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单变量有理函数域与分式

## 4 单变量有理函数域
请读者首先回想一下，在初等代数中从整数集合 $\mathbb{Z}$ 出发得到了有理数域 $\mathbb{Q}$ ．在 § 1中我们指出：数域 $K$ 上的一元多项式集合 $K[x]$和 $\mathbb{Z}$ 有许多共同的地方，因而自然会问，对 $K[x]$ 能不能参照这个办法，从中得出一些新的东西呢？我们现在就来讨论这个问题．

1．单变量有理函数域的定义
设 $K$ 是一个数域．定义集合

$$
A(K)=\{[f(x), g(x)] \mid f, g \in K[x], g \neq 0\} .
$$

（这里 $[f(x), g(x)]$ 是一个二元有序组的记号，不代表 $f, g$ 的最小公倍式）在 $A(K)$ 中定义一个关系＂～＂如下：

$$
[f(x), g(x)] \sim\left[f_1(x), g_1(x)\right] \Longleftrightarrow f(x) g_1(x)=f_1(x) g(x) .
$$

容易验证，这个关系具有如下性质：
### 性质
1）反身性：$[f, g] \sim[f, g]$ ；
2）对称性：若 $[f, g] \sim\left[f_1, g_1\right]$ ，则 $\left[f_1, g_1\right] \sim[f, g]$ ；
3）传递性：若 $[f, g] \sim\left[f_1, g_1\right],\left[f_1, g_1\right] \sim\left[f_2, g_2\right]$ ，则

$$
[f, g] \sim\left[f_2, g_2\right] .
$$

这说明＂$\sim$＂是一个等价关系。把 $A(K)$ 的元素按照上述等价关系进行分类，凡互相等价的元素放在一个类内，称为一个**等价类**．$A(K)$的这种等价类所组成的集合记做 $K(x)$ ，元素 $[f, g] \in A(K)$所属的等价类我们今后记为 $f(x) / g(x)$ ．于 是 $K(x)= \left\{\left.\frac{f(x)}{g(x)} \right\rvert\,, f, g \in K[x], g \neq 0\right\}$ ．显然，如果 $[f, g] \sim\left[f_1, g_1\right]$ ，即 $f g_1= f_1 g$ ，则 $f / g=f_1 / g_1$ ；反之亦然。形式表达式 $f(x) / g(x)(g(x) \neq 0)$ 称

为**分式**（或称**有理分式**）．$K(x)$ 内的元素用分式表示时，其表法不是唯一的。因为将 $A(K)$ 中同一个等价类中的元素写成分式形式时，它们代表 $K(x)$ 的同一个元素．显然，若 $h(x) \in K[x], h(x) \neq 0$ ，则 $[f, g] \sim[f h, g h]$ ，故 $f / g=f h / g h$ 。在分式 $f(x) / g(x)$ 中，$f(x)$ 称为**分子**，$g(x)$ 称为**分母**．上面所述的事实说明：在一个分式中，如果分子分母同乘一个非零多项式（或约去一个非零的公因式），结果不变。由于这一原因，对 $K(x)$ 内每个元素，我们可以找一个分子与分母互素的分式 $f / g((f, g)=1)$ 来代表它，这样的分式称为**既约分式**．在一个分式 $f / g$ 中，如果 $\operatorname{deg} f<\operatorname{deg} g$ ，则称为**真分式**。

定义 $K[x]$ 到 $K(x)$ 的映射如下：

$$
\varphi: f(x) \mapsto f(x) / 1=f(x) g(x) / g(x) \quad(\forall g(x) \neq 0) .
$$

如果 $f(x), g(x) \in K[x]$ ，且 $\varphi(f)=\varphi(g)$ ，即 $f / 1=g / 1$ ，于是 $[f, 1] \sim[g, 1]$ ，故 $f(x)=g(x)$ 。这表明 $\varphi$ 是一个单射。今后，我们把 $f(x)$与 $\varphi(f(x))$ 等同起来，于是 $K[x]$ 可以看做 $K(x)$ 的子集，而 $f(x) / 1$也简单地写成 $f(x)$ 。

现在，我们在 $K(x)$ 内定义加法和乘法如下：
1）加法

$$
\begin{aligned}
& f(x) / g(x)+f_1(x) / g_1(x) \\
& \quad=\left[f(x) g_1(x)+f_1(x) g(x)\right] / g(x) g_1(x) .
\end{aligned}
$$

2）乘法

$$
f(x) / g(x) \cdot f_1(x) / g_1(x)=\left[f(x) f_1(x)\right] / g(x) g_1(x) .
$$

由于 $K(x)$ 内的元素表成分式时，表法不唯一，因而我们必须证明上面的定义在逻辑上没有矛盾。我们以加法为例对此作一简单的说明．设 $f / g=\bar{f} / \bar{g}, f_1 / g_1=\bar{f}_1 / \bar{g}_1$ ，于是有

$$
f \bar{g}=\bar{f} g ; \quad f_1 \bar{g}_1=\bar{f}_1 g_1 .
$$

因为 $g \bar{g} g_1 \bar{g}_1 \neq 0$ ，从上面两式得出

$$
f \bar{g} g_1 \bar{g}_1=\bar{f} g g_1 \bar{g}_1 ; \quad f_1 \bar{g}_1 g \bar{g}=\bar{f}_1 g_1 g \bar{g}
$$

上面两式相加，得

$$
\left(f g_1+f_1 g\right)\left(\bar{g} \bar{g}_1\right)=\left(\bar{f} \bar{g}_1+\bar{f}_1 \bar{g}\right)\left(g g_1\right) .
$$

这表明
$$
\left[f g_1+f_1 g\right] / g g_1=\left[\bar{f} \bar{g}_1+\bar{f}_1 \bar{g}\right] / \bar{g} \bar{g}_1
$$

请读者参照上面的办法自行证明乘法定义的合理性。
上面定义的 $K(x)$ 内的加法和乘法运算满足如下几条基本法则：

1）加法满足结合律；
2）对 $K[x]$ 内的零多项式 0 ，有 $0+f / g=f / g$ ；
$3)$ 对任意 $f / g \in K(x)$ ，有 $f / g+(-f) / g=0$ ；
4）加法满足交换律；
5）乘法满足结合律；
6）对 $K[x]$ 内的常数多项式 1 ，有 $1 \cdot f / g=f / g$ ；
7）对 $f / g \in K(x)$ ，若 $f / g \neq 0$ ，则 $f \neq 0$ ．于是 $g / f \in K(x)$ ，此时 $f / g \cdot g / f=1$ ；

8）乘法满足交换律；
9）加法和乘法之间存在分配律：

$$
f / g\left(f_1 / g_1+f_2 / g_2\right)=f / g \cdot f_1 / g_1+f / g \cdot f_2 / g_2 .
$$

这九条基本运算法则的验证是很容易的，留给读者作为练习。它们为我们熟知的分式运算提供了理论依据．
读者不难发现，$K(x)$ 内元素的表达方式及其加法、乘法的定义和九条基本运算法则都和有理数域 $\mathbb{Q}$ 极为相似．事实上，从 $\mathbb{Z}$ 出发，参照上面所述的办法，我们可以给出有理数域 $\mathbb{Q}$ 的严格定义。正因为如此，我们把定义了上述加法和乘法的集合 $K(x)$ 称为数域 $K$ 上的**单变量有理函数域**。它也是一个代数系统。应当指出，现在我们已经不把多项式当作函数．把 $K(x)$ 称作＂有理函数＂域，乃是沿用历史上的习惯用语。
$K(x)$ 和任一数域一样，具有两种代数运算：加法和乘法，而且这两种运算所满足的运算法则也与数域内的运算法则相同。因此，以前我们以数域 $K$ 作为出发点所讨论的一些对象，诸如线性代数的一些基本概念和命题（矩阵、线性空间等等），以及 § 1 所讨论的数域 $K$上的一元多项式及其因式分解理论等，都可以推广到 $K(x)$ 上来，即把出现＂数域 $K$＂字样的地方换成＂单变量有理函数域 $K(x)$＂，那么相应的概念和有关的命题仍然成立．

## 通俗解读

你可以把 $K(x)$ 理解为 **所有“分子和分母都是多项式（系数在K中）的分数”的集合**。

**例子：**
- $\frac{x^2 + 1}{x - 3}$ 是 $\mathbb{Q}(x)$ 中的元素。
- $\frac{2x^3 - \sqrt{2}x + 1}{x^2 + 5}$ 是 $\mathbb{R}(x)$ 中的元素。
- $\frac{1}{x}$、$x^2 + 1$（可看作分母为1）、$5$（常数函数）也都是 $K(x)$ 中的元素。

---

###   它为什么是一个“域”？

一个域是一个集合，其中可以进行加、减、乘、除（除以非零元）运算，并且满足常见的算术规则（结合律、交换律、分配律等）。

1.  **加法/乘法封闭性**：两个有理函数相加、相乘，结果还是有理函数。
2.  **加法/乘法单位元**：0 和 1 就是常函数 0 和 1。
3.  **加法逆元**：$-\frac{f(x)}{g(x)}$ 也是有理函数。
4.  **乘法逆元（关键）**：如果 $\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0$（即 $f(x) \neq 0$），那么它的逆元是 $\frac{g(x)}{f(x)}$，它也在 $K(x)$ 中。

**这正是在多项式环 $K[x]$ 上构造分式域的过程。** 多项式环 $K[x]$ 本身不是一个域，因为除了常数以外的多项式都没有乘法逆元（例如 $x$ 的逆元 $1/x$ 不是多项式）。通过构造 $K(x)$，我们弥补了这个缺陷，得到了一个域。

---

###  与多项式环 $K[x]$ 的关系

- $K[x]$ 是 **整环**（无零因子的交换环）。
- $K(x)$ 是 $K[x]$ 的 **分式域**，就像整数环 $\mathbb{Z}$ 的分式域是有理数域 $\mathbb{Q}$ 一样。
- 关系类比：$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ 类似于 $K[x] \subset K(x)$。

### 例子：部分分式分解

在 $\mathbb{R}(x)$ 中，考虑有理函数：
$$
\frac{x+5}{(x-1)(x^2+1)}
$$
利用 $\mathbb{R}[x]$ 的唯一分解性，它可以被唯一地分解为：
$$
\frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}
$$
其中 $A, B, C \in \mathbb{R}$。这个分解在 $\mathbb{R}(x)$ 中进行，是计算积分的基础。

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