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多元多项式环的基本概念

## 第十章 多元多项式环

学习了一元多项式的理论之后，读者自然会想到把它推广为多个不定元的多项式，本章就来研讨这个问题。但是应当指出，多元多项式的理论比一元多项式要复杂得多，也深刻得多，我们在这里仅限于讨论一些最基本也相对较简单的课题．

### § 1 多元多项式环的基本概念

**定义** 设 $K$ 是一个域，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是 $n$ 个不定元，下面的形式表达式

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \sum_{i_2=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N a_{i_1 i_2 \cdots i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n},
$$

其中 $a_{i_1 i_2 \cdots i_n} \in K$ 而 $N$ 为任意非负整数，称为域 $K$ 上的一个 **$n$ 元多项式**．域 $K$ 上全体 $n$ 元多项式所成的集合记做 $K\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]$ 。

和一元多项式一样，在所给的 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 的形式表达式中， $a_{00 \cdots 0} x_1^0 x_2^0 \cdots x_n^0$ 写成 $a_{00 \cdots 0} \in K, 0 x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ 可省略不写， $1 x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ 可写为 $x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ ．因此，上面求和号的上限 $N$ 可换为任意 $\geqslant N$ 的整数 $M$（下角标超出 $N$ 的系数认为都是零）。因此，两 $n$ 元多项式的表达式中求和上限都可写为同一个整数 $N$ ．

现在对 $K\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]$ 定义加法、乘法运算．
**加法** 定义

$$
\begin{gathered}
\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N a_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}+\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N b_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n} \\
=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N\left(a_{i_1 \cdots i_n}+b_{i_1 \cdots i_n}\right) x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}
\end{gathered}
$$

**乘法** 设

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N a_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}, \\
& g\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{j_1=0}^M \cdots \sum_{j_n=0}^M b_{j_1 \cdots j_n} x_1^{j_1} \cdots x_n^{j_n} .
\end{aligned}
$$

令

$$
c_{k_1 k_2 \cdots k_n}=\sum_{i_1+j_1=k_1} \cdots \sum_{i_n+j_n=k_n} a_{i_1 \cdots i_n} b_{j_1 \cdots j_n},
$$

则定义

$$
f\left(x_1, \cdots, x_n\right) g\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{k_1=0}^{M+N} \cdots \sum_{k_n=0}^{M+N} c_{k_1 \cdots k_n} x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n}
$$

容易验证，上面的运算满足如下运算法则：
1）加法满足结合律；
2）加法满足交换律；
3）有一多项式

$$
0\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N 0 x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n},
$$

使对一切 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], f\left(x_1, \cdots, x_n\right)+0\left(x_1, \cdots, x_n\right) =f\left(x_1, \cdots, x_n\right), 0\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 称为**零多项式**，记为 $0 ;$

4）对

$$
f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N a_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n},
$$

令

$$
-f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N\left(-a_{i_1 \cdots i_n}\right) x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n},
$$

则 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)+\left(-f\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right)=0$ ；
$5)$ 乘法满足结合律；
6）乘法满足交换律；
7）加法与乘法之间有分配律；
8）有一多项式 $I\left(x_1, \cdots, x_n\right)=1$ ，使对一切多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ，有

$$
\begin{aligned}
I\left(x_1, \cdots, x_n\right) f\left(x_1, \cdots, x_n\right)

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