end{aligned}
$$

这是更一般的形式结合律．下面的推理中，我们将经常使用上面约定的记号及其形式结合律．

命题 3.7 记号如上所述．我们有如下结论：
（i）对 $f, g \in \operatorname{Hom}(U, V), k, l \in K$ ，有

$$
\sigma(k f+l g)=k \sigma(f)+l \sigma(g)
$$

因此，$\sigma$ 是 $\operatorname{Hom}(U, V)$ 到 $M_{m, n}(K)$ 的线性空间同构．于是我们有

$$
\operatorname{dim} \operatorname{Hom}(U, V)=\operatorname{dim} M_{m, n}(K)=m n .
$$

（ii）若 $f \in \operatorname{Hom}(U, V), g \in \operatorname{Hom}(V, W)$ ，则 $\sigma(g f)=\sigma(g) \sigma(f)$ ．
证（i）设 $\sigma(f)=A, \sigma(g)=B$ ，则

$$
\begin{aligned}
((k f & \left.+l g) \varepsilon_1,(k f+l g) \varepsilon_2, \cdots,(k f+l g) \varepsilon_n\right) \\
& =\left(k f\left(\varepsilon_1\right)+l g\left(\varepsilon_1\right), k f\left(\varepsilon_2\right)+l g\left(\varepsilon_2\right), \cdots, k f\left(\varepsilon_n\right)+l g\left(\varepsilon_n\right)\right) \\
& =k\left(f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right)+l\left(g\left(\varepsilon_1\right), g\left(\varepsilon_2\right), \cdots, g\left(\varepsilon_n\right)\right) \\
& =k\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right) A+l\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right) B \\
& =\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right)(k A)+\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right)(l B) \\
& =\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right)(k A+l B)
\end{aligned}
$$

上式表明线性映射 $k f+l g$ 在所取定基下的矩阵为 $k A+l B=k \sigma(f) +l \sigma(g)$ ，亦即 $\sigma(k f+l g)=k \sigma(f)+l \sigma(g)$ 。
（ii）设在 $U, V, W$ 内分别取一组基

$$
\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n ; \quad \eta_1, \cdots, \eta_m ; \quad \delta_1, \cdots, \delta_s .
$$

又设
$$
\begin{aligned}
& \left(f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right) A \\
& \left(g\left(\eta_1\right), g\left(\eta_2\right), \cdots, g\left(\eta_m\right)\right)=\left(\delta_1, \delta_2, \cdots, \delta_s\right) B
\end{aligned}
$$

那么，我们有（使用上面约定记号）

$$
\begin{aligned}
& \left(g f\left(\varepsilon_1\right), g f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, g f\left(\varepsilon_n\right)\right)=g\left(f\left(\varepsilon_1\right), f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)\right) \\
& \quad=g\left[\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right) A\right]=\left[g\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m\right)\right] A \\
& \quad=\left[\left(g\left(\eta_1\right), g\left(\eta_2\right), \cdots, g\left(\eta_m\right)\right)\right] A \\
& \quad=\left[\left(\delta_1, \delta_2, \cdots, \delta_s\right) B\right] A=\left(\delta_1, \delta_2, \cdots, \delta_s\right)(B A)
\end{aligned}
$$

上面的结果表示 $g f \in \operatorname{Hom}(U, W)$ 在所取定的基下的矩阵为 $B A= \sigma(g) \sigma(f)$ ，于是 $\sigma(g f)=\sigma(g) \sigma(f)$ 。

注 上面我们用记号 $\sigma$ 同时表示 $\operatorname{Hom}(U, V)$ 到 $M_{m, n}(K)$ ， $\operatorname{Hom}(V, W)$ 到 $M_{s, m}(K), \operatorname{Hom}(U, W)$ 到 $M_{s, n}(K)$ 的映射。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：线性映射的运算

下一篇：线性变换的基本概念

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)