最后更新: 2025-10-04 10:50 查看: 12 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

线性变换的基本概念

6．线性变换的基本概念
从这一段开始，我们要把对线性映射的讨论限制到一种最重要
的情况，即 $U=V$ 的情况．
定义 设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 到自身的一个线性映射，则称 $\boldsymbol{A}$ 为 $V$ 内的一个线性变换．$V$ 内全体线性变换所成的集合记为 $\operatorname{End}(V)$ 。

下面来举出线性变换的一些重要例子。
例3．9 设 $D_0(a, b)$ 是区间 $(a, b)$ 内全体任意次可微的实函数 $f(x)$ 所成的集合，它关于普通函数的加法和与实数的乘法成一实数域上的线性空间．在 $D_0(a, b)$ 内定义一个变换：

$$
\mathbf{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}: \quad f(x) \mapsto f^{\prime}(x),
$$

即让 $D_0(a, b)$ 内每个向量 $f(x)$ 在变换 $\mathbf{D}$ 作用下变成该函数的导函数．这个变换就是数学分析中的求微商运算．根据微商的性质，有

$$
\begin{gathered}
\mathbf{D}(f(x)+g(x))=\mathbf{D} f(x)+\mathbf{D} g(x) ; \\
\mathbf{D}(k f(x))=k \mathbf{D} f(x) .
\end{gathered}
$$

这说明求微商运算是线性空间 $D_0(a, b)$ 内的一个线性变换．
例3．10 设 $C[a, b]$ 为闭区间 $[a, b]$ 上的全体连续函数所组成的实数域上的线性空间．在 $C[a, b]$ 内定义变换如下：

$$
\text { S: } \quad f(x) \mapsto \int_a^x f(t) \mathrm{d} t=F(x) \text {, }
$$

即让 $C[a, b]$ 内的每个向量 $f(x)$ 对应于它的变上限积分（即 $f(x)$ 的一个原函数）．根据定积分的性质，我们有

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{S}(f(x)+g(x))=\boldsymbol{S} f(x)+\boldsymbol{S} g(x) ; \\
\boldsymbol{S}(k f(x))=k \boldsymbol{S} f(x) .
\end{gathered}
$$

这说明求变上限积分是线性空间 $C[a, b]$ 内的一个线性变换．
下面我们介绍线性空间 $V$ 内几种特殊的线性变换．
1）零变换 $\mathbf{0}$ 。
对任意 $\alpha \in V, 0 \alpha=0$ ．这是 $V$ 内的一个线性变换，称为零变换．对任意 $\boldsymbol{A} \in \operatorname{End}(V)$ ，有 $\mathbf{0 A}=\boldsymbol{A 0}=\mathbf{0}$ ．

2 ）单位变换 $\boldsymbol{E}$ ．
对任意 $\alpha \in V, \boldsymbol{E} \alpha=\alpha$ ．这显然也是 $V$ 内的一个线性变换，称为单位变换或恒等变换．对任意 $\boldsymbol{A} \in \operatorname{End}(V), \boldsymbol{E} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}$ ．

3）数乘变换 $\boldsymbol{k}$ ．
设 $k$ 是数域 $K$ 内一个固定的数．对任意 $\alpha \in V$ ，定义：$k \alpha=k \alpha$ ．不难验证，这也是 $V$ 内的一个线性变换，称为数乘变换．

4）投影变换 $\boldsymbol{P}$ 。
设 $M$ 是 $V$ 的一个子空间。按命题2．4，存在 $V$ 的子空间 $N$ ，使

$$
V=M \oplus N
$$

于是，对任意 $\alpha \in V$ ，有唯一分解式

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2 \quad\left(\alpha_1 \in M, \alpha_2 \in N\right) .
$$

我们定义 $V$ 内一个变换 $\boldsymbol{P}$ 如下：

$$
P \alpha=\alpha_1 .
$$

我们证明 $\boldsymbol{P}$ 是一个线性变换．
（i）设 $\alpha, \beta \in V$ ，又

$$
\alpha=\alpha_1+\alpha_2, \beta=\beta_1+\beta_2 \quad\left(\alpha_1, \beta_1 \in M ; \alpha_2, \beta_2 \in N\right) .
$$

则

$$
\alpha+\beta=\left(\alpha_1+\beta_1\right)+\left(\alpha_2+\beta_2\right) \quad\left(\alpha_1+\beta_1 \in M ; \alpha_2+\beta_2 \in N\right) .
$$

按 $\boldsymbol{P}$ 的定义，有

$$
\boldsymbol{P}(\alpha+\beta)=\alpha_1+\beta_1=\boldsymbol{P} \alpha+\boldsymbol{P} \beta .
$$

（ii）对任意 $k \in K$ ，有

$$
k \alpha=k \alpha_1+k \alpha_2 \quad\left(k \alpha_1 \in M ; k \alpha_2 \in N\right),
$$
$$
\boldsymbol{P}(k \alpha)=k \alpha_1=k \boldsymbol{P} \alpha
$$

线性变换 $\boldsymbol{P}$ 称为 $V$ 对子空间 $M$（关于直和分解式 $V=M \oplus N$ ）的投影变换．注意投影变换依赖于直和分解式的具体形式．

例 3.11 考虑平面上以坐标原点 $O$ 为起点的全体向量所组成的实数域上二维线性空间 $V$ ．过 $O$ 点的直线 $M$ 表示其某个一维子空间。那么，任一过 $O$ 点而又不与 $M$ 重合的直线 $N$ 都可以代表 $M$ 的补空间。此时 $V=M \oplus N . V$ 对 $M$ 关于上述直和分解式的投影变换 $\boldsymbol{P}$ ，就是把平面上每个向量 $\alpha$ 以平行于 $N$ 的方向投影到 $M$ 上（参看图4．8）．

如果把 $N$ 取在与 $M$ 垂直的位置上，则由这样的直和分解式

$$
V=M \oplus N
$$

所确定的投影变换 $\boldsymbo

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：线性映射的矩阵

下一篇：线性变换在不同基下的矩阵

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)