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商空间中的诱导变换

6．商空间中的诱导变换
在§2中我们介绍了研究线性空间（更一般地是一个代数系统）的两种基本方法：空间分解为子空间的方法和商空间的方法．上一段我们利用空间分解来研究线性变换，本段将利用商空间来研究线性变换。

设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 内一个线性变换．现设 $M$是 $\boldsymbol{A}$ 的一个不变子空间。我们在商空间 $V / M$ 定义一个变换如下：

$$
A(\alpha+M)=A \alpha+M .
$$

（上式可写成 $\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{\alpha}}=\overline{\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}}$ ）．
首先要指出这一定义在逻辑上无矛盾．设有 $\beta+M=\alpha+M$ ，我们需要证明 $\boldsymbol{A}(\beta+M)=\boldsymbol{A} \beta+M=\boldsymbol{A} \alpha+M=\boldsymbol{A}(\alpha+M)$ ．现在 $\beta=\alpha+ m, m \in M$ ，因 $M$ 为 $A$ 的不变子空间，故 $A \beta=A \alpha+A m$ 推出：$A \beta+M =\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}+M$ ．这就是我们需要的结论．

考査§3例3．5中定义的自然映射 $\varphi: V \rightarrow V / M$ ，其中 $\varphi(\alpha)= \alpha+M=\bar{\alpha}$ ．把这记号用到上面的定义式，得

$$
\boldsymbol{A}(\alpha+M)=\boldsymbol{A} \varphi(\alpha)=\boldsymbol{A} \alpha+M=\varphi(\boldsymbol{A} \alpha) .
$$

这表明 $\varphi$ 和上面定义的 $V / M$ 内变换 $\boldsymbol{A}$ 可交换．
现在来证 $\boldsymbol{A}$ 是 $V / M$ 内线性变换．我们有

$$
\begin{aligned}
A(k \bar{\alpha} & +l \bar{\beta})=A(\overline{k \alpha+l \beta})=A \varphi(k \alpha+l \beta) \\
& =\varphi A(k \alpha+l \beta)=\varphi(k A \alpha+l A \beta) \\
& =k \varphi(A \alpha)+l \varphi(A \beta))=k A \varphi(\alpha)+l A \varphi(\beta) \\
& =k A \bar{\alpha}+l A \bar{\beta}
\end{aligned}
$$

上面定义的 $V / M$ 内的线性变换 $\boldsymbol{A}$ 称为 $V$ 内线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在商空间 $V / M$ 内的诱导变换。我们用同一个记号 $\boldsymbol{A}$ 代表 $V$ 内线性变换 $\boldsymbol{A}$ 及商空间 $V / M$ 内的诱导变换 $\boldsymbol{A}$ ，其具体含意从上下文中立即看出，不致混淆（如果 $\boldsymbol{A}$ 作用在 $V$ 的向量 $\alpha$ 上，它代表的是 $V$ 内的线性变换，如果它作用在 $\bar{\alpha}=\alpha+M$ 上，则代表的是 $V / M$ 内的诱导变换）。其所以如此，主要是为了今后不致使用太多的符号而使读者产生困惑。

现在设 $\operatorname{dim} V=n$ ．在 $M$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$ ，扩充为 $V$ 的一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n$ ．在上一段开头部分已指出（这里继续使用该处记号，不再重复） $\boldsymbol{A}$ 在此组基下的矩阵为如下分块形式：

$$
A=\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22}
\end{array}\right],
$$

其中

$$
A_{22}=\left[\begin{array}{cccc}
a_{r+1 r+1} & a_{r+1 r+2} & \cdots & a_{r+1 n} \\
a_{r+2 r+1} & a_{r+2 r+2} & \cdots & a_{r+2 n} \\
\vdots & \vdots & &

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