最后更新: 2025-10-04 10:55 查看: 93 次纠错评论(0) 课件开VIP

线性变换的特征值与特征向量

§4 线性变换的特征值与特征向量

对数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ ，我们希望能找到一组基

$$
\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n,
$$

使 $\boldsymbol{A}$ 在这一组基下的矩阵具有最简单的形式．在第二章中我们已经知道，对于矩阵运算来说，对角形最为简单。因此，自然要问：有没有可能找到一组基，使 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵具有对角形？亦即

$$
\left(\boldsymbol{A} \eta_1, \boldsymbol{A} \eta_2, \cdots, \boldsymbol{A} \eta_n\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right] .
$$

把上面的关系式具体写出来，就是

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \eta_1=\lambda_1 \eta_1, \\
& \boldsymbol{A} \eta_2=\quad \lambda_2 \eta_2, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \boldsymbol{A} \eta_n=\cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \lambda_n \eta_n .
\end{aligned}
$$

经过较深入的研究之后就可以知道，这并不是总能办到的．但上
面的分析却给了我们一个重要的启示，即研究一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ ，很重要的是去寻找满足条件： $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\lambda \boldsymbol{\xi}$ 的数 $\lambda$ 和非零向量 $\boldsymbol{\xi}$ ．这一点就是本节的中心内容．

1．特征值与特征向量的定义
定义 设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 内一个线性变换．如果对 $K$ 内一个数 $\lambda$ ，存在 $V$ 的一个向量 $\xi \neq 0$ ，使

$$
\boldsymbol{A} \xi=\lambda \xi,
$$

则称 $\lambda$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，而 $\xi$ 称为属于特征值 $\lambda$ 的特征向量．
这里要注意两点：
1）特征向量 $\xi$ 一定要是非零向量；
2）$\lambda$ 必须属于数域 $K$ ，否则数乘 $\lambda \xi$ 没有意义。
线性变换的特征值与特征向量不但对于数学理论是重要的，而且对于自然科学和工程技术领域中的许多课题也是重要的．因此，决定一个线性变换的全部特征值和每个特征值所属的全部特征向量，就是我们深入讨论线性变换时面临的第一个重要课题．

对于数域 $K$ 内任一数 $\lambda$ ，我们定义

$$
V_\lambda=\{\alpha \in V \mid \boldsymbol{A} \alpha=\lambda \alpha\} .
$$

容易看出，由于 $\boldsymbol{A} 0=\lambda \cdot 0$ ，故 $0 \in V_\lambda$ ，即 $V_\lambda$ 非空．如果 $\alpha, \beta \in V_\lambda, k, l \in K$ ，则 $A \alpha=\lambda \alpha, A \beta=\lambda \beta$ ，故

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}(k \alpha+l \beta) & =k \boldsymbol{A} \alpha+l \boldsymbol{A} \beta=k \lambda \alpha+l \lambda \beta \\
& =\lambda(k \alpha+l \beta)
\end{aligned}
$$

即 $k \alpha+l \beta \in V_\lambda$ ．于是 $V_\lambda$ 关于加法、数乘封闭，即 $V_\lambda$ 为 $V$ 的子空间．我们有下列两个明显的事实：

1）$\lambda \in K$ 是线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征值的充分必要条件是 $V_\lambda \neq\{0\}$ 。此时 $V_\lambda$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征子空间．$V_\lambda$ 中任何非零向量都是 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量；

2）要找出 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的全部特征向量，只要决定出特征子空间 $V_\lambda$ ，特别地，当 $V_\lambda$ 是有限维子空间时，只要找出它的一组基，就等于找出 $V_\lambda$ 中的所有向量．

现在设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 内一个线性变
换．我们需要解决下面两个问题：
1）决定 $K$ 内所有使 $V_\lambda \neq\{0\}$ 的数 $\lambda$ ；
2）当 $V_\lambda \neq\{0\}$ 时找出它的一组基．
以上两个问题都需要通过计算来实现。我们知道，在线性空间利线性变换的问题中，凡是需要具体计算时，就必须在 $V$ 内取定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，求出每个向量在此组基下的坐标：

$$
\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X,
$$

再求出线性变换在此组基下的矩阵

$$
\left(A \varepsilon_1, A \varepsilon_2, \cdots, A \varepsilon_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A .
$$

按命题3．8有

$$
\boldsymbol{A} \alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)(A X),
$$

而

$$
\lambda \alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)(\lambda X) .
$$

于是 $V$ 内的定义式 $A \alpha=\lambda \alpha$ 现在等价于 $K^n$ 内的关系式 $A X=\lambda X$ ，而 $\alpha \neq 0$ 等价于 $X \neq 0$ 。

现在我们有如下基本关系：
1）$V_\lambda \neq\{0\} \Longleftrightarrow$ 有 $0 \neq \alpha \in V$ 使 $A \alpha=\lambda \alpha \Longleftrightarrow$ 有 $0 \neq X \in K^n$ ，使 $A X= \lambda X$ ；

2） $0 \neq \alpha \in V$ ，满足 $A \alpha=\lambda \alpha \Longleftrightarrow 0 \neq X \in K^n$ ，满足等式 $A X=\lambda X$ ．现设

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right] .
$$

由 $A X=\lambda X$ 推知 $\lambda X-A X=0$ ，即 $(\lambda E-A) X=0$ ．具体写出来，就是

$$
\left[\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\
-a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & \lambda-a_{n n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=0 .
$$

上式是数域 $K$ 内 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的齐次线性方程组，按第三章
§ 3 的定理 3．1，它有非零解的充分必要条件是

$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\
-a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & \lambda-a_{n n}
\end{array}\right|=0 .
$$

于是，对上面提出的两个基本问题，答案如下：
1）$\lambda \in K$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，即 $V_\lambda \neq\{0\}$ 的充分必要条件是它满足

$$
|\lambda E-A|=0
$$

2）$\alpha \in V$ 满足 $A \alpha=\lambda \alpha$ ，即 $\alpha \in V_\lambda$ 的充分必要条件是 $\alpha$ 在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ ， $\cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标 $X$ 满足齐次线性方程组 $(\lambda E-A) X=0$ ．

在§3的例3．4中已经指出，取定 $V$ 的一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 后，$V$中每个向量 $\alpha$ 对应于它在此组基下的坐标 $X$ ，这是 $V$ 到 $K^n$ 的一个同构映射 $f$ ．在这个同构映射下，$f\left(V_\lambda\right)$ 正好是齐次线性方程组 $(\lambda E-A) X=0$ 的解空间．只要找出这个齐次线性方程组的一个基础解系，也就是找出解空间的一组基，根据命题 3.2 与 3.3 ，这组基在 $f$下的反像就是 $V_\lambda$ 的一组基。至此，本段开头所提出的两个问题已经得到完满的解答．
给定数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ ，令

$$
f(\lambda)=|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\
-a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & \lambda-a_{n n}
\end{array}\right|,
$$

从行列式的完全展开式易知 $f(\lambda)$ 为 $\lambda$ 的多项式，其系数属于数域 $K, f(\lambda)$ 称为方阵 $A$ 的特征多项式。 $f(\lambda)$ 属于数域 $K$ 的根称为方阵 $A$ 的特征根或特征值．因为数域 $K$ 上的方阵都可看做复数域上的方阵，在这样看的时候，$f(\lambda)$ 在复数域内的全部根都认为是 $A$ 的特征根或特征值．所以，说到矩阵 $A$ 的特征值时，不能忘记究竟是把该矩阵看做哪个数域上的方阵。当 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值时，齐次线性方程组 $(\lambda E-A) X=0$ 的每个非零解 $X_0$ 就称为 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量．注意此时 $\lambda$ 与 $X_0$ 属于同一个数域．

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