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同余式与剩余类

##  同余式

在第四章§2中我们又指出，研究线性空间的另一种重要方法是研究商空间．为了研究商空间，我们先要把线性空间 $V$ 中的向量按其子空间 $M$ 划分为同余类，即若 $\alpha-\beta \in M$ ，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 模 $M$ 同余，记做 $\beta \equiv \alpha(\bmod M)$ ．在 $\mathbb{Z}$ 中，理想大致相当于 $V$ 中子空间，因此，对 $\mathbb{Z}$ 中整数，我们可以按同样的办法，对其某个理想 $I$ 进行分类．

**定义** 设 $m$ 是一个正整数，若 $a, b \in \mathbb{Z}$ ，且 $b-a \in(m)$ ，亦即 $m \mid(b-a)$ ，则称 $b$ 与 $a$ 模 $m$ **同余**，记做 $b \equiv a(\bmod m)$ 。

在这里，由于一个理想由其生成元 $m$ 唯一决定，所以我们不必写 $b \equiv a(\bmod (m))$ ．若使用带余除法，设

$$
\begin{aligned}
& a=m q_1+r_1 \quad\left(0 \leqslant r_1<m\right), \\
& b=m q_2+r_2 \quad\left(0 \leqslant r_2<m\right),
\end{aligned}
$$

则 $b-a=m\left(q_2-q_1\right)+\left(r_2-r_1\right), m \mid(b-a)$ 等价于 $r_2=r_1$ 。故 $b, a$ 模 $m$同余就是它们用 $m$ 作带余除法所得余数相同．

整数模 $m$ 同余显然满足如下关系．

1）反身性：$a \equiv a(\bmod m)$ ；
2）对称性：若 $b \equiv a(\bmod m)$ ，则 $a \equiv b(\bmod m)$ ；
3）传递性：若 $a \equiv b(\bmod m), b \equiv c(\bmod m)$ ，则

$$
a \equiv c(\bmod m) .
$$

因此，整数模 $m$ 同余是一个等价关系， $\mathbb{Z}$ 关于这个等价关系划分为等价类，给定整数 $a$ ，所有与 $a$ 模 $m$ 同余的整数属一个类，称为**以 $a$ 为代表的同余类**．显然，这个同余类是

$$
a+(m)=\{a+k m \mid k \in \mathbb{Z}\}
$$

这里也有与线性空间模子空间 $M$ 的同余类相似的两条性质：

> 1）$b \in a+(m) \Longleftrightarrow b \equiv a(\bmod m) \Longleftrightarrow b+(m)=a+(m)$ ．

这是因为：$b \in a+(m) \Longleftrightarrow b=a+m k \Longleftrightarrow m \mid(b-a)$ ．又因为 $b+ (m) \subseteq a+(m) \Longleftrightarrow b \in a+(m) \Longleftrightarrow b \equiv a(\bmod m)$ ，同理，$a+(m) \subseteq b+ (m) \Longleftrightarrow a \equiv b(\bmod m)$ ，故 $b+(m)=a+(m) \Longleftrightarrow b \equiv a(\bmod m)$ ．

> 2) 若 $a+(m) \neq b+(m)$ ，则其交为空集．

因若 $c \in(a+(m)) \cap(b+(m))$ ，则由性质1）立知$a+(m)=c+(m)=b+(m) $

考查如下 $m$ 个互不相同的模 $m$ 同余类：

$$
0+(m), 1+(m), 2+(m), \cdots, m-1+(m) .
$$

任给 $a \in \mathbb{Z}$ ，设 $a=m q+r(0 \leqslant r<m)$ ，即 $a \equiv r(\bmod m)$ ，于是 $a+(m) =r+(m)$（见上面性质1））。因此，一共有 $m$ 个互不相同的模 $m$ 剩余类。我们把 $r+(m)$ 简记为 $\bar{r}$ ，则上述 $m$ 个剩余类为

$$
\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{m-1} .
$$

## 同余类的性质 
**命题2.1** 设 $m$ 为正整数．下面命题成立：
（i）若 $b_1 \equiv a_1(\bmod m), b_2 \equiv a_2(\bmod m)$ ，则

$$
\begin{aligned}
& b_1+b_2 \equiv a_1+a_2(\bmod m) \\
& b_1-b_2 \equiv a_1-a_2(\bmod m) \\
& b_1 b_2 \equiv a_1 a_2(\bmod m)
\end{aligned}
$$

（ii）若 $a c \equiv b d(\bmod m), c \equiv d(\bmod m)$ ，且 $(m, c)=1$ ，则 $a \equiv b(\bmod m)$

证（i）现在 $b_1=a_1+k_1 m, b_2=a_2+k_2 m$ ，则 $b_1 \pm b_2=a_1 \pm a_2 +\left(k_1 \pm k_2\right) m, b_1 b_2=a_1 a_2+\left(a_1 k_2+a_2 k_1+k_1 k_2 m\right) m$ 。故命题成立。
（ii）现在 $a c=b d+k m, c=d+k_1 m$ ，故

$$
\begin{aligned}
(a-b) c & =a c-b c=a c-b\left(d+k_1 m\right) \\
& =a c-b d-b k_1 m=k m-b k_1 m \\
& =\left(k-b k_1\right) m
\end{aligned}
$$

于是 $m \mid c(a-b)$ ．但 $(m, c)=1$ ．由命题 1.3 的推论 $3, m \mid(a-b)$ ，即

$$
a \equiv b(\bmod m) .
$$

## 剩余类的运算
在研究线性空间 $V$ 对子空间 $M$ 的商空间时，我们在模 $M$ 的剩余类间定义加法与数乘．现在对 $\mathbb{Z}$ 内的模 $m$ 剩余类，我们也类似地
定义其运算．
1）加法：$(a+(m))+(b+(m))=a+b+(m)$ ；
2）乘法：$(a+(m))(b+(m))=a b+(m)$ ．
现在我们也需要验证这定义在逻辑上无矛盾．设 $a+(m)=a^{\prime} +(m), b+(m)=b^{\prime}+(m)$ ，则

$$
a \equiv a^{\prime}(\bmod m), \quad b \equiv b^{\prime}(\bmod m) .
$$

按命题2．1，有 $a+b \equiv a^{\prime}+b^{\prime}(\bmod m), a b \equiv a^{\prime} b^{\prime}(\bmod m)$ 。这表明 $a^{\prime}+b^{\prime}+(m)=a+b+(m), a^{\prime} b^{\prime}+(m)=a b+(m)$ 。故上面定义在逻辑上无矛盾．

上面定义的运算显然满足如下运算法则：
1）加法有结合律，即 $(a+(m))+(b+(m)+c+(m))= (a+(m)+b+(m))+(c+(m)) ;$

2）加法有交换律，即 $(a+(m))+(b+(m))=(b+(m)) +(a+(m))$ ；

3）加法有零元素，即 $(0+(m))+(a+(m))=a+(m)$ ；
4）$a+(m)$ 有负元素，即 $(-a+(m))+(a+(m))=0+(m)$ ；
5）乘法满足结合律，即 $[(a+(m))(b+(m))](c+(m))= (a+(m))[(b+(m))(c+m))]$ ；

6）加法与乘法满足分配律，即
$$
\begin{aligned}
& (a+(m))[(b+(m))+(c+(m))] \\
& \quad=(a+(m))(b+(m))+(a+(m))(c+(m))
\end{aligned}
$$

7）乘法满足交换律，即

$$
(a+(m))(b+(m))=(b+(m))(a+(m)) ;
$$

$8)$ 乘法有单位元素，即 $(1+(m))(a+(m))=a+(m)$ ．

## 本章解读
### 同余式

想象一下我们在看时钟（12小时制）。  
如果现在是 3 点，那么 **15 点** 和 **3 点** 在钟表上指针的位置是一样的。  
我们不会说 15 = 3，但我们会说 **15 和 3 在模 12 下是“一样”的**。
这就是同余式的核心：**两个整数除以同一个数（模）后，余数相同**。

#### 生活中的例子

**例 A：星期几的计算**

- 今天是星期六。  
- 问：8 天后是星期几？

算法：星期六 + (8 天)  
一个星期 7 天，8 ÷ 7 余 1。  
所以 8 天后 = 星期六 + 1 天 = 星期日。

这里你其实用了同余式：  
8 ≡ 1 (mod 7)  
意思是“在模 7 的世界里，8 和 1 是等价的”，因为它们在除以 7 时的余数都是 1。

**例 B：奇数和偶数**

- 偶数：除以 2 余 0  
- 奇数：除以 2 余 1

所有偶数彼此同余（模 2），所有奇数彼此同余（模 2）。  
写成式子：  
14 ≡ 8 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2)  
15 ≡ 9 ≡ 3 ≡ 1 (mod 2)

> **所以“同余”就是把一堆余数相同的数看成同一类。即 在某个整除的视角下，两个数可以看作是同一个数**

#### 为什么有用？

- **简化计算**  
  要算 $1234 \times 5678 $ 除以 9 的余数，不必真的乘出来，可以分别求 1234 和 5678 模 9 的余数，再相乘求余。  
  因为 1234 ≡ 1 (mod 9)，5678 ≡ 8 (mod 9)，所以乘积 ≡ 1 × 8 = 8 (mod 9)。

- **分类数字**  
  模 3 时，所有整数只能余 0、1、2，分成三类。  
  很多数学证明就是利用这种分类（比如证明一个方程无整数解）。

### 剩余类

#### 核心思想：按“余数”给整数分组

想象一下，你有一堆整数（… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …），现在你要根据它们**除以 5 的余数**来分组。

- **余数为 0** 的组：{…, -10, -5, **0**, 5, 10, 15, …}
- **余数为 1** 的组：{…, -9, -4, **1**, 6, 11, 16, …}
- **余数为 2** 的组：{…, -8, -3, **2**, 7, 12, 17, …}
- **余数为 3** 的组：{…, -7, -2, **3**, 8, 13, 18, …}
- **余数为 4** 的组：{…, -6, -1, **4**, 9, 14, 19, …}

这里的**每一组，就叫做一个“剩余类”**（模 5 的剩余类）。

####  更生动的比喻：**“无限停车场”**

把整数想象成一个无限长的停车场，车位编号是 …, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

现在管理员决定，按 **“除以 5 的余数”** 来划分停车区：

- **A 区**（余数 0）：车位 …, -5, 0, 5, 10, …
- **B 区**（余数 1）：车位 …, -4, 1, 6, 11, …
- **C 区**（余数 2）：车位 …, -3, 2, 7, 12, …
- **D 区**（余数 3）：车位 …, -2, 3, 8, 13, …
- **E 区**（余数 4）：车位 …, -1, 4, 9, 14, …

每个区就是一个**剩余类**。  
不管你停在哪一个车位（比如 1 号位或 6 号位），只要它在 B 区，它们就是“等价”的。

#### 数学符号

在数学上，我们用方括号表示一个剩余类：

- [0] 表示所有除以 5 余 0 的整数（A 区）
- [1] 表示所有除以 5 余 1 的整数（B 区）
- …
- [4] 表示所有除以 5 余 4 的整数（E 区）

注意：**[1] 这个类，代表元是 1，但其实也包含 6, 11, -4, …**  
所以 [1] = [6] = [11]，它们是同一个剩余类。

#### 为什么叫“类”？

因为这是**等价类**——把所有整数按“除以 m 的余数相同”这一等价关系，分成了 m 个类别。  
模 5 → 5 个类  
模 n → n 个类

#### 完全剩余系：从每个类里选一个代表

还是停车场的例子：  
A、B、C、D、E 这 5 个区，每个区派一个代表车位来开会。  
最常见的代表选择是：**0, 1, 2, 3, 4**（最小非负代表）。  
这个代表集合 {0,1,2,3,4} 就叫做模 5 的一个**完全剩余系**。

你也可以选 {-2, -1, 0, 1, 2} 或其他，只要覆盖全部 5 个类就行。

#### 有什么用？

- **简化问题**  
  研究整除性、解方程时，我们不用看所有整数，只看这 n 个剩余类就行，大大简化。

- **抽象运算**  
  可以在剩余类之间定义加法、乘法：  
  [2] + [4] = [6] = [1] （模 5）  
  就像“2 点 + 4 小时 = 6 点”，在 12 小时制里就是 6 点，但在 5 小时制里相当于 1。

总之，

> **剩余类就是把所有整数，按除以 m 的余数分成 m 个小组，每个小组里的数在“模 m 意义下”都看成一样的。**

其他版本
【初中数学】同余【初中数学】剩余类及其运算

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