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整除性与因式分解

## 整除性与因式分解
在 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内，乘法没有逆运算，即一般不能做除法运算。而且，当 $n \geqslant 2$ 时，它也没有带余除法．所以，在有理整数环 $\mathbb{Z}$ 及一元多项式环 $K[x]$ 内依赖于带余除法确立的一系列重要结果对多元多项式不再成立。这就使多元多项式远比一元多项式复杂。在这里，我们仅限于介绍一些基本概念，深入的研讨要留待专门的课程去进行。

首先介绍 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的整除理论。设有 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ， $g\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 且 $f \neq 0$ ．若存在 $q\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ，使 $g=q f$ ，则称 $f$ **整除** $g$ ，记做 $f \mid g$ ．否则称 $f$ **不整除** $g$ ，记做 $f \nmid g$ 。我们有下面明显的事实：

1）若 $f \mid g$ ，则对任意 $a \in K, a \neq 0,(a f) \mid g$ ．特别地，$a$ 整除 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内任意多项式；

2）若 $f \mid g_i(i=1,2, \cdots, k)$ ，则对任意 $u_i \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ，

$$
f \mid\left(u_1 g_1+\cdots+u_k g_k\right)
$$

3）若 $f|g, g| f$ ，则 $g=c f$ ，其中 $c \in K$ 且 $c \neq 0$ ．
当 $f \mid g$ 时，$f$ 称为 $g$ 的一个**因式**，$g$ 称为 $f$ 的一个**倍式**．
设 $f, g \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], f, g$ 不全为零。若 $d \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], d \neq$ 0 ，且 $d|f, d| g$ ，则 $d$ 称为 $f, g$ 的一个**公因式**．若 $d$ 为 $f, g$ 的一个公因式，且对 $f, g$ 的任意公因式 $d_1$ ，都有 $d_1 \mid d$ ，则 $d$ 称为 $f, g$ 的一个
最大公因式．如果 $d$ 是 $f, g$ 的一个**最大公因式**，则对任意 $a \in K, a \neq 0, a d$ 仍为 $f, g$ 的最大公因式．反之，若 $d^{\prime}$ 为 $f, g$ 的一个最大公因式，按定义，应有 $d^{\prime} \mid d$ 及 $d \mid d^{\prime}$ ，从而 $d^{\prime}=a d$ 。于是 $f, g$ 的全部最大公因式为集合 $\{a d \mid a \in K, a \neq 0\}$ ．如果 $f, g$ 的全部最大公因式为 $\{a \mid a \in K, a \neq 0\}$ ，则称 $f$ 与 $g$ **互素**，记做 $(f, g)=1$ ．

**定义** 设 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], \operatorname{deg} f \geqslant 1$ ．若存在 $g, h \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], \operatorname{deg} g \geqslant 1, \operatorname{deg} h \geqslant 1$ ，使 $f=g h$ ，则称 $f$ 为 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$内的**可约多项式**，否则称 $f$ 为 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的**不可约多项式**．

> 注意一个多项式可约或不可约与把它看做那一个域 $K$ 上的多项式有关．不能脱离其系数所属的域来谈论多项式的可约与不可约．

如果 $f$ 为 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的不可约多项式，这就等价于说 $f$ 的因式只有 $a$ 和 $a f$ 两种，其中 $a$ 为数域 $K$ 内任意非零元素．如果 $f$ 为 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内一不可约多项式，则对任意 $g \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ，若 $f \nmid g$ ，则 $(f, g)=1$ ．这是因为设 $d$ 为 $f, g$ 的一个公因子，则 $d \mid f$ ，而 $f$ 不可约，故 $d=a$ 或 $a f$ ，其中 $a \in K, a \neq 0$ 。但 $f \nmid g$ ，从而 $(a f) \nmid g$ ，但 $d \mid g$ ，故 $d=a$ ，这表明 $f, g$ 的最大公因式为集合 $\{a \mid a \in K, a \neq 0\}$ ，即 $(f, g)=1$ ．

**定理1.1（因式分解唯一定理）** 设 $K$ 是一个域，则对任意 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], \operatorname{deg} f \geqslant 1$ ，都可分解为

$$
f=a p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} \quad(a \in K),
$$

其中 $p_1, p_2, \cdots, p_k$ 为 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的不可约多项式，$p_i \nmid p_j(i \neq j)$ ， $e_1, e_2, \cdots, e_k$ 为正整数；且若又有分解式

$$
f=b q_1^{f_1} q_2^{f_2} \cdots q_l^{f_l} \quad(b \in K)
$$

其中 $q_1, q_2, \cdots, q_l$ 为 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的不可约多项式，$q_i \nmid q_j(i \neq j)$ ， $f_1, f_2, \cdots, f_l$ 为正整数，则必有 $k=l$ ，且适当排列次序后，有 $q_i=a_i p_i \left(a_i \in K, a_i \neq 0, i=1,2, \cdots, k\right)$ 及 $f_i=e_i$ ．

这个定理的证明与第九章 § 2中证明 $\mathbb{Z}[x]$ 内的因式分解唯一定理的方法大致相同，此处不详述．在抽象代数的课程中将从更一般的角度来证明这个定理．

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