最后更新: 2025-10-18 08:40 查看: 37 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

多项式根的分布与斯图姆定理

## § 3 实系数多项式根的分布

在这一节中，我们重点讨论实系数多项式的实根在数轴上的分布规律．实系数多项式就是数学分析中所讨论的一类典型的连续、可微实函数．因此，在这一节中我们将要使用数学分析的许多概念和结果．

我们首先来给出复系数多项式的根的一个粗略的界限．
**命题3.1** 设 $f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \in \mathbb{C}[x]$ ，其中 $a_0 \neq 0$而 $n \geqslant 1$ ．令

$$
A=\max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|, \cdots,\left|a_n\right|\right\} .
$$

$$
\left|a_0 \alpha^n\right|=\left|a_1 \alpha^{n-1}+\cdots+a_n\right| \leqslant\left|a_1\right||\alpha|^{n-1}+\cdots+\left|a_n\right|
$$

$$
\leqslant A\left(|\alpha|^{n-1}+\cdots+1\right)=A\left(|\alpha|^n-1\right) /(|\alpha|-1)
$$

现在 $|\alpha|^n>1$ ，故从上式立刻得到

$$
\left|a_0 \alpha^n\right|<A|\alpha|^n /(|\alpha|-1) .
$$

$$
\left(-1-A /\left|a_0\right|, 1+A /\left|a_0\right|\right)
$$

之中．为了进一步搞清实根的分布情况，我们需要先引进一个新概念．

给定实数序列

$$
a_1, a_2, \cdots, a_n,
$$

将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察。如果相邻两数异号，则称为一个**变号**．变号的总数称为序列（1）的**变号数**．

例如序列

$$
0,-\sqrt{2}, 1, \sqrt{3}, 0,-2,-3,1
$$

的变号数为 3 ．
实数序列 $a_1, a_2, a_3$ 的变号数有一个简单的规律，即如果 $a_1 a_3<$ 0 ，则不管 $a_2$ 为零，为正或为负，这个三项序列的变号数总是1．这个事实下面将要用到．
给定实系数多项式的序列

$$
f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)
$$

对 $a \in \mathbb{R}$ ，实数序列 $f_1(a), f_2(a), \cdots, f_n(a)$ 的变号数称为多项式序列（2）在 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}$ 处的变号数，记做 $W(a)$ ．这样，对于一个实系数多项式序列（2），我们定义了一个取整数值的函数 $W(x)$ ，称为多项式序列（2）的**变号数函数**．

现在设 $f(x)$ 是一个次数 $n \geqslant 1$ 的在 $\mathbb{R}$ 内无重根的实系数多项式．实系数多项式序列

$$
f_0(x)=f(x), f_1(x), f_2(x), \cdots, f_s(x)
$$

如果满足如下条件：
（i）相邻两多项式 $f_i(x), f_{i+1}(x)(i=0,1, \cdots, s-1)$ 没有公共实根；
（ii）最后一个多项式 $f_s(x)$ 没有实根；
（iii）如果某个中间多项式 $f_i(x)(1 \leqslant i<s)$ 有一个实根 $\alpha$ ，则 $f_{i-1}(\alpha) f_{i+1}(\alpha)<0$ ；
（iv）如果 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的实根，则乘积 $f(x) f_1(x)$ 在 $x=\alpha$ 的一个充分小的邻域内为增函数，则称序列（3）为 $f(x)$ 的一个**斯图姆序列**。
$f(x)$ 的斯图姆序列的变号数与 $f(x)$ 实根的分布有深刻的联系。

**定理3.1 （斯图姆定理）** 设 $f(x)$ 是一个在 $\mathbb{R}$ 内无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（3）．以 $W(x)$ 表（3）的变号数函数．设 $a, b$ 是两个实数，它们不是 $f(x)$ 的根，且 $a<b$ ，则 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$内实根的个数等于 $W(a)-W(b)$ 。

证 将斯图姆序列（3）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如下：$a_1<a_2<\cdots<a_k$ ．

因为在区间 $\left(-\infty, a_1\right),\left(a_i, a_{i+1}\right)(i=1,2, \cdots, k-1),\left(a_k,+\infty\right)$内（3）中任一多项式都无实根，因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内，$W(x)$ 为常数（参看图 9．1）．我们只要证明：

![图片](/uploads/2025-10/309a16.jpg)
 
 1）如果 $a_i$ 不是 $f(x)$ 的根，则在 $a_i$ 左右两边 $W(x)$ 的函数值相等；

2）如果 $a_i$ 是 $f(x)$ 的根，则在 $a_i$ 左端 $W(x)$ 的函数值比 $a_i$ 右端 $W(x)$ 的函数值大 1 ．

对每个 $a_i$ ，我们来考查斯图姆序列（3）中如下两种类型的小段。
（a）$a_i$ 不是（3）中 $t$ 个连续多项式

$$
f_{j+1}(x), f_{j+2}(x), \cdots, f_{j+t}(x)
$$

的根 $(t \geqslant 2)$ ，由于实系数多项式为数轴上连续函数，按连续函数的性质知，在 $a_i$ 的一个邻域 $\left(a_i-\varepsilon, a_i+\varepsilon\right)$ 内（4）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（4）的变号数函数为常数。
（b）$a_i$ 是（3）中某个中间多项式 $f_j(x)(0<j<s)$ 的根，考查（3）的小段

$$
f_{j-1}(x), f_j(x), f_{j+1}(x)
$$

按斯图姆序列的条件（i）和（iii），此时 $a_i$ 不是 $f_{j-1}(x)$ 和 $f_{j+1}(x)$ 的根，且 $f_{j-1}\left(a_i\right) f_{j+1}\left(a_i\right)<0$ ．由连续函数的性质知，在 $a_i$ 的一个邻域 $\left(a_i-\varepsilon, a_i+\varepsilon\right)$ 内处处有 $f_{j-1}(x) f_{j+1}(x)<0$ ，于是在此邻域内（5）的变号数函数恒等于 1 ，也是常数。

现 设 $a_i$ 不是 $f(x)$ 的根．这时序列（3）中任意两个相邻多项式 $f_j(x), f_{j+1}(x)$ 或属于类型（4）的小段，或属类型（5）的小段，且知这两类型的小段无重迭（但左端或右端多项式可以相同），根据上面 （a），（b）的讨论，在每个小段变号数函数在邻域 $\left(a_i-\varepsilon, a_i+\vareps

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇： Z[x] 有理整数环内多项式的因式分解

下一篇：单变量有理函数域与分式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)