最后更新: 2025-10-04 14:18 查看: 18 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

具有对角形矩阵的线性变换

4．具有对角形矩阵的线性变换
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个线性变换．如果在 $V$ 内存在－－组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ ，使 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵成对角形，我们就说 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵可对角化。现在我们来考查一下，什么样的线性变换其矩阵可对角化。

定理 4.1 数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵可对角化的充分必要条件是，$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

证 必要性 若 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 下的矩阵成对角形，即

$$
\left(A \eta_1, A \eta_2, \cdots, A \eta_n\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right],
$$

则有

$$
A \eta_1=\lambda_1 \eta_1, \quad A \eta_2=\lambda_2 \eta_2, \quad \cdots, \quad A \eta_n=\lambda_n \eta_n .
$$

于是 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个线性无关特征向量。
充分性 如果 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关特征向量 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ ，把它们取作 $V$ 的一组基，显然， $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵成对角形．

充分性 如果 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关特征向量 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ ，把它们取作 $V$ 的一组基，显然， $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵成对角形．

究竟什么样的线性变换才具有 $n$ 个线性无关的特征向量呢？我们首先给出一个充分条件．

命题 4.3 线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的属于不同特征值的特征向量线性无关．

证 取 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 个不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ ，它们分别对应于特征向量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_k$ ．对 $k$ 作数学归纳法．

当 $k=1$ 时，$\xi_1 \neq 0$ ，当然线性无关．设命题在 $k-1$ 个不同特征值的情况下已经成立，证明 $k$ 个不同特征值的情况下命题也成立．

考査向量等式

$$
l_1 \xi_1+l_2 \xi_2+\cdots+l_k \xi_k=0
$$

两边用 $\boldsymbol{A}$ 作用，利用 $\boldsymbol{A}$ 的线性性质，得

$$
l_1 A \xi_1+l_2 A \xi_2+\cdots+l_k A \xi_k=0
$$

因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_i=\lambda_i \boldsymbol{\xi}_i$ ，故有

$$
l_1 \lambda_1 \xi_1+l_2 \lambda_2 \xi_2+\cdots+l_k \lambda_k \xi_k=0
$$

以 $\lambda_1$ 乘（1）式再与（2）式相减，得

$$
l_2\left(\lambda_1-\lambda_2\right) \xi_2+\cdots l_k\left(\lambda_1-\lambda_k\right) \xi_k=0 .
$$

按归纳假设，$\xi_2, \cdots, \xi_k$ 线性无关，故

$$
l_2\left(\lambda_1-\lambda_2\right)=\cdots=l_k\left(\lambda_1-\lambda_k\right)=0
$$

因为 $k$ 个特征值互不相同，由上式即得

$$
l_2=\cdots=l_k=0
$$

代入（1）式，因 $\xi_1 \neq 0$ ，就有 $l_1=0$ ．这就证明 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_k$ 是线性无关的。

推论 如果 $n$ 维线性空间 $V$ 内的线性变换 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值，那么它的矩阵可对角化。

当一个线性变换没有 $n$ 个不同特征值时，它的矩阵也有可能可以对角化。现在我们对此作进一步探讨。

命题4．4 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的线性变换，$\lambda_1$ ， $\lambda_2, \cdots, \lambda_k$ 是 $K$ 内 $k$ 个不同的数，令 $V_{\lambda_i}=\left\{\alpha \in V \mid \boldsymbol{A} \alpha=\lambda_i \alpha\right\}$ ，则子空间的和 $\sum_{i=1}^k V_{\lambda_i}$ 是直和．

证 按本章定理 2．3，只要证 0 向量表法唯一．设

$$
0=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k \quad\left(\alpha_i \in V_{\lambda_i}\right) .
$$

因 $\alpha_i \in V_{\lambda_i}$ ，当 $\alpha_i \neq 0$ 时，它是属于 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。上式表示 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 中不为 0 的向量线性相关（因为它们的和为 0 ），但它们属于 $\boldsymbol{A}$ 的不同特征值，这与命题4．3矛盾。故 $\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0$ ，即 $\sum V_{\lambda_i}$ 为直和．

定理4．2 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\lambda_1$ ， $\lambda_2, \cdots, \lambda_k$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的全部互不相同的特征值．则 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵可对角化的充分必要条件是

$$
V=V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}=\bigoplus_{i=1}^k V_{\lambda_i} .
$$

在 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵可对角化的情况下，在每个 $V_{\lambda_i}$ 中任取一组基，合并后即为 $V$ 的一组基，在该组基下 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵为对角矩阵．

证 必要性 设

$$
M=V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k} \subseteq V .
$$

如果 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsil

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