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线性变换在不同基下的矩阵

7．线性变换在不同基下的矩阵
例3．14 已经指出，同一个线性变换在不同的两组基下的矩阵一般是不一样的．现在我们来寻找它们之间的关系．

命题 3.9 设

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n ; \\
& \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n
\end{aligned}
$$

是线性空间 $V$ 的两组基，其过渡矩阵是 $T=\left(t_{i j}\right)$ ，即

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T
$$

又设线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在这两组基下的矩阵分别是 $A$ 和 $B$ ，则

$$
B=T^{-1} A T
$$

证 由线性变换的矩阵的定义，有
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A}\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A \\
& \boldsymbol{A}\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right) B
\end{aligned}
$$

把（1）式代入上面的第二个等式，得

$$
\boldsymbol{A}\left[\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T\right]=\left[\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T\right] B .
$$

利用形式运算的结合律，有

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}\left[\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T\right] & =\left[\boldsymbol{A}\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\right] T \\
& =\left[\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A\right] T \\
& =\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)(A T) \\
& =\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)(T B) .
\end{aligned}
$$

因为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 线性无关，故有

$$
A T=T B
$$

而 $T$ 可逆，因而有

$$
B=T^{-1} A T .
$$

例3．15 在例3．14中我们已经求得 $K^3$ 中一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在两组基下的矩阵

$$
\left(A \varepsilon_1, A \varepsilon_2, A \varepsilon_3\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)\left[\begin{array}{rrc}
-1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right] \text {, }
$$

$$
\left(\boldsymbol{A} \eta_1, \boldsymbol{A} \eta_2, \boldsymbol{A} \eta_3\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \eta_3\right)\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2
\end{array}\right] .
$$

而

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \eta_3\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right],
$$

不难验证，有

$$
B=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right] .
$$

定义 对数域 $K$ 上的两个 $n$ 阶方阵 $A$ 与 $B$ ，如果存在 $K$ 上一个 $n$ 阶可逆的方阵 $T$ ，使 $B=T^{-1} A T$ ，则称 $B$ 与 $A$ 在 $K$ 内相似，记做 $B \sim A$ ．

矩阵的相似关系具有如下性质：

1）反身性：$A \sim A$ ．这是因为 $A=E^{-1} A E$ ；
$2)$ 对称性：若 $B \sim A$ ，则 $A \sim B$ ．这是因为当 $B=T^{-1} A T$ 时，有 $A=\left(T^{-1}\right)^{-1} B T^{-1}$ ；

3）传递性：若 $A \sim B, B \sim C$ ，则 $A \sim C$ ．这是因为当 $A=T_1^{-1} B T_1$ ， $B=T_2^{-1} C T_2$ 时，有

$$
A=T_1^{-1}\left(T_2^{-1} C T_2\right) T_1=\left(T_2 T_1\right)^{-1} C\left(T_2 T_1\right)
$$

这说明矩阵的相似关系是一个等价关系。我们把数域 $K$ 上全体 $n$ 阶方阵的集合 $M_n(K)$ 在相似关系下的等价类称做相似类。于是 $M_n(K)$ 可分解为互不相交的相似类的并。

由于上述性质，我们可以把 $K$ 上 $n$ 阶方阵的集合 $M_n(K)$ 中的元素按相似关系进行分类，凡是相互之间存在相似关系的矩阵属于同一类，不同的相似类之间没有公共元素（交是空集）。下面一个命题阐明了相似类的实际意义。

命题3．10 数域 $K$ 上两个 $n$ 阶方阵 $A, B$ 相似的充分必要条件是，它们是 $V$ 内某一线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在两组基下的矩阵。

证 充分性已在前面阐述了，现在我们证明必要性．

现在我们可以找到 $V$ 内一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ ，使它在 $V$ 的某一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵为 $A$ ．因为 $B \sim A$ ，故存在可逆矩阵 $T$ ，使 $B= T^{-1} A T$ ．命

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T
$$

由命题1．3可知，$\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是 $V$ 的一组基。根据前面的推理，$A$ 在这组新基下的矩阵为 $T^{-1} A T=B$ 。

由此可知，$M_n(K)$ 内每一个相似类实际上不过是同一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在不同基下的矩阵而已。从这一认识出发，自然就会提出这样的问题：能不能设法在 $V$ 中找出一组基，使 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵具有最简单的形式呢？或者换句话说，能不能在 $M_n(K)$ 内的每一个相似类里去找出一个形式最为简单的矩阵来作为该相似类的代表呢？这就是矩阵在相似关系下的标准形问题。本章后面的内容，主要就是讨论这个问题的．

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