最后更新: 2025-10-04 14:21 查看: 53 次纠错评论(0) 课件开VIP

不变子空间

5．不变子空间
研究线性变换的一个重要方法，是把它所作用的空间进行分解．在这一段里，我们介绍与此有关的一些基本概念．

定义 设 $\boldsymbol{A}$ 是线性空间 $V$ 内的一个线性变换．如果 $M$ 是 $V$ 的
一个子空间，且对任意 $\alpha \in M$ ，有 $A \alpha \in M$ ，则称 $M$ 为 $A$ 的一个不变子空间．这时 $\boldsymbol{A}$ 可以看做 $M$ 内的一个线性变换，称为 $\boldsymbol{A}$ 在 $M$ 内的限制，记做 $\left.\boldsymbol{A}\right|_M$ 。

显然，零子空间 $\{0\}$ 和 $V$ 本身都是 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间，称它们为 $\boldsymbol{A}$的平凡不变子空间。除此之外的不变子空间称为 $\boldsymbol{A}$ 的非平凡不变子空间。例如，当 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值时，$V_\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个不变子空间，且 $V_\lambda \neq\{0\}$ 。如果 $\boldsymbol{A}$ 不是数乘变换，则 $V_\lambda \neq V$ ，此时 $V_\lambda$ 就是 $\boldsymbol{A}$ 的一个非平凡不变子空间。

设 $M$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个非平凡不变子空间，在 $M$ 内取一组基

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r,
$$

扩充成 $V$ 的一组基

$$
\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n .
$$

按照不变子空间的定义，有

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \varepsilon_1= & a_{11} \varepsilon_1+a_{21} \varepsilon_2+\cdots a_{r 1} \varepsilon_r \\
\boldsymbol{A} \varepsilon_2= & a_{12} \varepsilon_1+a_{22} \varepsilon_2+\cdots+a_{r 2} \varepsilon_r \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & \\
\boldsymbol{A} \varepsilon_r= & a_{1 r} \varepsilon_1+a_{2 r} \varepsilon_2+\cdots+a_{r r} \varepsilon_r \\
\boldsymbol{A} \varepsilon_{r+1}= & a_{1 r+1} \varepsilon_1+a_{2 r+1} \varepsilon_2+\cdots+a_{r r+1} \varepsilon_r \\
& +a_{r+1 r+1} \varepsilon_{r+1} \cdots+a_{n r+1} \varepsilon_n \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & \\
\boldsymbol{A} \varepsilon_n= & a_{1 n} \varepsilon_1+a_{2 n} \varepsilon_2+\cdots+a_{r n} \varepsilon_r \\
& +a_{r+1} \varepsilon_{r+1}+\cdots+a_{n n} \varepsilon_n .
\end{aligned}
$$

故 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵有如下分块形式

$$
A=\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22}
\end{array}\right], \quad A_{11}=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 r} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 r} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r r}
\end{array}\right] .
$$

这就把线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵简化了．这对我们研究线性变换是有利的．

当我们能找到 $\boldsymbol{A}$ 的另一个不变子空间 $N$ ，使

$$
V=M \oplus N
$$

时，只要取 $\varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n$ 为 $N$ 的一组基，则 $\boldsymbol{A}$ 在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 这组基下的矩阵就成准对角形

$$
\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & 0 \\
0 & A_{22}
\end{array}\right] .
$$

事实上，我们有更一般的结果：
命题4．5 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个线性变换。在 $V$ 内存在一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，使 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵成准对角形的充分必要条件是，$V$ 可以分解为 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间 $M_1, M_2, \cdots$ ， $M_s$ 的直和

$$
V=M_1 \oplus M_2 \oplus \cdots \oplus M_s=\bigoplus_{i=1}^s M_i .
$$

证 必要性 若 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下成下面准对角形

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
A_1 & & & \\
& A_2 & & 0 \\
0 & & \ddots & \\
& & & A_s
\end{array}\right],
$$

把这组基相应分成 $s$ 段
$$
\varepsilon_{11}, \varepsilon_{12}, \cdots, \varepsilon_{1 n_1}, \varepsilon_{21}, \varepsilon_{22}, \cdots, \varepsilon_{2 n_2}, \cdots, \varepsilon_{s 1}, \varepsilon_{s 2}, \cdots, \varepsilon_{s n_s},
$$

其中 $n_i(i=1,2, \cdots, s)$ 为 $A_i$ 的阶，这时应有

$$
\left(\boldsymbol{A} \varepsilon_{i 1}, \boldsymbol{A} \varepsilon_{i 2}, \cdots, \boldsymbol{A} \varepsilon_{i n_i}\right)=\left(\varepsilon_{i 1}, \varepsilon_{i 2}, \cdots, \varepsilon_{i n_i}\right) A_i
$$

令 $M_i=L\left(\varepsilon_{i 1}, \varepsilon_{i 2}, \cdots, \varepsilon_{i n_i}\right)$ ，则 $M_i$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间，且

$$
\operatorname{dim} M_i=n_i, \quad \sum_{i=1}^s M_i=V .
$$

而

$$
\operatorname{dim} \sum_{i=1}^s M_i=\operatorname{dim} V=n=\sum_{i=1}^s n_i=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} M_i,
$$

根据§2定理2．3，有

$$
V=M_1 \oplus M_2 \bigoplus \cdots \oplus M_s .
$$

充分性 设

$$
V=M_1 \bigoplus M_2 \bigoplus \cdots \bigoplus M_s,
$$
其中 $M_i$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的 $n_i$ 维不变子空间．在每个 $M_i$ 内取一组基，合并成 $V$的一个向量组（I），由 § 2 定理 2.3 的推论知（I）是 $V$ 的一组基，且 $\boldsymbol{A}$在此组基下矩阵为准对角形，主对角线上由 $s$ 个小块矩阵 $A_1, A_2$ ， $\cdots, A_s$ 组成，$A_i$ 为 $\left.\boldsymbol{A}\right|_{M_i}$ 在 $M_i$ 内取定基下的矩阵。

命题4．6 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个线性变换．如果 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵可对角化，则对 $\boldsymbol{A}$ 的任意不变子空间 $M,\left.A\right|_M$ 的矩阵也可对角化．

证 设 $\boldsymbol{A}$ 的全部互不相同特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ ，由定理 4.2 知现在

$$
V=V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k} .
$$

令 $N_i=M \cap V_{\lambda_i}(i=1,2, \cdots, k)$ ．我们来证明

$$
M=N_1 \oplus N_2 \oplus \cdots \oplus N_k .
$$

（i）证明和 $\sum_{i=1}^k N_i$ 为直和．只要证零向量表法唯一．设

$$
0=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k,
$$

现在 $\alpha_i \in N_i \subseteq V_{\lambda_i}$ ，由于 $\sum_{i=1}^k V_{\lambda_i}$ 为直和，故必 $\alpha_i=0$ ．于是 $\sum_{i=1}^k N_i$ 为直和．

（ii）证明 $\sum_{i=1}^k N_i=M$ ．显然 $\sum_{i=1}^k N_i \subseteq M$ ．反之，设 $\alpha$ 为 $M$ 内任意向量，则因 $\alpha \in V$ ，有

$$
\begin{aligned}
& \alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k \quad\left(\alpha_i \in V_{\lambda_i}\right) \\
& A \alpha=\lambda_1 \alpha_1+\lambda_2 \alpha_2+\cdots+\lambda_k \alpha_k \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& A^{k-1} \alpha=\lambda_1^{k-1} \alpha_1+\lambda_2^{k-1} \alpha_2+\cdots+\lambda_k^{k-1} \alpha_k
\end{aligned}
$$

即

$$
\left[\begin{array}{c}
\alpha \\
\boldsymbol{A} \alpha \\
\vdots \\
\boldsymbol{A}^{k-1} \alpha
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_k \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\lambda_1^{k-1} & \lambda_2^{k-1} & \cdots & \lambda_k^{k-1}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_k
\end{array}\right] .
$$

上式右端 $k$ 阶方阵的行列式为范德蒙德行列式，$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ 互不相同，故该行列式不为 0 ，即此 $k$ 阶方阵可逆，设其逆矩阵为 $T \in$

$M_k(K)$ ，则

$$
\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_k
\end{array}\right]=T\left[\begin{array}{c}
\alpha \\
A \alpha \\
\vdots \\
A^{k-1} \alpha
\end{array}\right] .
$$

因 $M$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间，故 $\alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha \in M$ ，于是由上式得出 $\alpha_i \in M$ ，亦即 $\alpha_i \in V_{\lambda_i} \cap M=N_i$ ．由此推知 $M \subseteq \sum_{i=1}^k N_i$ ，即 $M=\sum_{i=1}^k N_i$ ．

综合上述两方面的结果知

$$
M=N_1 \oplus N_2 \oplus \cdots \oplus N_k
$$

在每个 $N_i$ 中取一组基，因 $N_i \subseteq V_{\lambda_i}$ ，此组基全由 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量组成，它们合并成 $M$ 的一组基，在此组基下 $\left.\boldsymbol{A}\right|_M$ 的矩阵即为对角形．

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