最后更新: 2025-10-18 08:40 查看: 91 次纠错评论(0) 课件开VIP

多项式根的分布与斯图姆定理

## § 3 实系数多项式根的分布

在这一节中，我们重点讨论实系数多项式的实根在数轴上的分布规律．实系数多项式就是数学分析中所讨论的一类典型的连续、可微实函数．因此，在这一节中我们将要使用数学分析的许多概念和结果．

我们首先来给出复系数多项式的根的一个粗略的界限．
**命题3.1** 设 $f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \in \mathbb{C}[x]$ ，其中 $a_0 \neq 0$而 $n \geqslant 1$ ．令

$$
A=\max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|, \cdots,\left|a_n\right|\right\} .
$$

$$
\left|a_0 \alpha^n\right|=\left|a_1 \alpha^{n-1}+\cdots+a_n\right| \leqslant\left|a_1\right||\alpha|^{n-1}+\cdots+\left|a_n\right|
$$

$$
\leqslant A\left(|\alpha|^{n-1}+\cdots+1\right)=A\left(|\alpha|^n-1\right) /(|\alpha|-1)
$$

现在 $|\alpha|^n>1$ ，故从上式立刻得到

$$
\left|a_0 \alpha^n\right|<A|\alpha|^n /(|\alpha|-1) .
$$

$$
\left(-1-A /\left|a_0\right|, 1+A /\left|a_0\right|\right)
$$

之中．为了进一步搞清实根的分布情况，我们需要先引进一个新概念．

给定实数序列

$$
a_1, a_2, \cdots, a_n,
$$

将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察。如果相邻两数异号，则称为一个**变号**．变号的总数称为序列（1）的**变号数**．

例如序列

$$
0,-\sqrt{2}, 1, \sqrt{3}, 0,-2,-3,1
$$

的变号数为 3 ．
实数序列 $a_1, a_2, a_3$ 的变号数有一个简单的规律，即如果 $a_1 a_3<$ 0 ，则不管 $a_2$ 为零，为正或为负，这个三项序列的变号数总是1．这个事实下面将要用到．
给定实系数多项式的序列

$$
f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)
$$

对 $a \in \mathbb{R}$ ，实数序列 $f_1(a), f_2(a), \cdots, f_n(a)$ 的变号数称为多项式序列（2）在 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}$ 处的变号数，记做 $W(a)$ ．这样，对于一个实系数多项式序列（2），我们定义了一个取整数值的函数 $W(x)$ ，称为多项式序列（2）的**变号数函数**．

现在设 $f(x)$ 是一个次数 $n \geqslant 1$ 的在 $\mathbb{R}$ 内无重根的实系数多项式．实系数多项式序列

$$
f_0(x)=f(x), f_1(x), f_2(x), \cdots, f_s(x)
$$

如果满足如下条件：
（i）相邻两多项式 $f_i(x), f_{i+1}(x)(i=0,1, \cdots, s-1)$ 没有公共实根；
（ii）最后一个多项式 $f_s(x)$ 没有实根；
（iii）如果某个中间多项式 $f_i(x)(1 \leqslant i<s)$ 有一个实根 $\alpha$ ，则 $f_{i-1}(\alpha) f_{i+1}(\alpha)<0$ ；
（iv）如果 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的实根，则乘积 $f(x) f_1(x)$ 在 $x=\alpha$ 的一个充分小的邻域内为增函数，则称序列（3）为 $f(x)$ 的一个**斯图姆序列**。
$f(x)$ 的斯图姆序列的变号数与 $f(x)$ 实根的分布有深刻的联系。

**定理3.1 （斯图姆定理）** 设 $f(x)$ 是一个在 $\mathbb{R}$ 内无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（3）．以 $W(x)$ 表（3）的变号数函数．设 $a, b$ 是两个实数，它们不是 $f(x)$ 的根，且 $a<b$ ，则 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$内实根的个数等于 $W(a)-W(b)$ 。

证 将斯图姆序列（3）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如下：$a_1<a_2<\cdots<a_k$ ．

因为在区间 $\left(-\infty, a_1\right),\left(a_i, a_{i+1}\right)(i=1,2, \cdots, k-1),\left(a_k,+\infty\right)$内（3）中任一多项式都无实根，因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内，$W(x)$ 为常数（参看图 9．1）．我们只要证明：

![图片](/uploads/2025-10/309a16.jpg)
 
 1）如果 $a_i$ 不是 $f(x)$ 的根，则在 $a_i$ 左右两边 $W(x)$ 的函数值相等；

2）如果 $a_i$ 是 $f(x)$ 的根，则在 $a_i$ 左端 $W(x)$ 的函数值比 $a_i$ 右端 $W(x)$ 的函数值大 1 ．

对每个 $a_i$ ，我们来考查斯图姆序列（3）中如下两种类型的小段。
（a）$a_i$ 不是（3）中 $t$ 个连续多项式

$$
f_{j+1}(x), f_{j+2}(x), \cdots, f_{j+t}(x)
$$

的根 $(t \geqslant 2)$ ，由于实系数多项式为数轴上连续函数，按连续函数的性质知，在 $a_i$ 的一个邻域 $\left(a_i-\varepsilon, a_i+\varepsilon\right)$ 内（4）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（4）的变号数函数为常数。
（b）$a_i$ 是（3）中某个中间多项式 $f_j(x)(0<j<s)$ 的根，考查（3）的小段

$$
f_{j-1}(x), f_j(x), f_{j+1}(x)
$$

按斯图姆序列的条件（i）和（iii），此时 $a_i$ 不是 $f_{j-1}(x)$ 和 $f_{j+1}(x)$ 的根，且 $f_{j-1}\left(a_i\right) f_{j+1}\left(a_i\right)<0$ ．由连续函数的性质知，在 $a_i$ 的一个邻域 $\left(a_i-\varepsilon, a_i+\varepsilon\right)$ 内处处有 $f_{j-1}(x) f_{j+1}(x)<0$ ，于是在此邻域内（5）的变号数函数恒等于 1 ，也是常数。

现 设 $a_i$ 不是 $f(x)$ 的根．这时序列（3）中任意两个相邻多项式 $f_j(x), f_{j+1}(x)$ 或属于类型（4）的小段，或属类型（5）的小段，且知这两类型的小段无重迭（但左端或右端多项式可以相同），根据上面 （a），（b）的讨论，在每个小段变号数函数在邻域 $\left(a_i-\varepsilon, a_i+\varepsilon\right)$ 内都是常数，（3）的变号数函数 $W(x)$ 为每个小段变号数函数之和，从而在 $a_i$ 的邻域 $\left(a_i-\varepsilon, a_i+\varepsilon\right)$ 内 $W(x)$ 为常数，即 $a_i$ 左端与 $a_i$ 右端 $W(x)$ 的函数值相等．
如果 $a_i$ 为 $f(x)$ 的根．这时序列（3）中仅有 $f(x), f_1(x)$ 不属上述 （4），（5）两种类型的小段，故仅需考查序列 $f(x), f_1(x)$ 的变号数在 $a_i$ 左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件（iv），乘积 $f(x) f_1(x)$ 在 $a_i$ 的某邻域 $\left(a_i-\varepsilon, a_i+\varepsilon\right)$ 内为增函数，我们已知 $f\left(a_i\right) f_1\left(a_i\right)=0$ ，故在 $a_i$ 左端 $f(x), f_1(x)$ 异号，即有一个变号，而在 $a_i$ 右端 $f(x), f_1(x)$ 同号，即无变号。现在不管 $a_i$ 是不是（3）中某个中间多项式（只可能是 $f_2(x)$ 或以后的中间多项式）的根，根据上一小段的讨论，它们对邻域 $\left(a_i-\varepsilon, a_i+\varepsilon\right)$ 内 $W(x)$ 的值没有影响。由此知此时 $a_i$ 点左端 $W(x)$ 的值比 $a_i$ 点右端 $W(x)$ 的值大 1 。

现在让 $x$ 从 $a$ 向 $b$ 运动，每经过 $f(x)$ 的一个实根时，$W(x)$ 的函数值减 1 ，在其他情况下 $W(x)$ 的值不变．故在 $(a, b)$ 内 $f(x)$ 的实根的个数为 $W(a)-W(b)$ ．
上面的定理完满地解决了在 $\mathbb{R}$ 内无重根的实系数多项式 $f(x)$的实根分布问题．但随之就产生一个问题：如何找出 $f(x)$ 的斯图姆序列呢？下面我们就来介绍一个切实可行的办法．

设 $f(x)$ 是一个在 $\mathbb{R}$ 内无重根的实系数多项式，取 $f_0(x)= f(x), f_1(x)=f^{\prime}(x)$（设 $\operatorname{deg} f(x) \geqslant 1$ ）．以 $f_1(x)$ 除 $f_0(x)$ ，得

$$
\begin{gathered}
f_0(x)=q_1(x) f_1(x)+r_1(x), \\
r_1(x)=0 \quad \text { 或 } \quad \operatorname{deg} r_1(x)<\operatorname{deg} f_1(x) .
\end{gathered}
$$

如 $r_1(x)=0$ ，过程到此结束．否则，取 $f_2(x)=-r_1(x)$ ，再用 $f_2(x)$ 去除 $f_1(x)$ ，得

$$
\begin{gathered}
f_1(x)=q_2(x) f_2(x)+r_2(x), \\
r_2(x)=0 \quad \text { 或 } \quad \operatorname{deg} r_2(x)<\operatorname{deg} f_2(x) .
\end{gathered}
$$

如 $r_2(x)=0$ ，过程到此结束．否则，取 $f_3(x)=-r_2(x)$ ，再用 $f_3(x)$ 去除 $f_2(x), \cdots$ ．经过若干步后，我们有

$$
f_{s-1}(x)=q_s(x) f_s(x)
$$

于是，我们得到一个实系数多项式系列：

$$
f_0(x)=f(x), f_1(x)=f^{\prime}(x), f_2(x), \cdots, f_{s-1}(x), f_s(x) .
$$

我们来证明，上面的序列就是 $f(x)$ 的一个斯图姆序列．
因为 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 内无重根，故 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=\left(f_0(x), f_1(x)\right)= d(x)$ 无实根，而从上述多项式序列的构造法可知有
$$
f_{i-1}(x)=q_i(x) f_i(x)-f_{i+1}(x) \quad(i=1,2, \cdots, s-1) .
$$

于是我们得出（参看求两个多项式最大公因式的辗转相除法）

$$
d(x)=\left(f_0, f_1\right)=\left(f_1, f_2\right)=\cdots=\left(f_i, f_{i+1}\right)=\cdots=\left(f_{s-1}, f_s\right)=k f_s,
$$

其中 $k$ 是一非零实数．
1）因为 $f_s(x)=\frac{d(x)}{k}$ ，故它无实根．
2）因为 $\left(f_i(x), f_{i+1}(x)\right)=d(x)$ ，故存在 $u_i(x), v_i(x) \in \mathbb{R}[x]$ ，使得

$$
u_t(x) f_i(x)+v_i(x) f_{i+1}(x)=d(x) .
$$

因 $d(x)$ 无实根，由上式立即推知 $f_i(x)$ 与 $f_{i+1}(x)$ 无公共实根，这里 $i=0,1, \cdots, s-1$.
3）设 $\alpha$ 是 $f_i(x)(1 \leqslant i<s)$ 的一个实根，代入（7），得

$$
f_{i-1}(\alpha)=-f_{i+1}(\alpha),
$$

即 $f_{i-1}(\alpha) f_{i+1}(\alpha)<0$ ．
4）设 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的一个实根，则 $f^{\prime}(\alpha) \neq 0$ ，而

$$
\left[f_0(x) f_1(x)\right]^{\prime}=\left[f(x) f^{\prime}(x)\right]^{\prime}=\left[f^{\prime}(x)\right]^2+f(x) f^{\prime \prime}(x)
$$

于是 $\left.\left[f_0(x) f_1(x)\right]^{\prime}\right|_{x=\alpha}=\left[f^{\prime}(\alpha)\right]^2>0$ ．这表明 $f_0(x) f_1(x)$ 在 $x=\alpha$的某个邻域内为增函数．

这证明多项式序列（6）是 $f(x)$ 的一个斯图姆序列．显然，把 $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_s(x)$ 各自乘一个正实数，所得的多项式序列仍为 $f(x)$ 的一个斯图姆序列．

如果 $f(x)$ 是一个在 $\mathbb{R}$ 内有重根的实系数多项式，设它在 $\mathbb{R}$ 内的素因式标准分解式为

$$
f(x)=a_0 p_1(x)^{k_1 \cdots p_r(x)^{k_r}}
$$

从§1中对重因式的讨论可知，

$$
d(x)=\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=p_1(x)^{k_1-1} \cdots p_r(x)^{k_r-1}
$$

令 $f(x)=d(x) \bar{f}(x)$ ，则

$$
\bar{f}(x)=a_0 p_1(x) \cdots p_r(x)
$$
它和 $f(x)$ 有相同的不可约因式（因而有相同的一次因式，即有相同的实根），但无重不可约因式，即没有重根．因而只需研究多项式（8）的实根分布就可以了。

`例` 考查多项式 $f(x)=x^3+3 x^2-1$ ，并求其实根个数和有根区间。

解 易知 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=1$ ，故它在 $\mathbb{C}$ 内无重根。按上述办法，它的斯图姆序列可取为

$$
\begin{aligned}
& f_0(x)=x^3+3 x^2-1, \\
& f_1(x)=3 x^2+6 x, \\
& f_2(x)=2 x+1, \\
& f_3(x)=1 .
\end{aligned}
$$

它们在 $-\infty$ 和 $+\infty$ 处变号数可用下面的表来表示：
 ![图片](/uploads/2025-10/cc4e9e.jpg)
 由此表可知，对充分大正数 $N, W(-N)$ 与 $W(N)$ 的值是多少，故多项式 $f(x)$ 有 3 个实根。根据命题3．1可以断定 $f(x)$ 的实根都位于区间 $(-4,4)$ 之内．对于这个区间内任一小区间 $(a, b)$ ，应用斯图姆定理可以求出 $(a, b)$ 内 $f(x)$ 的实根个数．利用这个办法可以证明： $f(x)$ 的三个实根分别位于区间 $(-3,-2),(-1,0),(0,1)$ 内．这就把 $f(x)$ 的实根分布情况完全搞清楚了．
 
 ## 本章阶段
斯图姆定理是 斯图姆在19世纪给出的实系数多项式在给定区间内的实根个数。

想象你有一道复杂的函数曲线 $ f(x) $，比如 $ f(x) = x^3 - 2x - 5 $。  
你想知道它在某个区间内（比如 $ [2,3] $）到底穿过了 $x$-轴几次（即有几个实根）。

### 困难在哪？
函数可能上下波动很多次，你不可能一个一个点代进去算——因为即使 $f(2)$ 和 $f(3)$ 都是正的，中间也可能先下去再上来，有 2 个根。  
光看区间两端函数值的符号无法判断中间穿过几次。

### 斯图姆的妙计
斯图姆设计了一个“**符号侦察小队**”，这个小队由几个函数成员组成：  
$P_0(x), P_1(x), P_2(x), \dots, P_k(x)$。

- **队长** $P_0$ 就是原来的函数 $f(x)$。
- **副队长** $P_1$ 是队长的导数 $f'(x)$（代表队长的变化趋势）。
- 其他队员 $P_2, P_3, \dots$ 是按照固定规则（欧几里得算法，取余并变号）生成的，保证这个小队有一个特殊性质。

### 小队的任务
在给定的 $x$ 位置，列出所有队员的符号（正、负），忽略零。  
然后数一数从这个位置往下看，符号一共变化了几次（比如 +, +, -, + 的变化次数是 1：从 + 到 - 一次，从 - 到 + 又一次，共 2 次）。  
这个次数叫做 **变号数 $V(x)$**。
 
###  定理的核心结论
设区间 $[a, b]$，计算：
$$
\text{实根个数} = V(a) - V(b)
$$
也就是说：  
**从左端点到右端点，小队成员的符号变化次数减少了多少，就等于这个区间内实根的个数。**

---

### 为什么这能工作？
因为斯图姆构造的队伍满足：
1. 当 $x$ 经过 $f(x)$ 的一个根时，$V(x)$ 一定会减少 1。
2. 当 $x$ 经过其他队员的根时，$V(x)$ 保持不变。
3. 所以 $V(x)$ 只在 $f$ 的根处“跳减”，其余地方不变。

这样，你只需要在区间两端点算一下 $V(a)$ 和 $V(b)$，它们的差就是穿根次数。
 
###  打个比方
想象一列士兵（斯图姆序列）站在 x 轴上不同位置。
- 当 x 从左往右扫描时，士兵们会依次“转身”（变号）。
- 但只有经过 $f(x)$ 的根时，队长 $P_0$ 的转身才会引起整队计数规则下一次不可恢复的减少。
- 最后你比较起点处和终点处的“转身次数”，差就是真正穿轴的次数。

###  例子

例：$f(x) = x^3 - 2x - 5$（这个例子斯图姆本人用过）。

1. $P_0 = x^3 - 2x - 5$  
   $P_1 = 3x^2 - 2$

2. 用 $P_0$ 除以 $P_1$：  
   $x^3 - 2x - 5 = \left(\frac{x}{3}\right)(3x^2 - 2) - \left(\frac{4x}{3} + 5\right)$  
   所以余数是 $\frac{4x}{3} + 5$，取负：  
   $P_2 = -\left(\frac{4x}{3} + 5\right) = -\frac{4x}{3} - 5$  
   乘以 3 以去分母（不影响符号）：  
   $P_2 = -4x - 15$

3. 用 $P_1$ 除以 $P_2$：  
   $3x^2 - 2 = \left(-\frac{3x}{4} + \frac{45}{16}\right)(-4x - 15) + \left(-\frac{683}{16}\right)$  
   余数常数 $-\frac{683}{16}$，取负：  
   $P_3 = \frac{683}{16}$  
   取正常数 683（符号正）。

斯图姆序列（可缩放为正方便符号）：
$$
\begin{aligned}
P_0 &= x^3 - 2x - 5 \\
P_1 &= 3x^2 - 2 \\
P_2 &= -4x - 15 \\
P_3 &= 683 \quad (>0)
\end{aligned}
$$

### 计算根的数量

区间 $(0,3]$：

在 $x=0$：
$$
P_0 = -5 \ (<0),\quad P_1 = -2 \ (<0),\quad P_2 = -15 \ (<0),\quad P_3 >0
$$
符号序列：$(-,-,-,+)$，变号次数？  
从 $- \to -$：无变化，$- \to -$：无变化，$- \to +$：1 次变化。  
所以 $V(0) = 1$。

在 $x=3$：
$$
P_0 = 27 - 6 - 5 = 16>0,\quad P_1=27-2=25>0,\quad P_2 = -12-15=-27<0,\quad P_3>0
$$
符号序列：$(+,+,-,+)$  
$+ \to +$：无变化，$+ \to -$：1 次变化，$- \to +$：1 次变化。  
所以 $V(3) = 2$。

于是 $V(0)-V(3) = 1 - 2 = -1$？等等，这不对（应为非负）。  
检查：我们算错了变号数。

---

**正确计算变号数**（忽略零，但此处没有零）：

在 $x=0$：  
序列 $(-,-,-,+)$  
- $P_0=-$ 到 $P_1=-$：无变化  
- $P_1=-$ 到 $P_2=-$：无变化  
- $P_2=-$ 到 $P_3=+$：有变化（− → +）  
所以 $V(0) = 1$。

在 $x=3$：  
序列 $(+,+,-,+)$  
- $P_0=+$ 到 $P_1=+$：无变化  
- $P_1=+$ 到 $P_2=-$：有变化（+ → −）  
- $P_2=-$ 到 $P_3=+$：有变化（− → +）  
所以 $V(3) = 2$。

那么 $V(0) - V(3) = 1 - 2 = -1$，这不可能为根数。  
说明我可能区间选反？定理是 $(a,b]$ 根数 = $V(a)-V(b)$，若 $a=0,b=3$，得 $-1$，意味着 0 到 3 没有根？但我们知道 $f(2)=-1$，$f(3)=16$，中间有根。

检查发现：我序列的 $P_2$ 符号可能因缩放混乱？原来 $P_2$ 应严格按余式取负，我乘 3 后没调整符号一致性？其实乘正常数不影响符号，但检查 $x=2$：

$P_0(2) = -1$，$P_1(2)=10$，$P_2 = -4x-15 = -23$，$P_3=683$  
序列：$(-, +, -, +)$  
变号：− → +：1，+ → −：2，− → +：3？不对，仔细数：  
(−, +) 变号1次，  
(+, −) 变号2次，  
(−, +) 变号3次？这样 V=3？显然不对，因为变号数是相邻两个元素符号不同则计数+1。  
(−,+) 1次，  
(+,−) 2次，  
(−,+) 3次。对，V(2)=3。

在 x=3: (+, +, −, +)  
(+,+) 0次，  
(+,−) 1次，  
(−,+) 2次。所以 V(3)=2。

在 x=0: (−,−,−,+)  
(−,−) 0次，  
(−,−) 0次，  
(−,+) 1次。所以 V(0)=1。

所以 V(0)=1, V(2)=3, V(3)=2。

从 0 到 2：V(0)-V(2) = 1-3 = -2？不可能。  
发现错误：我可能在计算 P2 时符号弄错。  
重新手工算 P2：

P0 = x^3 - 2x - 5  
P1 = 3x^2 - 2

P0 ÷ P1:  
商 x/3，得 (x/3)(3x^2 - 2) = x^3 - (2/3)x，减 P0:  
P0 - [x^3 - (2/3)x] = (-2x - 5) + (2/3)x = (-4/3)x - 5  
所以余数 = (-4/3)x - 5  
取负： -[(-4/3)x - 5] = (4/3)x + 5  
所以 P2 = (4/3)x + 5（正系数！之前我错写成 -4x-15 是因为弄错符号）。

这样序列是：  
P0 = x^3 - 2x - 5  
P1 = 3x^2 - 2  
P2 = (4/3)x + 5  
P3 = 正常数（683/… 最终正）

乘 3 消除分母：  
P2 = 4x + 15（正斜率）

现在重新计算符号：

x=0: P0=-, P1=-, P2=+, P3=+  
序列 (−, −, +, +)  
变号： (−,−) 0次， (−,+) 1次， (+,+) 1次？等等，相邻：  
P0→P1: −→− : 0  
P1→P2: −→+ : 1  
P2→P3: +→+ : 1（不增加）  
所以 V(0) = 1。

x=2: P0=-, P1=+, P2=23>0, P3>0  
序列 (−, +, +, +)  
变号： −→+ : 1次， 其余 +→+ 无增加，所以 V(2)=1。

x=3: P0=+, P1=+, P2=27>0, P3>0  
序列 (+, +, +, +)  
变号数 0，所以 V(3)=0。

于是：  
在 (0,3]：V(0)-V(3) = 1 - 0 = 1 个实根。  
在 (0,2]：V(0)-V(2) = 1 - 1 = 0 个实根？但 f(2)=-1, f(3)=+16，所以根在 (2,3) 内。对的。

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