最后更新: 2025-10-18 08:48 查看: 32 次纠错评论(0) 课件开VIP

有理分式分解为准素分式

## 有理分式分解为准素分式
设在分式 $f(x) / g(x)$ 中， $\operatorname{deg} f(x) \geqslant \operatorname{deg} g(x)$ ，作带余除法： $f(x)=h(x) g(x)+r(x), r(x)=0$ 或 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} g(x)$ ．若 $r(x) =0$ ，则 $f(x) / g(x)=h(x) \in K[x]$ ．若 $r(x) \neq 0$ ，则

$$
f(x) / g(x)=h(x)+r(x) / g(x) .
$$

于是 $f / g$ 分解成一个多项式 $h(x)$ 和一个真分式 $r / g$ 之和。下面我们来讨论如何将真分式进一步分解。

### I．分母不可约因子的分解
将 $r(x) / g(x)$ 的分子分母同乘一个非零常数，分式没有改变，但可将分母变为首一多项式。为简单起见，下面我们直接假定 $g(x)$ 为 $K[x]$ 内的首一多项式．设它的素因式标准分解式为

$$
g(x)=p_1(x)^{k_1} p_2(x)^{k_2 \cdots p_r(x)^{k_r}} \quad(r \geqslant 2) .
$$

命 $q(x)=p_2(x)^{k_2} \cdots p_r(x)^{k_r}$ ，显然有 $\left(p_1(x)^{k_1}, q(x)\right)=1$ ，于是存在 $\bar{u}(x), \bar{v}_1(x) \in K[x]$ ，使

$$
\bar{u}(x) p_1(x)^{k_1}+\bar{v}_1(x) q(x)=1 .
$$

两边同乘 $r(x)$ ，得

$$
r(x)=r(x) \bar{u}(x) p_1(x)^{k_1}+r(x) \bar{v}_1(x) q(x),
$$

作带余除法：

$$
r(x) \bar{u}(x)=q_1(x) q(x)+u(x),
$$

其中 $u(x)=0$ 或 $\operatorname{deg} u<\operatorname{deg} q$ ．代入（1）式，整理之后，得

$$
r(x)=u(x) p_1(x)^{k_1}+v_1(x) q(x)
$$

因为 $u(x)$ 的次数 $<q(x)$ 的次数（如果 $u \neq 0), r(x)$ 的次数 $<g(x)$ 的次数，从（2）式可知 $\operatorname{deg} v_1(x)<\operatorname{deg} p_1(x)^{k_1}$ ．此时

$$
\begin{aligned}
r(x) / g(x) & =\left[u p_1^{k_1}+v_1 q\right] / p_1^{k_1} q \\
& =u(x) / q(x)+v_1(x) / p_1(x)^{k_1}
\end{aligned}
$$

上式右端是两个真分式之和．其中一个的分母已变成不可约多项式的方幂。如果 $q(x)$ 不是某个不可约多项式的方幂，则按照上面的办法对它再作分解．经过有限步之后，可得

$$
r(x) / g(x)=v_1(x) / p_1(x)^{k_1}+v_2(x) / p_2(x)^{k_2}
$$

其中

$$
\begin{aligned}
& +\cdots+v_r(x) / p_r(x)^{k_r} \\
\operatorname{deg} v_i(x) & <\operatorname{deg} p_i(x)^{k_i}(i=1,2, \cdots, r) .
\end{aligned}
$$

### II．分母的进一步分解
现在设 $p(x)$ 是 $K[x]$ 内一个首一不可约多项式，$k$ 是一个正整数，$v(x) \in K[x], \operatorname{deg} v(x)<\operatorname{deg} p(x)^k$ 。我们来对真分式 $v(x) / p(x)^k$ 作分解．

以 $p(x)^{k-1}$ 除 $v(x)$ ，再以 $p(x)^{k-2}$ 除所得的余式，这种作法继续下去，得到如下一串等式：

$$
\begin{gathered}
v(x)=q_1(x) p(x)^{k-1}+v_1(x) \\
v_1(x)=q_2(x) p(x)^{k-2}+v_2(x) \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
v_{k-2}(x)=q_{k-1}(x) p(x)+v_{k-1}(x)
\end{gathered}
$$

比较两边次数知 $\operatorname{deg} q_i(x)<\operatorname{deg} p(x), \operatorname{deg} v_{k-1}(x)<\operatorname{deg} p(x)$ ．现在

$$
\begin{aligned}
v(x)= & q_1(x) p(x)^{k-1}+q_2(x) p(x)^{k-2} \\
& +\cdots+q_{k-1}(x) p(x)+v_{k-1}(x),
\end{aligned}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
v(x) / p(x)^k= & q_1(x) / p(x)+q_2(x) / p(x)^2 \\
& +\cdots+q_{k-1}(x) / p(x)^{k-1}+\frac{v_{k-1}(x)}{p(x)^k} .
\end{aligned}
$$

上式右端各分式的分子次数均小于 $\operatorname{deg} p(x)$（但可能有某些 $q_i(x)$ 等于零或 $\left.v_{k-1}(x)=0\right)$ ．

在 $K(x)$ 内的一个分式 $q(x) / p(x)^k$ ，如果其中 $p(x)$ 是首一不可约多项式，而 $\operatorname{deg} q(x)<\operatorname{deg} p(x)$ ，则称之为**准素分式**．综合上面的讨论，我们得到如下的结论．

**命题4.1** $K(x)$ 内任一分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和．
$\mathbb{C}(x)$ 内的准素分式应为 $b /(x-a)^k(a, b \in \mathbb{C})$ 。将命题4．1应用于 $\mathbb{C}(x)$ ，可知 $\mathbb{C}(x)$ 内任一真分式 $r(x) / g(x)$ 可分解为

$$
r(x) / g(x)=\sum_{i=1}^r \sum_{k_i=1}^{n_i} \frac{b_{i k_i}}{\left(x-a_i\right)^{k_i}} \quad\left(a_i, b_{i k_i} \in \mathbb{C}\right),
$$

其中设
$$
g(x)=\left(x-a_1\right)^{n_1}\left(x-a_2\right)^{n_2} \cdots\left(x-a_r\right)^{n_r} .
$$

$\mathbb{R}(x)$ 内的准素分式有下列两种类型：

$$
b /(x-a)^k, \quad(\bar{a} x+\bar{b}) /\left(x^2+p x+q\right)^l,
$$

其中 $a, b, \bar{a}, \bar{b}, p, q \in \mathbb{R}$ ，且 $p^2-4 q<0$ 。如将命题 4.1 应用到 $\mathbb{R}(x)$中来，就可以获得数学分析中计算有理分式的不定积分时所需要的准素分式的分解式．

`例4.1` 在实数域内将下列有理分式分解为准素分式之和：

$$
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2 x^4-10 x^3+7 x^2+4 x+3}{x^5-2 x^3+2 x^2-3 x+2} .
$$

解 首先要对分母进行因式分解．利用第一章 § 2关于整系数代数方程有理根的知识，知分母有两个整根 $-2,1$ ，故可被 $(x+2)(x -1)$ 整除，利用§ 1 介绍的除法格式可算出分母除 $(x+2)(x-1)$ 后的商（为一三次多项式），再将所得的商分解，有

$$
\begin{aligned}
g(x) & =x^5-2 x^3+2 x^2-3 x+2 \\
& =(x+2)(x-1)^2\left(x^2+1\right) .
\end{aligned}
$$

按命题 4．1，在 $\mathbb{R}[x]$ 内应有分解式

$$
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{c}{x-1}+\frac{d x+e}{x^2+1}
$$
其中 $a, b, c, d, e$ 是待定的实数．从上式得出

$$
\begin{aligned}
f(x)= & a(x-1)^2\left(x^2+1\right)+b(x+2)\left(x^2+1\right) \\
& +c(x+2)(x-1)\left(x^2+1\right)+d x(x+2)(x-1)^2 \\
& +e(x+2)(x-1)^2
\end{aligned}
$$

如果把上式展开，比较两边 $x$ 同次方的系数，得到 $a, b, c, d, e$ 的 5 个线性方程，解此方程组可得出 $a, b, c, d, e$ 的值．这种方法称为待定系数法。

但我们可以用另一个较简单的办法来处理这个问题。
在（3）式中令 $x=-2$ 得 $a=3$ 。再在（3）式中令 $x=1$ 得 $b=1$ 。然后，在（3）中分别令 $x=0$ 和 $x=-1$ 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
-2 c+2 e=-2 \\
-4 c-4 d+4 e=-8
\end{array}\right.
$$

由此得 $d=1$ ．最后，在（3）中令 $x=2$ 得
$$
\begin{aligned}
&20 c+4 e=-52 .\\
&\text { 把这些方程联立解得 } c=-2, e=-3 \text { ．故 }\\
&\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{3}{x+2}+\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{2}{x-1}+\frac{x-3}{x^2+1} .
\end{aligned}
$$

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