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商空间中的诱导变换

6．商空间中的诱导变换
在§2中我们介绍了研究线性空间（更一般地是一个代数系统）的两种基本方法：空间分解为子空间的方法和商空间的方法．上一段我们利用空间分解来研究线性变换，本段将利用商空间来研究线性变换。

设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 内一个线性变换．现设 $M$是 $\boldsymbol{A}$ 的一个不变子空间。我们在商空间 $V / M$ 定义一个变换如下：

$$
A(\alpha+M)=A \alpha+M .
$$

（上式可写成 $\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{\alpha}}=\overline{\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}}$ ）．
首先要指出这一定义在逻辑上无矛盾．设有 $\beta+M=\alpha+M$ ，我们需要证明 $\boldsymbol{A}(\beta+M)=\boldsymbol{A} \beta+M=\boldsymbol{A} \alpha+M=\boldsymbol{A}(\alpha+M)$ ．现在 $\beta=\alpha+ m, m \in M$ ，因 $M$ 为 $A$ 的不变子空间，故 $A \beta=A \alpha+A m$ 推出：$A \beta+M =\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}+M$ ．这就是我们需要的结论．

考査§3例3．5中定义的自然映射 $\varphi: V \rightarrow V / M$ ，其中 $\varphi(\alpha)= \alpha+M=\bar{\alpha}$ ．把这记号用到上面的定义式，得

$$
\boldsymbol{A}(\alpha+M)=\boldsymbol{A} \varphi(\alpha)=\boldsymbol{A} \alpha+M=\varphi(\boldsymbol{A} \alpha) .
$$

这表明 $\varphi$ 和上面定义的 $V / M$ 内变换 $\boldsymbol{A}$ 可交换．
现在来证 $\boldsymbol{A}$ 是 $V / M$ 内线性变换．我们有

$$
\begin{aligned}
A(k \bar{\alpha} & +l \bar{\beta})=A(\overline{k \alpha+l \beta})=A \varphi(k \alpha+l \beta) \\
& =\varphi A(k \alpha+l \beta)=\varphi(k A \alpha+l A \beta) \\
& =k \varphi(A \alpha)+l \varphi(A \beta))=k A \varphi(\alpha)+l A \varphi(\beta) \\
& =k A \bar{\alpha}+l A \bar{\beta}
\end{aligned}
$$

上面定义的 $V / M$ 内的线性变换 $\boldsymbol{A}$ 称为 $V$ 内线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在商空间 $V / M$ 内的诱导变换。我们用同一个记号 $\boldsymbol{A}$ 代表 $V$ 内线性变换 $\boldsymbol{A}$ 及商空间 $V / M$ 内的诱导变换 $\boldsymbol{A}$ ，其具体含意从上下文中立即看出，不致混淆（如果 $\boldsymbol{A}$ 作用在 $V$ 的向量 $\alpha$ 上，它代表的是 $V$ 内的线性变换，如果它作用在 $\bar{\alpha}=\alpha+M$ 上，则代表的是 $V / M$ 内的诱导变换）。其所以如此，主要是为了今后不致使用太多的符号而使读者产生困惑。

现在设 $\operatorname{dim} V=n$ ．在 $M$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$ ，扩充为 $V$ 的一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n$ ．在上一段开头部分已指出（这里继续使用该处记号，不再重复） $\boldsymbol{A}$ 在此组基下的矩阵为如下分块形式：

$$
A=\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22}
\end{array}\right],
$$

其中

$$
A_{22}=\left[\begin{array}{cccc}
a_{r+1 r+1} & a_{r+1 r+2} & \cdots & a_{r+1 n} \\
a_{r+2 r+1} & a_{r+2 r+2} & \cdots & a_{r+2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n r+1} & a_{n r+2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right] .
$$

在命题2．5的证明中已指出 $\bar{\varepsilon}_{r+1}, \cdots, \bar{\varepsilon}_n$ 为 $V / M$ 的一组基，现在显见有（注意 $\bar{\varepsilon}_1=\bar{\varepsilon}_2=\cdots=\bar{\varepsilon}_r=\overline{0}$ ）

$$
\boldsymbol{A} \bar{\varepsilon}_{r+i}=\overline{\boldsymbol{A}}_{r+i}=a_{1 r+i} \bar{\varepsilon}_1+\cdots+a_{r r+i} \bar{\varepsilon}_r+a_{r+1 r+i} \bar{\varepsilon}_{r+1}+\cdots+a_{n r+i} \bar{\varepsilon}_n
$$

故

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \bar{\varepsilon}_{r+1}=a_{r+1 r+1} \bar{\varepsilon}_{r+1}+a_{r+2 r+1} \bar{\varepsilon}_{r+2}+\cdots+a_{n r+1} \bar{\varepsilon}_n \\
& \boldsymbol{A} \bar{\varepsilon}_{r+2}=a_{r+1 r+2} \bar{\varepsilon}_{r+1}+a_{r+2 r+2} \bar{\varepsilon}_{r+2}+\cdots+a_{n r+2} \bar{\varepsilon}_n \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \boldsymbol{A} \bar{\varepsilon}_n=a_{r+1 n} \bar{\varepsilon}_{r+1}+a_{r+2 n} \bar{\varepsilon}_{r+2}+\cdots+a_{n n} \bar{\varepsilon}_n
\end{aligned}
$$

于是诱导变换 $\boldsymbol{A}$ 在 $V / M$ 的基 $\bar{\varepsilon}_{r+1}, \cdots, \bar{\varepsilon}_n$ 下的矩阵为

$$
\left(\boldsymbol{A} \bar{\varepsilon}_{r+1}, \boldsymbol{A} \bar{\varepsilon}_{r+2}, \cdots, \boldsymbol{A} \bar{\varepsilon}_n\right)=\left(\bar{\varepsilon}_{r+1}, \bar{\varepsilon}_{r+2}, \cdots, \bar{\varepsilon}_n\right) A_{22} .
$$

因为

$$
\begin{aligned}
|\lambda E-A| & =\left|\begin{array}{cc}
\lambda E-A_{11} & -A_{12} \\
0 & \lambda E-A_{22}
\end{array}\right| \\
& =\left|\lambda E-A_{11}\right|\left|\lambda E-A_{22}\right|,
\end{aligned}
$$

上面的关系式给出 $V$ 内线性变换 $\boldsymbol{A}$ 及 $\left.\boldsymbol{A}\right|_M$ 和商空间 $V / M$ 内诱导变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式之间的关系，同时也就给出了它们的特征值之间的关系。我们把这关系严格阐述如下。

命题4．7 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的线性变换，$M$是 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间．若 $\boldsymbol{A}$ 在 $V$ 内特征多项式为 $f(\lambda),\left.\boldsymbol{A}\right|_M$ 特征多项式为 $g(\lambda), \boldsymbol{A}$ 在 $V / M$ 的诱导变换特征多项式为 $h(\lambda)$ ，则

$$
f(\lambda)=g(\lambda) h(\lambda) .
$$

命题4．8 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 内的线性变换。如果 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式的根都属于 $K$ ，则在 $V$ 内存在一组基，在该组基下 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵为上三角矩阵。

证 对 $n$ 作数学归纳法．$n=1$ 时命题显然成立．设对 $n-1$ 维线性空间命题成立。当 $\operatorname{dim} V=n$ 时，由假设知 $\boldsymbol{A}$ 必有一特征值 $\lambda_0$ ，设 $\boldsymbol{A} \varepsilon_1=\lambda_0 \varepsilon_1$ ，其中 $\varepsilon_1 \neq 0$ 。令 $M=L\left(\varepsilon_1\right)$ ，则 $M$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一维不变子空间，于是 $V / M$ 为 $K$ 上 $n-1$ 维线性空间。根据命题 $4.7, \boldsymbol{A}$ 在 $V / M$ 内的诱导变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式的根都是 $V$ 内线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式的根，从而都属于 $K$ ，按归纳假设，在 $V / M$ 内存在一组基

$$
\bar{\varepsilon}_2=\varepsilon_2+M, \bar{\varepsilon}_3=\varepsilon_3+M, \cdots, \bar{\varepsilon}_n=\varepsilon_n+M .
$$

使 $\boldsymbol{A}$ 在此组基下矩阵成上三角形，即

$$
\boldsymbol{A} \bar{\varepsilon}_i=a_{2 i} \bar{\varepsilon}_2+\alpha_{3 i} \bar{\varepsilon}_3+\cdots+a_{i i} \bar{\varepsilon}_i \quad(i=2,3, \cdots, n) .
$$

（i）先证 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 为 $V$ 的一组基．这只要证它们线性无关即可．设

$$
k_1 \varepsilon_1+k_2 \varepsilon_2+\cdots+k_n \varepsilon_n=0
$$

两边用自然映射 $\varphi$ 作用（注意 $\varphi\left(\varepsilon_1\right)=\bar{\varepsilon}_1=\overline{0}$ ）：

$$
\begin{aligned}
& \varphi\left(k_1 \varepsilon_1+k_2 \varepsilon_2+\cdots+k_n \varepsilon_n\right) \\
& \quad=k_1 \varphi\left(\varepsilon_1\right)+k_2 \varphi\left(\varepsilon_2\right)+\cdots+k_n \varphi\left(\varepsilon_n\right) \\
& \quad=k_2 \bar{\varepsilon}_2+\cdots+k_n \bar{\varepsilon}_n=\overline{0}
\end{aligned}
$$

因 $\bar{\varepsilon}_2, \cdots, \bar{\varepsilon}_n$ 为 $V / M$ 的一组基，故 $k_2=\cdots=k_n=0$ ．代回原式，因 $\varepsilon_1 \neq$
0 ，推得 $k_1=0$ ．
（ii）再证在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵成上三角形．注意如下事实：因 $M=L\left(\varepsilon_1\right)$ ，而

$$
\boldsymbol{A} \bar{\alpha}=\bar{\beta} \Longleftrightarrow \boldsymbol{A}(\alpha+M)=\boldsymbol{A} \alpha+M=\beta+M,
$$

于是 $\boldsymbol{A} \alpha=\beta+k \varepsilon_1=k \varepsilon_1+\beta(k \in K)$ ．现在

$$
\begin{aligned}
A \bar{\varepsilon}_i & =a_{2 i} \bar{\varepsilon}_2+a_{3 i} \bar{\varepsilon}_3+\cdots+a_{i i} \bar{\varepsilon}_i \\
& =\overline{a_{2 i} \varepsilon_2+a_{3 i} \varepsilon_3+\cdots+a_{i i} \varepsilon_i}
\end{aligned}
$$

根据上面的一般关系式，我们有

$$
\begin{aligned}
& A \varepsilon_i=k_i \varepsilon_1+a_{2 i} \varepsilon_2+a_{3 i} \varepsilon_3+\cdots+a_{i i} \varepsilon_i \quad(i=2,3, \cdots, n) \\
& A \varepsilon_1=\lambda_0 \varepsilon_1 .
\end{aligned}
$$

于是 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵为如下上三角形：

$$
A=\left[\begin{array}{cccccc}
\lambda_0 & k_2 & k_3 & \cdots & \cdots & k_n \\
0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & \cdots & a_{2 n} \\
0 & 0 & a_{33} & \cdots & \cdots & a_{3 n} \\
0 & 0 & 0 & \ddots & & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n n}
\end{array}\right] .
$$

命题 4.8 是应用商空间来处理线性变换的一个良好范例，读者应当细心体会．

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