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黑体辐射实验及普朗克量子假说

> 从16世纪到19世纪末，经典物理学的发展逐渐完备，形成了庞大的知识体系，成为人类文明进步的重大里程碑. 对于许多物理学家来说，经典物理学已可以解决人类面对的几乎所有问题. 与此同时，随着科学技术的不断发展，实验越来越精确，越来越深入，经典物理学的局限性也逐渐暴露出来. 到了20世纪初，经典物理学理论与实验的矛盾日渐凸显，预示着物理学伟大革命的到来.  本章系统阐述旧量子论的基本思想、方法及内容，包括黑体辐射实验及普朗克量子假说、光电效应实验及爱因斯坦光子假说、氢光谱及玻尔原子模型等. 其中，光电效应、光谱分析、碱金属原子光谱、X射线衍射及能谱等物理原理已在许多领域得到广泛应用.

## 黑体辐射实验及普朗克量子假说
19 世纪末，有关黑体辐射的实验结果与经典物理学理论预测值严重矛盾，为了解释实验结果，德国物理学家普朗克（M．Planck）提出了黑体辐射量子假说，拉开了 20 世纪物理学革命的序幕。

在物理学领域，**黑体（或绝对黑体）是指对任何波长的人射电磁波均吸收而无反射的物体**．这是一个理想的物理模型，就像经典物理学中假设的质点、刚体、理想气体等物理模型一样，是一种近似．实验上，开有小孔的空腔就是黑体的一个很好的实验模型，因为空腔所开的小孔很小，任何波长的电磁波一旦入射，再被反射出来的可能性极小，如图1．1所示。

![图片](/uploads/2025-11/91e52b.jpg)

此外，如太阳、高温炉等也可近似被认为是黑体，因为电磁波辐射至它们的表面，被反射回来的部分很小。因此，黑体并不一定是黑的，**黑体虽无反射，但可辐射**．事实上，所有物体（包括黑体）均向外辐射电磁波，只是波长和强度不同而已。

按经典统计物理和电磁场理论，在热平衡下，空腔内的辐射场以驻波形式存在．单位体积内，频率 $v \sim \mathrm{~d} v+v$ 之间的驻波数为

$$
N(v) \mathrm{d} v=\dfrac{8 \pi v^2}{c^3} \mathrm{~d} v ...(1.1)
$$

> 说明：驻波（standing wave）是两列频率、波长、振幅与波速均相同的相干波沿相反方向传播叠加干涉形成的合成波，其波形 “驻立不动”，无能量定向传播，仅在波节与波腹间进行动能与势能的周期性交换。 
 
 
 又根据经典统计力学，每一驻波的平均能量为

$$
\bar{\varepsilon}=\dfrac{\int_0^{\infty} \varepsilon \mathrm{e}^{-\varepsilon /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)} \mathrm{d} \varepsilon}{\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-\varepsilon /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)} \mathrm{d} \varepsilon}=k_{\mathrm{B}} T ...(1.2)
$$

于是得到频率在 $v \sim \mathrm{~d} v+v$ 之间的辐射能量密度为

$$
u(v, T) \mathrm{d} v=\dfrac{8 \pi k_{\mathrm{B}} T}{c^3} v^2 \mathrm{~d} v ...(1.3)
$$

其中，$c$ 为光速，$T$ 为黑体的绝对温度，$k_{\mathrm{B}}$ 为玻尔兹曼常量．式（1．3）即由经典物理学求得的黑体辐射公式，称为**瑞利-金斯公式**（R－J 公式）．在低频时，该公式与实验符合得很好，但在高频时，$u(v, T) \propto v^2$ ，与实验严重不符，如图1．2中虚线所示，故称之为＂紫外灾难＂。

![图片](/uploads/2025-11/4425ba.jpg)
 
## 黑体辐射假说
为了解释实验结果，1900年，普朗克提出了著名的黑体辐射量子假说：电磁辐射的能量交换只能是量子化的，即 $\varepsilon_n=n h v, n=1,2,3, \cdots$ ，其中 $h= 6.63 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}$ ，称之为**普朗克常量**．

![图片](/uploads/2026-02/fff461.jpg){width=200px}
 普朗克 德国物理学家

这一假说认为：电磁辐射的能量交换只能是 $\varepsilon_0=h \nu$ 的整数倍．

于是，辐射能量交换从连续变化到量子化，式（1．2）应改成

$$
\bar{\varepsilon}=\dfrac{\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon_n \mathrm{e}^{-\varepsilon_n /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}}{\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\varepsilon_n /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}}=\dfrac{h v}{\mathrm{e}^{h v /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1} ...(1.4)
$$

从而得普朗克公式

$$
u(v, T) \mathrm{d} v=\dfrac{8 \pi v^2}{c^3} \dfrac{h v}{\mathrm{e}^{h v /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1} \mathrm{~d} v ...(1.5)
$$

当低频且高温时，$h v \ll k_{\mathrm{B}} T, \mathrm{e}^{h v /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}=1+\dfrac{h v}{k_{\mathrm{B}} T}+\cdots$ ，式（1．5）化为

$$
u(v, T) \mathrm{d} v \approx \dfrac{8 \pi v^2}{c^3} k_{\mathrm{B}} T \mathrm{~d} v  ...(1.6)
$$

所以，当在低频且高温时，式（1．5）化为 R－J 公式，也与实验值完全符合；但在高频且低温时，只有式（1．5）与实验完全符合，圆满解决了＂紫外灾难＂难题。此外，尽管普朗克的量子假说只是一种＂猜测＂，但其意义重大而深远：**首先是历史上第一次提出了电磁辐射能量量子化的概念；其次是引进了重要常量 $h$** ．

当然，作为一个正确的理论，它还应该能够解释其他相关实验。根据公式 （1．5），温度为 $T$ 的黑体，单位时间内，单位表面积向前半球空间发射各种频率的热辐射（电磁波）的总能量，即总辐射本领 $R$ 应该为

$$
R=\int_0^{\infty} u(v, T) \mathrm{d} v=\frac{8 \pi h}{c^3} \int_0^{\infty} \frac{v^3 \mathrm{~d} v}{\mathrm{e}^{h v /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1}
$$

令 $x=h v /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)$ ，于是

$$
R=\frac{8 \pi h}{c^3}\left(\frac{k_{\mathrm{B}} T}{h}\right)^4 \int \frac{\left(\frac{h v}{k_{\mathrm{B}} T}\right)^3 \mathrm{~d}\left(\frac{h v}{k_{\mathrm{B}} T}\right)}{\mathrm{e}^{h v /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1}=\frac{8 \pi h}{c^3}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}}{h}\right)^4 \cdot T^4 \int_0^{\infty} \frac{x^3 \mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^x-1}=\frac{4}{c} \sigma T^4 ...(1.7)
$$

其中常数 $\sigma=5.67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{~K}^4\right)$ ．式（1.7）与著名的**斯特藩－玻尔兹曼实验**定律完美符合。

此外，在图1.2中，为求辐射能量密度极大值所对应的频率 $v_{\mathrm{m}}$ ，对式（1.5）求导数，令 $\frac{\mathrm{d} u(v, T)}{\mathrm{d} v}=0$ 得

$$
3 v^2\left[\mathrm{e}^{h v /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1\right]-v^3 \frac{h}{k_{\mathrm{B}} T} \mathrm{e}^{h v /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}=0
$$

即

$$
x=3\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)
$$

当 $x$ 较大，即 $h v \gg k_{\mathrm{B}} T$ 时，忽略上式括弧中第2项，得 $x \approx 3$ ，即 $\frac{h v_{\mathrm{m}}}{k_{\mathrm{B}} T}=3$ ，即

$$
v_{\mathrm{m}} \propto T ...(1.8)
$$

式（1.8）即**维恩位移律**：**辐射能量密度最大值所对应频率 $v_{\mathrm{m}}$ 与 $T$ 成正比**．或者写成另一种形式：$\lambda_{\mathrm{m}} T=$ 常数，即辐射能量密度极大值所对应的波长 $\lambda_{\mathrm{m}}$ 与温度 $T$ 的乘积为常量．

维恩位移律的另一种证明方法：利用公式 $v=\frac{c}{\lambda}, \mathrm{~d} v=-\frac{c}{\lambda^2} \mathrm{~d} \lambda$ ，代人式（1．5），将其转换成波长 $\lambda$ 的函数，然后直接对 $\lambda$ 求导数并令其等于零，同样可得到式（1．8）．

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