最后更新: 2025-10-04 10:50 查看: 49 次纠错评论(0) 课件开VIP

线性变换的基本概念

6．线性变换的基本概念
从这一段开始，我们要把对线性映射的讨论限制到一种最重要
的情况，即 $U=V$ 的情况．
定义 设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 到自身的一个线性映射，则称 $\boldsymbol{A}$ 为 $V$ 内的一个线性变换．$V$ 内全体线性变换所成的集合记为 $\operatorname{End}(V)$ 。

下面来举出线性变换的一些重要例子。
例3．9 设 $D_0(a, b)$ 是区间 $(a, b)$ 内全体任意次可微的实函数 $f(x)$ 所成的集合，它关于普通函数的加法和与实数的乘法成一实数域上的线性空间．在 $D_0(a, b)$ 内定义一个变换：

$$
\mathbf{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}: \quad f(x) \mapsto f^{\prime}(x),
$$

即让 $D_0(a, b)$ 内每个向量 $f(x)$ 在变换 $\mathbf{D}$ 作用下变成该函数的导函数．这个变换就是数学分析中的求微商运算．根据微商的性质，有

$$
\begin{gathered}
\mathbf{D}(f(x)+g(x))=\mathbf{D} f(x)+\mathbf{D} g(x) ; \\
\mathbf{D}(k f(x))=k \mathbf{D} f(x) .
\end{gathered}
$$

这说明求微商运算是线性空间 $D_0(a, b)$ 内的一个线性变换．
例3．10 设 $C[a, b]$ 为闭区间 $[a, b]$ 上的全体连续函数所组成的实数域上的线性空间．在 $C[a, b]$ 内定义变换如下：

$$
\text { S: } \quad f(x) \mapsto \int_a^x f(t) \mathrm{d} t=F(x) \text {, }
$$

即让 $C[a, b]$ 内的每个向量 $f(x)$ 对应于它的变上限积分（即 $f(x)$ 的一个原函数）．根据定积分的性质，我们有

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{S}(f(x)+g(x))=\boldsymbol{S} f(x)+\boldsymbol{S} g(x) ; \\
\boldsymbol{S}(k f(x))=k \boldsymbol{S} f(x) .
\end{gathered}
$$

这说明求变上限积分是线性空间 $C[a, b]$ 内的一个线性变换．
下面我们介绍线性空间 $V$ 内几种特殊的线性变换．
1）零变换 $\mathbf{0}$ 。
对任意 $\alpha \in V, 0 \alpha=0$ ．这是 $V$ 内的一个线性变换，称为零变换．对任意 $\boldsymbol{A} \in \operatorname{End}(V)$ ，有 $\mathbf{0 A}=\boldsymbol{A 0}=\mathbf{0}$ ．

2 ）单位变换 $\boldsymbol{E}$ ．
对任意 $\alpha \in V, \boldsymbol{E} \alpha=\alpha$ ．这显然也是 $V$ 内的一个线性变换，称为单位变换或恒等变换．对任意 $\boldsymbol{A} \in \operatorname{End}(V), \boldsymbol{E} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}$ ．

3）数乘变换 $\boldsymbol{k}$ ．
设 $k$ 是数域 $K$ 内一个固定的数．对任意 $\alpha \in V$ ，定义：$k \alpha=k \alpha$ ．不难验证，这也是 $V$ 内的一个线性变换，称为数乘变换．

4）投影变换 $\boldsymbol{P}$ 。
设 $M$ 是 $V$ 的一个子空间。按命题2．4，存在 $V$ 的子空间 $N$ ，使

$$
V=M \oplus N
$$

于是，对任意 $\alpha \in V$ ，有唯一分解式

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M, \alpha_2 \in N\right) .
$$

我们定义 $V$ 内一个变换 $\boldsymbol{P}$ 如下：

$$
P \alpha=\alpha_1 .
$$

我们证明 $\boldsymbol{P}$ 是一个线性变换．
（i）设 $\alpha, \beta \in V$ ，又

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2, \beta=\beta_1+\beta_2 \quad\left(\alpha_1, \beta_1 \in M ; \alpha_2, \beta_2 \in N\right) .
$$

则

$$
\alpha+\beta=\left(\alpha_1+\beta_1\right)+\left(\alpha_2+\beta_2\right) \quad\left(\alpha_1+\beta_1 \in M ; \alpha_2+\beta_2 \in N\right) .
$$

按 $\boldsymbol{P}$ 的定义，有

$$
\boldsymbol{P}(\alpha+\beta)=\alpha_1+\beta_1=\boldsymbol{P} \alpha+\boldsymbol{P} \beta .
$$

（ii）对任意 $k \in K$ ，有

$$
k \alpha=k \alpha_1+k \alpha_2 \quad\left(k \alpha_1 \in M ; k \alpha_2 \in N\right),
$$
$$
\boldsymbol{P}(k \alpha)=k \alpha_1=k \boldsymbol{P} \alpha
$$

线性变换 $\boldsymbol{P}$ 称为 $V$ 对子空间 $M$（关于直和分解式 $V=M \oplus N$ ）的投影变换．注意投影变换依赖于直和分解式的具体形式．

例 3.11 考虑平面上以坐标原点 $O$ 为起点的全体向量所组成的实数域上二维线性空间 $V$ ．过 $O$ 点的直线 $M$ 表示其某个一维子空间。那么，任一过 $O$ 点而又不与 $M$ 重合的直线 $N$ 都可以代表 $M$ 的补空间。此时 $V=M \oplus N . V$ 对 $M$ 关于上述直和分解式的投影变换 $\boldsymbol{P}$ ，就是把平面上每个向量 $\alpha$ 以平行于 $N$ 的方向投影到 $M$ 上（参看图4．8）．

如果把 $N$ 取在与 $M$ 垂直的位置上，则由这样的直和分解式

$$
V=M \oplus N
$$

所确定的投影变换 $\boldsymbol{P}$ 称为正投影（参看图 4．9）．
 ![图片](/uploads/2025-10/3da60c.jpg)
 
 投影变换是一种重要的线性变换．
线性变换是一类特殊的线性映射，前面关于线性映射的知识也都适用于线性变换．现在把一些要点再简单列举一下．

1）如果 $\boldsymbol{A} \in \operatorname{End}(V)=\operatorname{Hom}(V, V)$ ，那么 $\operatorname{Ker} \boldsymbol{A}$ 与 $\operatorname{Im}(\boldsymbol{A})$ 都是 $V$的子空间．如果 $V$ 是有限维线性空间，那么由命题3．5的推论1，有

$$
\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \boldsymbol{A}+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \boldsymbol{A}=\operatorname{dim} V .
$$

2）End（ $V$ ）内有加法、数乘运算，它关于此两种运算成为数域 $K$上的线性空间．End（ $V$ ）内任意两元素 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都可作乘法 $\boldsymbol{A B}$ ．对于 $\boldsymbol{A} \in \operatorname{End}(V)$ 及正整数 $k$ ，定义 $\boldsymbol{A}^k=\overbrace{\boldsymbol{A} \boldsymbol{A} \cdots \boldsymbol{A}}^{k t}$ ．当 $\boldsymbol{A} \neq 0$ 时令 $\boldsymbol{A}^0=\boldsymbol{E}$ ．对数域 $K$ 上多项式 $f(x)=a_0 x^m+a_1 x^{m-1}+\cdots+a_m$ ，定义

$$
f(\boldsymbol{A})=a_0 \boldsymbol{A}^m+a_1 \boldsymbol{A}^{m-1}+\cdots+a_{m-1} \boldsymbol{A}+a_m \boldsymbol{E} .
$$

3）在 $U=V$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间的情况下，只要在 $U=V$ 内取同一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，那么任意 $\boldsymbol{A} \in \operatorname{End}(V)$ 在此组基下的矩阵 $A$ 由下式定义：

$$
\left(\boldsymbol{A} \varepsilon_1, \boldsymbol{A} \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol{A} \varepsilon_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A,
$$

其中 $A$ 的第 $i$ 个列向量为 $A \varepsilon_i$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标．现在 $A$ 由它在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵 $A$ 唯一决定。

定义 $\operatorname{End}(V)$ 到 $M_n(K)$ 的映射 $\sigma:$ 对 $\boldsymbol{A} \in \operatorname{End}(V), \sigma(\boldsymbol{A})$ 为 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵。于是 $\sigma$ 是一个双射（一一对应），而且有如下性质：

$$
\begin{aligned}
& \text { 1) } \sigma(k \boldsymbol{A}+l \boldsymbol{B})=k \sigma(\boldsymbol{A})+l \sigma(\boldsymbol{B}) \text {; } \\
& \text { 2) } \sigma(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=\sigma(\boldsymbol{A}) \sigma(\boldsymbol{B}) \text {. }
\end{aligned}
$$

因为单位变换 $\boldsymbol{E}$ 在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵为 $E$ ，我们有

$$
\boldsymbol{E}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \Longleftrightarrow E=\sigma(\boldsymbol{A}) \sigma(\boldsymbol{B})=\sigma(\boldsymbol{B}) \sigma(\boldsymbol{A}) .
$$

所以， $\boldsymbol{A}$ 为可逆线性变换的充分必要条件是 $\sigma(\boldsymbol{A})$ 为 $K$ 上可逆 $n$ 阶方阵，而且 $\sigma\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)=\sigma(\boldsymbol{A})^{-1}$（其中用到了 $\sigma$ 为单、满映射这一条件）．

命题 3.8 设线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在一组基下的矩阵为 $A$ ，又设向量 $\alpha$在这组基下的坐标为

$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right],
$$

则 $A \alpha$ 在这组基下的坐标为 $A X$ ．
证 设这组基为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ．采用形式的写法，有

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha} & =\boldsymbol{A}\left(x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n\right) \\
& =\boldsymbol{A}\left[\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X\right] \\
& =\left[\boldsymbol{A}\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\right] X \\
& =\left[\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A\right] X \\
& =\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2 \cdots, \varepsilon_n\right)(A X) . \quad \mid
\end{aligned}
$$

例3．12 在 $K[x]_4$ 内取定一组基

$$
1, x, x^2, x^3 .
$$

在 $K[x]_4$ 内定义一个变换 $\boldsymbol{A}$ 如下：若

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3,
$$

则

$$
\boldsymbol{A} f(x)=a_3+a_2 x+a_1 x^2+a_0 x^3 .
$$

容易验证 $\boldsymbol{A}$ 是一个线性变换．而因为

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} 1=0 \cdot 1+0 \cdot x+0 \cdot x^2+1 \cdot x^3, \\
& \boldsymbol{A} x=0 \cdot 1+0 \cdot x+1 \cdot x^2+0 \cdot x^3, \\
& \boldsymbol{A} x^2=0 \cdot 1+1 \cdot x+0 \cdot x^2+0 \cdot x^3, \\
& \boldsymbol{A} x^3=1+0 \cdot x+0 \cdot x^2+0 \cdot x^3 .
\end{aligned}
$$

故 $\boldsymbol{A}$ 在基 $1, x, x^2, x^3$ 下的矩阵为

$$
A=\left[\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
$$

采用形式写法，有

$$
\left(\boldsymbol{A} 1, \boldsymbol{A} x, \boldsymbol{A} x^2, \boldsymbol{A} x^3\right)=\left(1, x, x^2, x^3\right) A .
$$

例 3.13 考查 $K[x]_n$ 内求形式微商的变换 $\mathbf{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ ．因为

$$
\begin{aligned}
& \mathbf{D} 1=0 \\
& \mathbf{D} x=1 \\
& \mathbf{D} x^2=2 x \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \mathbf{D} x^{n-1}=(n-1) x^{n-2}
\end{aligned}
$$

故 $\mathbf{D}$ 在基 $1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}$ 下的矩阵为
 ![图片](/uploads/2025-10/e488fe.jpg)
 
 由命题 3．8，对于任一

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}
$$

$\mathbf{D} f(x)$ 在基 $1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}$ 下的坐标应为

![图片](/uploads/2025-10/3ff455.jpg)
 
 即 $\mathbf{D} f(x)=a_1+2 a_2 x+\cdots+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}$ ．这与形式微商的定义一致．
例 3.14 考虑 $K^3$ 中一个线性变换 $A$ ．设

$$
\varepsilon_1=(1,0,0), \varepsilon_2=(0,1,0), \varepsilon_3=(0,0,1)
$$

则

$$
\boldsymbol{A} \varepsilon_1=(-1,1,0), \quad \boldsymbol{A} \varepsilon_2=(2,1,1), \quad \boldsymbol{A} \varepsilon_3=(0,-1,-1)
$$

（i）求 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵。
（ii）在 $K^3$ 中改取如下一组基

$$
\eta_1=(1,1,1), \quad \eta_2=(1,1,0), \quad \eta_3=(1,0,0),
$$

求 $\boldsymbol{A}$ 在 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 下的矩阵。
解（i）因为

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \varepsilon_1=-\varepsilon_1+\varepsilon_2+0 \cdot \varepsilon_3 \\
& \boldsymbol{A} \varepsilon_2=2 \varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3 \\
& \boldsymbol{A} \varepsilon_3=0 \cdot \varepsilon_1-\varepsilon_2-\varepsilon_3
\end{aligned}
$$

故

$$
\left(A \varepsilon_1, A \varepsilon_2, A \varepsilon_3\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right] .
$$

（ii）现在应当求 $A \eta_i$ 用 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 线性表示的系数．因为

$$
\begin{aligned}
& \eta_1=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3 \\
& \eta_2=\varepsilon_1+\varepsilon_2 \\
& \eta_3=\varepsilon_1
\end{aligned}
$$

故

$$
\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A} \eta_1=\boldsymbol{A} \varepsilon_1+\boldsymbol{A} \varepsilon_2+\boldsymbol{A} \varepsilon_3 & =(1,1,0) \\
\boldsymbol{A} \eta_2=\boldsymbol{A} \varepsilon_1+\boldsymbol{A} \varepsilon_2 & =(1,2,1) \\
\boldsymbol{A} \eta_3=\boldsymbol{A} \varepsilon_1 & =(-1,1,0)
\end{array}
$$

按照§1例1．15提供的求 $K^n$ 中一向量在一组基下坐标的办法，应当将 $\eta_1, \eta_2, \eta_3, \boldsymbol{A} \eta_1, \boldsymbol{A} \eta_2, \boldsymbol{A} \eta_3$ 的坐标为列向量排成一个 $3 \times 6$ 矩阵，用初等行变换把左边 3 行 3 列位置化为 $E$ ，右边就是所求的 $\boldsymbol{A}$ 在 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 下的矩阵。具体计算如下：

$$
\left[\begin{array}{rrr:rrr}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr:rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -2
\end{array}\right],
$$

即得

$$
\left(A \eta_1, A \eta_2, A \eta_3\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \eta_3\right)\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2
\end{array}\right] .
$$
这个例子告诉我们，同一个线性变换在不同的基下的矩阵一般是不相同的．

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