最后更新: 2025-10-04 10:57 查看: 221 次纠错评论(0) 课件开VIP

特征值与特征向量的计算法

2．特征值与特征向量的计算法
现在我们把计算线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征值和特征向量的步骤归纳如下：

1）在 $V$ 中给定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵 $A$ ．
2）计算特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ ．
3）求 $f(\lambda)=0$ 的属于数域 $K$ 的那些根

$$
\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s .
$$

4）对每个 $\lambda_i(i=1,2, \cdots, s)$ 求齐次线性方程组

$$
\left(\lambda_i E-A\right) X=0
$$

的一个基础解系。这个齐次线性方程组具体写出来就是

$$
\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_i-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\
-a_{21} & \lambda_i-a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & \lambda_i-a_{n n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=0
$$

注意其中的 $\lambda_i$ 是在步骤（3）中求出的，是已知数，不是未知量．

5）以步骤 4）中求出的基础解系为坐标写出 $V$ 中一个向量组，它就是 $V_{\lambda_i}$ 的一组基．

例 4.1 设三维线性空间 $V$ 内一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为

$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right],
$$

求 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值和对应的特征向量．
解 本例中 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵已给出．下面分两步计算：
（i）求特征多项式和特征根．

$$
f(\lambda)=|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -2 & -2 \\
-2 & \lambda-1 & -2 \\
-2 & -2 & \lambda-1
\end{array}\right|
$$

$$
\begin{aligned}
& =\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-5 & -2 & -2 \\
\lambda-5 & \lambda-1 & -2 \\
\lambda-5 & -2 & \lambda-1
\end{array}\right|=(\lambda-5)\left|\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
1 & \lambda-1 & -2 \\
1 & -2 & \lambda-1
\end{array}\right| \\
& =(\lambda-5)\left|\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
0 & \lambda+1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda+1
\end{array}\right|=(\lambda-5)(\lambda+1)^2 .
\end{aligned}
$$

$f(\lambda)$ 的根为 $\lambda_1=5, \lambda_2=-1$（二重根）．因为整数必属于任一数域 $K$ ，所以 $\lambda_1, \lambda_2$ 均为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．
（ii）求每个特征值对应的特征向量．
当 $\lambda_1=5$ 时，解以 $\lambda_1 E-A=5 E-A$ 为系数矩阵的齐次线性方程组．采用矩阵消元法
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 E-A & =\left[\begin{array}{rrr}
4 & -2 & -2 \\
-2 & 4 & -2 \\
-2 & -2 & 4
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
-2 & -2 & 4 \\
-2 & 4 & -2 \\
4 & -2 & -2
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
-1 & 2 & -1 \\
2 & -1 & -1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
0 & 3 & -3 \\
0 & -3 & 3
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right] \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{rl}
x_1+x_2-2 x_3=0, & \\
x_2-x_3=0 . &
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

移项，得

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2 & =2 x_3, \\
x_2 & =x_3 .
\end{aligned}\right.
$$

令 $x_3=1$ ，得基础解系 $\eta_1=(1,1,1)$ ，它对应于 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$ ，于是它是特征子空间 $V_{\lambda_1}$ 的一组基，即

$$
V_{\lambda_1}=L\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3\right)
$$

当 $\lambda_2=-1$ 时，

$$
\lambda_2 E-A=\left[\begin{array}{lll}
-2 & -2 & -2 \\
-2 & -2 & -2 \\
-2 & -2 & -2
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

$$
\Longleftrightarrow x_1+x_2+x_3=0 .
$$

移项，得

$$
x_1=-x_2-x_3 .
$$

取 $x_2=1, x_3=0$ 得 $\eta_1=(-1,1,0)$ ；取 $x_2=0, x_3=1$ ，得 $\eta_2=(-1,0$ ， 1）．这个基础解系对应于 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量组：$-\varepsilon_1+\varepsilon_2,-\varepsilon_1+\varepsilon_3$ ，它们构成 $V_{\lambda_2}$ 的一组基，即

$$
V_{\lambda_2}=L\left(-\varepsilon_1+\varepsilon_2,-\varepsilon_1+\varepsilon_3\right) .
$$

例4．2 在线性空间 $K[x]_n$ 中取一组基

$$
1, x, \frac{1}{2!} x^2, \cdots, \frac{1}{(n-1)!} x^{n-1} .
$$

容易求出形式微商变换 $\mathbf{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ 在这组基下的矩阵为

$$
D=\left[\begin{array}{lllll}
0 & 1 & 0 & & \\
& 0 & 1 & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & 0 \\
& & & \ddots & 1
\end{array}\right] .
$$

（i）$D$ 的特征多项式为

$$
f(\lambda)=|\lambda E-D|=\left|\begin{array}{rrrr}
\lambda & -1 & & \\
& \lambda & \ddots & \\
& & \ddots & -1 \\
& & & \lambda
\end{array}\right|=\lambda^n .
$$
它的特征根仅有一个（ $n$ 重根），即 $\lambda_1=0 \in K$ ．故 $\mathbf{D}$ 仅有一个特征值 $\lambda_1=0$ ．
（ii）求 $\lambda_1=0$ 对应的特征向量．

$$
\begin{aligned}
\lambda_1 E-D & =-D=\left[\begin{array}{rrrr}
0 & -1 & & \\
& 0 & \ddots & \\
& & \ddots & -1 \\
& & & 0
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{llll}
0 & 1 & & \\
& 0 & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & 0
\end{array}\right] \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}
x_2 & =0, \\
x_3 & =0, \\
\ldots \ldots \ldots . . & x_n=0 .
\end{aligned}\right.
\end{aligned}
$$
在这个齐次线性方程组中，仅有 $x_1$ 是自由未知量，取 $x_1=1$ ，得基础解系 $\eta_1=(1,0, \cdots, 0)$ ，它对应于 $\mathbf{D}$ 的特征向量

$$
x_1 \cdot 1+x_2 x+\cdots+x_n x^{n-1}=1 .
$$

于是 $V_{\lambda_1}=L(1)$ ，即 $\mathbf{D}$ 的属于特征值 0 的特征向量为任一非零的常数．这与数学分析中的结论一致．

例 4.3 平面上全体向量组成实数域上一个二维线性空间。取直角坐标系的坐标向量 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 作为它的一组基。设线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在此基下的矩阵为

$$
A=\left[\begin{array}{cr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right](\theta \neq k \pi) .
$$

$A$ 的特征多项式为

$$
f(\lambda)=|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{rr}
\lambda-\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \lambda-\cos \theta
\end{array}\right|=\lambda^2-2 \lambda \cos \theta+1 .
$$

因 $\theta \neq k \pi$ ，这个二次方程仅有复数根，即矩阵 $A$ 的特征值都是复数．但我们现在考虑的是实数域上的线性空间，故 $\boldsymbol{A}$ 没有特征值，因而也没有特征向量．

从解析几何的知识可知， $\boldsymbol{A}$ 代表的是平面绕坐标原点 $O$ 旋转 $\theta$角的变换。从几何直观即可看出，当 $\theta \neq k \pi$ 时，平面上不存在非零向量 $\xi$ ，满足 $\boldsymbol{A} \xi=\lambda \xi$（即 $\xi$ 旋转 $\theta$ 角后仍落在原向量所在的直线上）．

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