最后更新: 2025-10-04 14:12 查看: 71 次纠错评论(0) 课件开VIP

特征多项式的基本性质

3．特征多项式的基本性质
命题4．1 相似的矩阵有相同的特征多项式。
证 设 $B=T^{-1} A T$ ，则

$$
\begin{aligned}
|\lambda E-B| & =\left|\lambda E-T^{-1} A T\right|=\left|T^{-1}(\lambda E-A) T\right| \\
& =\left|T^{-1}\right||\lambda E-A||T|=|\lambda E-A|\left|T^{-1} T\right| \\
& =|\lambda E-A| \cdot|E|=|\lambda E-A| .
\end{aligned}
$$

注意此命题的逆命题一般不成立．即如果两个 $n$ 阶方阵特征多项式相同，它们未必相似。

因为一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在不同基下的矩阵是相似的，根据上述命题，它们的特征多项式相同．因而，我们把 $\boldsymbol{A}$ 在任一组基下的矩阵的特征多项式称为 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式．这个命题又从理论上指明：在用
前面讲的办法计算线性变换的特征值和特征向量时，不会因为所选择的基不相同而得到不同的结果。

命题4．2 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，则

$$
f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^n-\operatorname{Tr}(A) \lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|,
$$

其中 $\operatorname{Tr}(A)$ 为 $A$ 的主对角线元素之和，即为 $A$ 的迹．
证 已知 $f(\lambda)$ 为 $\lambda$ 的多项式，设

$$
f(\lambda)=a_0 \lambda^m+a_1 \lambda^{m-1}+\cdots+a_m .
$$

显然 $a_m=f(0)=|-A|=(-1)^n|A|$ ．故只需证

$$
m=n, \quad a_0=1, \quad a_1=-\operatorname{Tr}(A) .
$$

对 $n$ 作数学归纳法．当 $n=1$ 时 $f(\lambda)=\left|\lambda-a_{11}\right|=\lambda-a_{11}$ ，显然成立．下面设对 $K$ 上 $n-1$ 阶方阵命题成立．当 $A=\left(a_{i j}\right) \in M_n(K)$ 时，我们对 $f(\lambda)$ 求形式微商。一方面

$$
f^{\prime}(\lambda)=a_0 m \lambda^{m-1}+a_1(m-1) \lambda^{m-2}+\cdots+a_{m-1} .
$$

另一方面，按第三章命题2．9（行列式微商公式）

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda} f(\lambda)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}|\lambda E-A|=\sum_{i=1}^n\left|(\lambda E-A)_i\right|,
$$

其中 $(\lambda E-A)_i$ 表示把 $\lambda E-A$ 的第 $i$ 行对 $\lambda$ 求形式微商。我们把 $\left|(\lambda E-A)_i\right|$ 对第 $i$ 行展开，再利用归纳假设，有

$$
\begin{aligned}
& \left|(\lambda E-A)_i\right|=\left|\begin{array}{cccccc}
\lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & \vdots & \cdots & -a_{1 n} \\
0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\
-a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & \vdots & \cdots & \lambda-a_{n n}
\end{array}\right|_i \\
& \quad=\left|\lambda E_{n-1}-A\binom{i}{i}\right|=\lambda^{n-1}-\operatorname{Tr}\left(A\binom{i}{i}\right) \lambda^{n-2}+\cdots \\
& \quad=\lambda^{n-1}-\left(\operatorname{Tr}(A)-a_{i i}\right) \lambda^{n-2}+\cdots
\end{aligned}
$$

代回原式得

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} f(\lambda)}{\mathrm{d} \lambda} & =\sum_{i=1}^n\left[\lambda^{n-1}-\left(\operatorname{Tr}(A)-a_{i i}\right) \lambda^{n-2}+\cdots\right] \\
& =n \lambda^{n-1}-(n-1) \operatorname{Tr}(A) \lambda^{n-2}+\cdots \\
& =f^{\prime}(\lambda)=a_0 m \lambda^{m-1}+a_1(m-1) \lambda^{m-2}+\cdots
\end{aligned}
$$

根据第一章命题 2.2 的推论 2 ，我们有 $m=n$ 且

$$
a_0 m=n,-(n-1) \operatorname{Tr}(A)=a_1(m-1) .
$$
于是 $a_0=1, a_1=-\operatorname{Tr}(A)$ ．
下面来讨论方阵特征多项式的一个有趣性质。我们知道，两个 $n$阶方阵 $A, B$ 乘积一般不可交换：$A B \neq B A$ ，但我们可以证明它们的特征多项式却是一样的。实际上，借助于分块矩阵运算的技巧，我们可以得到更一般的结果。

例4．4 设 $A$ 是数域 $K$ 上 $n \times m$ 矩阵，$B$ 是 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵，则

$$
\lambda^m\left|\lambda E_n-A B\right|=\lambda^n\left|\lambda E_m-B A\right|,
$$

特别地，当 $m=n$ 时 $|\lambda E-A B|=|\lambda E-B A|$ ．

解 我们有

$$
\left[\begin{array}{cc}
E_m & 0 \\
-A & E_n
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\lambda E_m & B \\
\lambda A & \lambda E_n
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\lambda E_m & B \\
0 & \lambda E_n-A B
\end{array}\right] .
$$

两边取行列式，利用第三章命题2．8，有

$$
\left|\begin{array}{cc}
\lambda E_m & B \\
\lambda A & \lambda E_n
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
\lambda E_m & B \\
0 & \lambda E_n-A B
\end{array}\right|=\lambda^m\left|\lambda E_n-A B\right| .
$$

另一方面，我们又有

$$
\left[\begin{array}{cc}
\lambda E_m & B \\
\lambda A & \lambda E_n
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
E_m & 0 \\
-A & E_n
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\lambda E_m-B A & B \\
0 & \lambda E_n
\end{array}\right],
$$

两边取行列式，得

$$
\left|\begin{array}{cc}
\lambda E_m & B \\
\lambda A & \lambda E_n
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
\lambda E_m-B A & B \\
0 & \lambda E_n
\end{array}\right|=\lambda^n\left|\lambda E_m-B A\right| .
$$

比较上、下两式即得所要的公式．
我们知道，一个 $n$ 次多项式在复数域内恰有 $n$ 个根（其中可能有相同的）．设 $f(\lambda)$ 在复数域内的 $n$ 个根是 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，那么，根据第一章命题 2.3 ，有

$$
\begin{gathered}
\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=\operatorname{Tr}(A) ; \\
\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \cdots \cdot \lambda_n=|A| .
\end{gathered}
$$

即矩阵 $A$ 的全体特征根（重根计算在内）之和等于它的迹 $\operatorname{Tr}(A)$ ，而全体特征根的乘积等于它的行列式 $|A|$ ．上面阐述的简单性质对讨论许多问题都很有用．

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