最后更新: 2025-10-18 08:46 查看: 18 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

单变量有理函数域与分式

## 4 单变量有理函数域
请读者首先回想一下，在初等代数中从整数集合 $\mathbb{Z}$ 出发得到了有理数域 $\mathbb{Q}$ ．在 § 1中我们指出：数域 $K$ 上的一元多项式集合 $K[x]$和 $\mathbb{Z}$ 有许多共同的地方，因而自然会问，对 $K[x]$ 能不能参照这个办法，从中得出一些新的东西呢？我们现在就来讨论这个问题．

1．单变量有理函数域的定义
设 $K$ 是一个数域．定义集合

$$
A(K)=\{[f(x), g(x)] \mid f, g \in K[x], g \neq 0\} .
$$

（这里 $[f(x), g(x)]$ 是一个二元有序组的记号，不代表 $f, g$ 的最小公倍式）在 $A(K)$ 中定义一个关系＂～＂如下：

$$
[f(x), g(x)] \sim\left[f_1(x), g_1(x)\right] \Longleftrightarrow f(x) g_1(x)=f_1(x) g(x) .
$$

容易验证，这个关系具有如下性质：
### 性质
1）反身性：$[f, g] \sim[f, g]$ ；
2）对称性：若 $[f, g] \sim\left[f_1, g_1\right]$ ，则 $\left[f_1, g_1\right] \sim[f, g]$ ；
3）传递性：若 $[f, g] \sim\left[f_1, g_1\right],\left[f_1, g_1\right] \sim\left[f_2, g_2\right]$ ，则

$$
[f, g] \sim\left[f_2, g_2\right] .
$$

这说明＂$\sim$＂是一个等价关系。把 $A(K)$ 的元素按照上述等价关系进行分类，凡互相等价的元素放在一个类内，称为一个**等价类**．$A(K)$的这种等价类所组成的集合记做 $K(x)$ ，元素 $[f, g] \in A(K)$所属的等价类我们今后记为 $f(x) / g(x)$ ．于 是 $K(x)= \left\{\left.\frac{f(x)}{g(x)} \right\rvert\,, f, g \in K[x], g \neq 0\right\}$ ．显然，如果 $[f, g] \sim\left[f_1, g_1\right]$ ，即 $f g_1= f_1 g$ ，则 $f / g=f_1 / g_1$ ；反之亦然。形式表达式 $f(x) / g(x)(g(x) \neq 0)$ 称

为**分式**（或称**有理分式**）．$K(x)$ 内的元素用分式表示时，其表法不是唯一的。因为将 $A(K)$ 中同一个等价类中的元素写成分式形式时，它们代表 $K(x)$ 的同一个元素．显然，若 $h(x) \in K[x], h(x) \neq 0$ ，则 $[f, g] \sim[f h, g h]$ ，故 $f / g=f h / g h$ 。在分式 $f(x) / g(x)$ 中，$f(x)$ 称为**分子**，$g(x)$ 称为**分母**．上面所述的事实说明：在一个分式中，如果分子分母同乘一个非零多项式（或约去一个非零的公因式），结果不变。由于这一原因，对 $K(x)$ 内每个元素，我们可以找一个分子与分母互素的分式 $f / g((f, g)=1)$ 来代表它，这样的分式称为

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：多项式根的分布与斯图姆定理

下一篇：有理分式分解为准素分式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)