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群、环和域的基本概念

## 群、环和域的基本概念

前面几章，我们学习了线性空间，有理整数环和一元多项式环的基本理论，对代数学的研究对象和基本思想、基本方法有了初步的了解。现在我们要从理论上作一个简单的总结，使我们的认识上升到更高的层次．

在代数学理论中，如果一个集合具有一种或几种代数运算，并满足若干运算法则，则称为一个**代数系统**．在两个代数系统 $A, B$ 中，如果存在 $A$ 到 $B$ 的一个映射 $\varphi: A \rightarrow B$ ，且 $\varphi$ 保持这两个代数系统之中几种运算之间的对应关系，则称 $\varphi$ 为两个代数系统 $A, B$ 之间的**态射**．代数学的研究对象就是各类代数系统和它们之间的态射．前面几章我们研究各种线性空间和它们之间的线性映射，就是代数学的这一基本研究课题的一个重要体现。它们是把自然科学和工程技术中大量的感性材料经过加工，提升为深刻的数学理论，从而为处理各种理论和实际问题提供了强有力的工具．

现在，我们把在数学理论以及自然科学、工程技术中有广泛应用的几类重要代数系统作一简单的介绍．

## 1．群的基本概念
我们首先介绍最基本的一类代数系统：群．但在阐述群的定义之前，我们需要一点准备知识．设 $A, B$ 是两个非空集合，利用它们定义一个新集合：

$$
A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\} .
$$

这个新集合称为 $A$ 与 $B$ 的**笛卡儿乘积**．
对一个非空集合 $A$ ，从 $A \times A$ 到 $A$ 的一个映射 $f$ 就称为集合 $A$内的一种**代数运算**。

例如，取集合 $A$ 为全体整数所成的集合 $\mathbb{Z}$ 。定义映射

$$
\begin{aligned}
\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z}, \\
(a, b) & \mapsto a+b .
\end{aligned}
$$

它是 $\mathbb{Z}$ 内的一种代数运算，是我们熟知的整数加法运算．又定义映射

$$
\begin{aligned}
\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z}, \\
(a, b) & \mapsto a b .
\end{aligned}
$$

这也是 $\mathbb{Z}$ 内的一种代数运算，是我们熟知的整数乘法运算．如果定义映射

$$
\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z},
$$
$$
(a, b) \mapsto a+b+a b .
$$

那么它是 $\mathbb{Z}$ 内一种新的代数运算，我们以前未曾见过。
由上述例子可以看出，一个非空集合内可以有许多不同的办法定义其代数运算．对于一门科学来说，它要研究的代数运算必需是有实际背景的，这样对它的研究才有实际意义。所以，我们研究一个集合内的代数运算，也要求它满足一定的条件。这些条件，就是它们所应满足的各种运算法则。

**定义** 设 $G$ 是一个非空集合，在 $G$ 内定义了一种代数运算，称为乘法，即定义了映射

$$
\begin{aligned}
G \times G & \rightarrow G, \\
(a, b) & \mapsto a b,
\end{aligned}
$$

且此乘法满足如下运算法则：
1）满足结合律，即对任意 $a, b, c \in G$ ，有 $a(b c)=(a b) c$ ；
2）$G$ 内存在一个元素 $e$ ，使对一切 $a \in G$ ，都有 $e a=a$ ；
3）对 $G$ 内任一元素 $a$ ，存在 $b \in G$ ，使 $b a=e$ ，则 $G$ 称为一个**群**．

由于群的乘法是抽象地定义的，所以关于它的一些基本属性必须从逻辑上给出严格的证明，这主要是下面几条性质．

**性质1** 对 $a, b \in G$ ，若 $b a=e$ ，则 $a b=e$ 。
证 我们有 $c \in G$ ，使 $c b=e$ ，于是
$$
\begin{aligned}
a b & =e(a b)=(c b)(a b)=[c(b a)] b \\
& =c(e b)=c b=e .
\end{aligned}
$$

**性质2** 对任意 $a \in G$ ，有 $a e=a$ 。
证 因为存在 $b \in G$ ，使 $b a=e$ ，按上面推理知此时也有 $a b=e$ ，于是

$$
a e=a(b a)=(a b) a=e a=a
$$

**性质3** $G$ 内具有定义中条件2）的元素 $e$ 是唯一的。
证 设又有 $e^{\prime} \in G$ 也满足定义中条件 2），则由上面的性质 2 ，有 $e^{\prime}=e^{\prime} e=e$ ．
$G$ 内这个唯一元素 $e$ 今后将称为群 $G$ 的**单位元素**．

**性质4** 对任意 $a \in G, G$ 内满足 $b a=e$ 的元素 $b$ 是唯一的．
证 设又有 $b^{\prime} \in G$ ，使 $b^{\prime} a=e$ ，那么按性质 1，此时又有 $a b^{\prime}=e$ ，故

$$
b^{\prime}=e b^{\prime}=(b a) b^{\prime}=b\left(a b^{\prime}\right)=b e=b
$$

$G$ 内满足 $b a=e$ 的这个唯一元素 $b$ 称为 $a$ 的逆元素，记做 $a^{-1}$ ．显然，此时 $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$ ，对任意 $b_1 \in G$ 有 $\left(a b_1\right)^{-1}=b_1^{-1} a^{-1}$ 。

如果 $G$ 的乘法又满足交换律，即对任意的 $a, b \in G$ ，有 $a b=b a$ ，则 $G$ 称为**交换群**或 **Abel群**．交换群中的代数运算有时又称为加法，记做 $a+b$ ，此时单位元素改称零元素，记做 0 ，一个元素 $a$ 的逆元素改称 $a$ 的**负元素**，记做 $-a, a+(-b)$ 记做 $a-b$ ，称为交换群内的**减法运算**．

设 $G$ 是一个群，如果 $G$ 中仅包含有限多个元素，则称它是一个**有限群**，否则称为**无限群**．对一个有限群 $G$ ，其元素的个数称为 $G$ 的阶，记做 $|G|$ 。

对群 $G$ 的任一元素 $a$ ，定义 $a^0=e$ ，对正整数 $k$ ，定义

$$
a^k=\underset{a a^{\cdots} \cdots a}{k \text { 个 }}, \quad a^{-k}=\overbrace{a^{-1} a^{-1} \cdots a^{-1}}^{k \text { 个 }}=\left(a^k\right)^{-1} .
$$

此时，对任意整数 $m, n$ ，有

$$
a^m a^n=a^{m+n}, \quad\left(a^m\right)^n=a^{m n}
$$
如果 $G$ 是交换群且其代数运算用加法表示，则有

$$
\begin{gathered}
0 a=0, \quad k a=\overbrace{a+a+\cdots+a}^{k \text { 个 }}, \\
(-k) a=\overbrace{(-a)+(-a)+\cdots+(-a)}^{k \text { 个 }}=-(k a)=k(-a) .
\end{gathered}
$$

此时又有

$$
\begin{gathered}
(m a)+(n a)=(m+n) a, \quad n(m a)=(n m) a \\
n(a+b)=n a+n b
\end{gathered}
$$

显然，一个线性空间关于其向量加法是一个交换群。线性空间可以认为是在一个交换群上添加数乘运算得出的代数系统。下面，我们再介绍群的一些浅显的实例，帮助读者理解上述抽象的群定义。

`例5.1` 考查全体整数所成的集合 $\mathbb{Z}$ ，其代数运算定义为整数加法，则 $\mathbb{Z}$ 关于此代数运算成为一个交换群，它是一个无限群．
如果 $\mathbb{Z}$ 中的代数运算定义为整数的乘法，那么 $\mathbb{Z}$ 关于这样的代数运算不构成群．因为对绝对值大于 1 的整数 $k$ ，不存在 $l \in \mathbb{Z}$ ，使得 $k l=1$（注意 $\mathbb{Z}$ 中满足群定义中的条件 $e a=e$ 的元素只能是 $e=1$ ）．

`例5.2` 方程 $x^n=1$ 在复数域 $\mathbb{C}$ 内的全部根所成的集合

$$
U_n=\left\{\left.\mathrm{e}^{\frac{2 k \pi_i}{n}} \right\rvert\, k=0,1,2, \cdots, n-1\right\} .
$$

关于复数的乘法运算构成一个群，这是一个有限交换群，其阶为 $n$ ．

`例5.3`考查下列二阶复方阵

$$
E=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right], \quad I=\left[\begin{array}{rr}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right], \quad J=\left[\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right], \quad K=\left[\begin{array}{ll}
0 & \mathrm{i} \\
\mathrm{i} & 0
\end{array}\right],
$$

其中 i 为虚单位．易知有

$$
\begin{gathered}
I^2=J^2=K^2=-E \\
I J=-J I=K, \quad J K=-K J=I, \quad K I=-I K=J .
\end{gathered}
$$

因而集合 $H=\{ \pm E, \pm I, \pm J, \pm K\}$ 关于矩阵乘法构成一个群，它的单位元素为 $E$ ．这是非交换的有限群，其阶为 8 ．

`例5.4` 设实数域 $\mathbb{R}$ 上全体 $n$ 阶可逆方阵组成的集合记为 $G L_n(\mathbb{R})$ ，它关于矩阵乘法构成群，这是一个无限非交换群（当 $n \geqslant 2$时）．这个群称为 $\boldsymbol{n}$ 阶**全线性群**（或 $\boldsymbol{n}$ 阶全矩阵群）．

`例5.5`设实数域 $\mathbb{R}$ 上全体行列式为 1 的 $n$ 阶方阵所成的集合记为 $S L_n(\mathbb{R})$ ，它关于矩阵乘法也构成一个无限非交换群（当 $n \geqslant 2$时）．这个群称为 $\boldsymbol{n}$ 阶特殊线性群．

从第六章命题2．2，命题3．5以及命题4．3可知，$n$ 维欧氏空间中全体正交变换所成集合 $O(n)$ 关于线性变换乘法组成群，称为 $\boldsymbol{n}$ 阶正交群，$n$ 维酉空间中全体酉变换所成集合 $U(n)$ 关于线性变换乘法组成群，称为 $\boldsymbol{n}$ 阶酉群，四维时空空间内全体洛伦兹变换所成集合关于线性变换乘法也组成群，称为**洛伦兹群**．

上面介绍了群的一些重要例子。关于群的进一步的知识，将在抽象代数课程中阐述。

## 2．环和域的基本概念
我们已经学习了有理整数环和一元多项式环的理论．读者一定
已经发现两者有许多共同或相似之处．首先，它们都具有两种代数运算：加法和乘法，而且关于加法运算都成为交换群，乘法都满足结合律和交换律，加法与乘法之间有分配律．很明显，如果从理论上提升一步，把它们的元素的具体背景（有理整数或一元多项式）抛弃，我们就得到更一般，同时又有更大代表性和应用领域的代数系统了。下面就来介绍这类代数系统的初步概念。

**定义** 设 $R$ 是一个非空集合，在其中定义了两种代数运算，第一种运算称为加法，记做 $a+b$ ；第二种运算称为乘法，记做 $a b$ ，而且满足下面几条运算法则：

1）$R$ 关于加法组成交换群；
2）乘法满足结合律：$a(b c)=(a b) c, \forall a, b, c \in R$ ；
3）加法和乘法之间存在左、右分配律：

$$
a(b+c)=a b+a c ; \quad(b+c) a=b a+c a .
$$

则 $R$ 称为一个**环**．

显然，有理整数环和一元多项式环以及第八章§3的模 $m$ 剩余类环都是环的实例。数域 $K$ 上的全体 $n$ 阶方阵所成的集合 $M_n(K)$ 关于矩阵加法和乘法也组成环，我们把它称为数域 $K$ 上的 $\boldsymbol{n}$ 阶全矩阵环。

下面再来举出环的几个重要例子．
`例5.6` 闭区间 $[a, b]$ 上全体实连续函数所组成的集合 $C[a, b]$关于函数的加法和乘法组成一个环。

`例5.7` 由有理数组成的无穷序列

$$
a_1, a_1, \cdots, a_n, \cdots \quad\left(a_i \in \mathbb{Q}\right)
$$

如果满足柯西条件，即任给 $\varepsilon>0$ ，都存在正数 $N$ ，使得当 $m, n>N$时，$\left|a_m-a_n\right|<\varepsilon$ ，则称之为**柯西序列**。一个柯西序列简记为 $\left\{a_n\right\}$ 。全体有理数柯西序列所成的集合记做 $C(\mathbb{Q})$ 。我们在其中定义加法和乘法如下：

$$
\left\{a_n\right\}+\left\{b_n\right\}=\left\{a_n+b_n\right\}, \quad\left\{a_n\right\}\left\{b_n\right\}=\left\{a_n b_n\right\}
$$

根据数学分析的知识可知，$C(\mathbb{Q})$ 对上述加法和乘法都是封闭的，环的几条公理显然满足，故 $C(\mathbb{Q})$ 关于上述加法和乘法运算组成一个环。
一个环 $R$ 关于其加法运算成一交换群，所以前面有关群的一些一般性命题都可以用到环的加法群上来，特别是交换群的运算使用加法记号时的术语和记号，在环论中将要使用（例如加法群的零元素 0 ，负元素 $-a$ 等等）。在环内，我们把 $a+(-b)$ 记做 $a-b$ ，并称之为环内的**减法运算**．

我们有下面几条简单事实．
性质1 $\forall a \in R, 0 a=a 0=0$ 。
证 我们有 $0 a+b a=(0+b) a=b a$ ．两边同时加 $(-b a)$ ，其左边为

$$
\begin{aligned}
(0 a+b a)+(-b a) & =0 a+[b a+(-b a)] \\
& =0 a+0=0 a
\end{aligned}
$$

其右边为 $b a+(-b a)=0$ ．因而 $0 a=0$ ．同样，有 $a 0=0$ ．
性质2 $\forall a, b \in R,(-a) b=a(-b)=-a b$ 。
证 $(-a) b+a b=(-a+a) b=0 b=0$ ，故 $(-a) b=-a b$ ．同理有

$$
a(-b)=-a b .
$$

对于正整数 $n$ ，我们定义

$$
a^n=\overbrace{a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}^{n \text { 项 }} .
$$

显然对正整数 $m, n$ ，我们有 $a^m a^n=a^{m+n},\left(a^m\right)^n=a^{m n}$ ．
在环 $R$ 内，如果存在一个元素 $e$ ，使对一切 $a \in R$ ，有 $e a=a$ ，则称 $e$ 是 $R$ 的一个左单位元素．同样，如果存在 $e^{\prime} \in R$ ，使对一切 $a \in R$ ， $a e^{\prime}=a$ ，则称 $e^{\prime}$ 为 $R$ 的一个右单位元素．如果 $e$ 既是左单位元素，又是右单位元素，则 $e$ 称为环 $R$ 的单位元素．显然，一个环 $R$ 如果有单位元素，则其单位元素是唯一的．在有单位元素 $e$ 的环内，我们约定

$$
a^0=e \quad(\forall a \in R-\{0\}) .
$$

设 $R$ 是有单位元素 $e$ 的环．如果对 $a \in R$ ，存在 $b \in R$ ，使 $b a=e$ ，则 $b$ 称为 $a$ 的一个左逆元素．同样，如果存在 $c \in R$ ，使 $a c=e$ ，则 $c$ 称为 $a$ 的一个右逆元素．如果 $a$ 有左逆元素 $b$ ，又有右逆元素 $c$ ，则

$$
b=b e=b(a c)=(b a) c=e c=c
$$

故 $a b=e$ ．这时 $a$ 称为环 $R$ 的可逆元素，而 $b$ 称为 $a$ 的逆元素．容易验证，如果 $a$ 是可逆元素，则其逆元素是唯一的，我们把它记做 $a^{-1}$ ．对
正整数 $n$ ，我们约定 $a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^n$ ．
$n$ 阶全矩阵环 $M_n(K)$ 有单位元素 $E . n$ 阶全矩阵群 $G L_n(K)$ 显然是 $M_n(K)$ 内全体可逆元素所成的集合．

如果环的乘法可交换：$a b=b a(\forall a, b \in R)$ ，则称它是一个交换环．有理整数环 $\mathbb{Z}$ ，一元多项式环 $K[x]$ 都是交换环，而 $M_n(K)(n>$ 1 ）是非交换环。

在一个环 $R$ 内，如果存在 $a, b \in R, a \neq 0, b \neq 0$ ，但 $a b=0$ ，则 $a$ 称为一个**左零因子**，$b$ 称为一个**右零因子**。此时 $R$ 称为**有零因子环**。从线性代数的知识可知，全矩阵环 $M_n(K)(n>1)$ 是有零因子环．如果 $R$ 内不存在零因子，则 $R$ 称**无零因子环**．

一个环 $R$ 如果包含有两个以上的元素，且交换，有单位元素，无零因子，则称为**整环**．例如， $\mathbb{Z}, K[x]$ 都是整环．有理数柯西序列所成的环 $C(\mathbb{Q})$ 有零因子（请读者自己验证这一点），不是整环．$M_n(K)(n >1$ ）非交换，又有零因子，因而也不是整环．设 $R$ 是一个整环，若 $a$ ， $b, c \in R, a b=a c$ ，则当 $a \neq 0$ 时，必有 $b=c$ ．即整环内乘法满足消去律．

`例5.8` 考查实数域上如下 $n$ 阶方阵所成的集合
 ![图片](/uploads/2025-10/574c8e.jpg)
 个群结构：$K$ 关于加法组成交换群，$K^*$ 关于乘法组成交换群，这两个群之间用加法、乘法的分配律相互联系。若 $a, b \in K, b \neq 0$ ，则 $b$ 有逆元素 $b^{-1}$ ，今后 $b^{-1}$ 也写成 $\frac{1}{b}$ 。而 $a \cdot b^{-1}=a \frac{1}{b}$ 写成 $\frac{a}{b}$ ，称为 $K$ 中的除法运算．

数域内分式运算的基本法则现在对任意域也成立．实际上，对任意域 $K$ ，我们有

1）$\forall c \in K^*, \frac{a c}{b c}=(a c)(b c)^{-1}=a c c^{-1} b^{-1}=a b^{-1}=\frac{a}{b}$ ；
2）$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a d}{b d}+\frac{c b}{d b}=(a d)(b d)^{-1}+(c b)(b d)^{-1}$

$$
=(a d+b c)(b d)^{-1}=\frac{a d+b c}{b d}
$$

3）$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\left(a b^{-1}\right)\left(c d^{-1}\right)=(a c)\left(b^{-1} d^{-1}\right)=(a c)(b d)^{-1}=\frac{a c}{b d}$ ．
数域是一类典型的域。第八章§ 3 介绍的 $\mathbb{F}_p$ 是域的另一类例子，本章§4阐述的单变量有理函数域 $K(x)$ 也是域的重要例子。在线性代数（或高等代数）课程中讲授的数域上的一元多项式环 $K[x]$及向量空间、矩阵、行列式、抽象线性空间与线性变换等理论，现在都可以推广到一般的域上来，只要把数域换成一般的域，则所有概念和命题、定理等仍然成立（但要求域中包含无限多个元素的那些命题除外）．

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