最后更新: 2025-10-18 09:01 查看: 63 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

群、环和域的基本概念

## 群、环和域的基本概念

前面几章，我们学习了线性空间，有理整数环和一元多项式环的基本理论，对代数学的研究对象和基本思想、基本方法有了初步的了解。现在我们要从理论上作一个简单的总结，使我们的认识上升到更高的层次．

在代数学理论中，如果一个集合具有一种或几种代数运算，并满足若干运算法则，则称为一个**代数系统**．在两个代数系统 $A, B$ 中，如果存在 $A$ 到 $B$ 的一个映射 $\varphi: A \rightarrow B$ ，且 $\varphi$ 保持这两个代数系统之中几种运算之间的对应关系，则称 $\varphi$ 为两个代数系统 $A, B$ 之间的**态射**．代数学的研究对象就是各类代数系统和它们之间的态射．前面几章我们研究各种线性空间和它们之间的线性映射，就是代数学的这一基本研究课题的一个重要体现。它们是把自然科学和工程技术中大量的感性材料经过加工，提升为深刻的数学理论，从而为处理各种理论和实际问题提供了强有力的工具．

现在，我们把在数学理论以及自然科学、工程技术中有广泛应用的几类重要代数系统作一简单的介绍．

## 1．群的基本概念
我们首先介绍最基本的一类代数系统：群．但在阐述群的定义之前，我们需要一点准备知识．设 $A, B$ 是两个非空集合，利用它们定义一个新集合：

$$
A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\} .
$$

这个新集合称为 $A$ 与 $B$ 的**笛卡儿乘积**．
对一个非空集合 $A$ ，从 $A \times A$ 到 $A$ 的一个映射 $f$ 就称为集合 $A$内的一种**代数运算**。

例如，取集合 $A$ 为全体整数所成的集合 $\mathbb{Z}$ 。定义映射

$$
\begin{aligned}
\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z}, \\
(a, b) & \mapsto a+b .
\end{aligned}
$$

它是 $\mathbb{Z}$ 内的一种代数运算，是我们熟知的整数加法运算．又定义映射

$$
\begin{aligned}
\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z}, \\
(a, b) & \mapsto a b .
\end{aligned}
$$

这也是 $\mathbb{Z}$ 内的一种代数运算，是我们熟知的整数乘法运算．如果定义映射

$$
\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z},
$$
$$
(a, b) \mapsto a+b+a b .
$$

那么它是 $\mathbb{Z}$ 内一种新的代数运算，我们以前未曾见过。
由上述例子可以看出，一个非空集合内可以有许多不同的办法定义其代数运算．对于一门科学来说，它要研究的代数运算必需是有实际背景的，这样对它的研究才有实际意义。所以，我们研究一个集合内的代数运算，也要求它满足一定的条件。这些条件，就是它们所应满足的各种运算法则。

**定义** 设 $G$ 是一个非空集合，在 $G$ 内定义了一种代数运算，称为乘法，即定义了映射

$$
\begin{aligned}
G \times G & \rightarrow G, \\
(a, b) & \mapsto a b,
\end{aligned}
$$

且此乘法满足如下运算法则：
1）满足结合律，即对任意 $a, b, c \in G$ ，有 $a(b c)=(a b) c$ ；
2）$G$ 内存在一个元素 $e$ ，使对一切 $a \in G$ ，都有 $e a=a$ ；
3）对 $G$ 内任一元素 $a$ ，存在 $b \in G$ ，使 $b a=e$ ，则 $G$ 称为一个**群**．

由于群的乘法是抽象地定义的，所以关于它的一些基本属性必须从逻辑上给出严格的证明，这主要是下面几条性质．

**性质1** 对 $a, b \in G$ ，若 $b a=e$ ，则 $a b=e$ 。
证 我们有 $c \in G$ ，使 $c b=e$ ，于是
$$
\begin{aligned}
a b & =e(a b)=(c b)(a b)=[c(b a)] b \\
& =c(e b)=c b=e .
\end{aligned}
$$

**性质2** 对任意 $a \in G$ ，有 $a e=a$ 。
证 因为存在 $b \in G$ ，使 $b a=e$ ，按上面推理知此时也有 $a b=e$ ，于是

$$
a e=a(b a)=(a b) a=e a=a
$$

**性质3** $G$ 内具有定义中条件2）的元素 $e$ 是唯一的。
证 设又有 $e^{\prime} \in G$ 也满足定义中条件 2），则由上面的性质 2 ，有 $e^{\prime}=e^{\prime} e=e$ ．
$G$ 内这个唯一元素 $e$ 今后将称为群 $G$ 的**单位元素**．

**性质4** 对任意 $a \in G, G$ 内满足 $b a=e$ 的元素 $b$ 是唯一的．
证 设又有 $b^{\prime} \in G$ ，使 $b^{\prime} a=e$ ，那么按性质 1，此时又有 $a b^{\prime}=e$ ，故

$$
b^{\prime}=e b^{\prime}=(b a) b^{\prime}=b\left(a b^{\prime}\right)=b e=b
$$

$G$ 内满足 $b a=e$ 的这个唯一元素 $b$ 称为 $a$ 的逆元素，记做 $a^{-1}$ ．显然，此时 $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$ ，对任意 $b_1 \in G$ 有 $\left(a b_1\right)^{-1}=b_1^{-1} a^{-1}$ 。

如果 $G$ 的乘法又满足交换律，即对任意的 $a, b \in G$ ，有 $a b=b a$ ，则 $G$ 称为**交换群**或 **Abel群**．交换群中的代数运算有时又称为加法，记做 $a+b$ ，此时单位元素改称零元素，记做 0 ，一个元素 $a$ 的逆元素改称 $a$ 的**负元素**，记做 $-a, a+(-b)$ 记做 $

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