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同余式与剩余类

##  同余式

在第四章§2中我们又指出，研究线性空间的另一种重要方法是研究商空间．为了研究商空间，我们先要把线性空间 $V$ 中的向量按其子空间 $M$ 划分为同余类，即若 $\alpha-\beta \in M$ ，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 模 $M$ 同余，记做 $\beta \equiv \alpha(\bmod M)$ ．在 $\mathbb{Z}$ 中，理想大致相当于 $V$ 中子空间，因此，对 $\mathbb{Z}$ 中整数，我们可以按同样的办法，对其某个理想 $I$ 进行分类．

**定义** 设 $m$ 是一个正整数，若 $a, b \in \mathbb{Z}$ ，且 $b-a \in(m)$ ，亦即 $m \mid(b-a)$ ，则称 $b$ 与 $a$ 模 $m$ **同余**，记做 $b \equiv a(\bmod m)$ 。

在这里，由于一个理想由其生成元 $m$ 唯一决定，所以我们不必写 $b \equiv a(\bmod (m))$ ．若使用带余除法，设

$$
\begin{aligned}
& a=m q_1+r_1 \quad\left(0 \leqslant r_1<m\right), \\
& b=m q_2+r_2 \quad\left(0 \leqslant r_2<m\right),
\end{aligned}
$$

则 $b-a=m\left(q_2-q_1\right)+\left(r_2-r_1\right), m \mid(b-a)$ 等价于 $r_2=r_1$ 。故 $b, a$ 模 $m$同余就是它们用 $m$ 作带余除法所得余数相同．

整数模 $m$ 同余显然满足如下关系．

1）反身性：$a \equiv a(\bmod m)$ ；
2）对称性：若 $b \equiv a(\bmod m)$ ，则 $a \equiv b(\bmod m)$ ；
3）传递性：若 $a \equiv b(\bmod m), b \equiv c(\bmod m)$ ，则

$$
a \equiv c(\bmod m) .
$$

因此，整数模 $m$ 同余是一个等价关系， $\mathbb{Z}$ 关于这个等价关系划分为等价类，给定整数 $a$ ，所有与 $a$ 模 $m$ 同余的整数属一个类，称为**以 $a$ 为代表的同余类**．显然，这个同余类是

$$
a+(m)=\{a+k m \mid k \in \mathbb{Z}\}
$$

这里也有与线性空间模子空间 $M$ 的同余类相似的两条性质：

> 1）$b \in a+(m) \Longleftrightarrow b \equiv a(\bmod m) \Longleftrightarrow b+(m)=a+(m)$ ．

这是因为：$b \in a+(m) \Longleftrightarrow b=a+m k \Longleftrightarrow m \mid(b-a)$ ．又因为 $b+ (m) \subseteq a+(m) \Longleftrightarrow b \in a+(m) \Longleftrightarrow b \equiv a(\bmod m)$ ，同理，$a+(m) \subseteq b+ (m) \Longleftrightarrow a \equiv b(\bmod m)$ ，故 $b+(m)=a+(m) \Longleftrightarrow b \equiv a(\bmod m)$ ．

> 2) 若 $a+(m) \neq b+(m)$ ，则其交为空集．

因若 $c \in(a+(m)) \cap(b+(m))$ ，则由性质1）立知$a+(m)=c+(m)=b+(m) $

考查如下 $m$ 个互不相同的模 $m$ 同余类：

$$
0+(m), 1+(m), 2+(m), \cdots, m-1+(m) .
$$

任给 $a \in \mathbb{Z}$ ，设 $a=m q+r(0 \leqslant r<m)$ ，即 $a \equiv r(\bmod m)$ ，于是 $a+(m) =r+(m)$（见上面性质1））。因此，一共有

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【初中数学】同余【初中数学】剩余类及其运算

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