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多元多项式环的基本概念

## 第十章 多元多项式环

学习了一元多项式的理论之后，读者自然会想到把它推广为多个不定元的多项式，本章就来研讨这个问题。但是应当指出，多元多项式的理论比一元多项式要复杂得多，也深刻得多，我们在这里仅限于讨论一些最基本也相对较简单的课题．

### § 1 多元多项式环的基本概念

**定义** 设 $K$ 是一个域，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是 $n$ 个不定元，下面的形式表达式

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \sum_{i_2=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N a_{i_1 i_2 \cdots i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n},
$$

其中 $a_{i_1 i_2 \cdots i_n} \in K$ 而 $N$ 为任意非负整数，称为域 $K$ 上的一个 **$n$ 元多项式**．域 $K$ 上全体 $n$ 元多项式所成的集合记做 $K\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]$ 。

和一元多项式一样，在所给的 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 的形式表达式中， $a_{00 \cdots 0} x_1^0 x_2^0 \cdots x_n^0$ 写成 $a_{00 \cdots 0} \in K, 0 x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ 可省略不写， $1 x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ 可写为 $x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ ．因此，上面求和号的上限 $N$ 可换为任意 $\geqslant N$ 的整数 $M$（下角标超出 $N$ 的系数认为都是零）。因此，两 $n$ 元多项式的表达式中求和上限都可写为同一个整数 $N$ ．

现在对 $K\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]$ 定义加法、乘法运算．
**加法** 定义

$$
\begin{gathered}
\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N a_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}+\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N b_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n} \\
=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N\left(a_{i_1 \cdots i_n}+b_{i_1 \cdots i_n}\right) x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}
\end{gathered}
$$

**乘法** 设

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N a_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}, \\
& g\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{j_1=0}^M \cdots \sum_{j_n=0}^M b_{j_1 \cdots j_n} x_1^{j_1} \cdots x_n^{j_n} .
\end{aligned}
$$

令

$$
c_{k_1 k_2 \cdots k_n}=\sum_{i_1+j_1=k_1} \cdots \sum_{i_n+j_n=k_n} a_{i_1 \cdots i_n} b_{j_1 \cdots j_n},
$$

则定义

$$
f\left(x_1, \cdots, x_n\right) g\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{k_1=0}^{M+N} \cdots \sum_{k_n=0}^{M+N} c_{k_1 \cdots k_n} x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n}
$$

容易验证，上面的运算满足如下运算法则：
1）加法满足结合律；
2）加法满足交换律；
3）有一多项式

$$
0\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N 0 x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n},
$$

使对一切 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], f\left(x_1, \cdots, x_n\right)+0\left(x_1, \cdots, x_n\right) =f\left(x_1, \cdots, x_n\right), 0\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 称为**零多项式**，记为 $0 ;$

4）对

$$
f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N a_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n},
$$

令

$$
-f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1=0}^N \cdots \sum_{i_n=0}^N\left(-a_{i_1 \cdots i_n}\right) x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n},
$$

则 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)+\left(-f\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right)=0$ ；
$5)$ 乘法满足结合律；
6）乘法满足交换律；
7）加法与乘法之间有分配律；
8）有一多项式 $I\left(x_1, \cdots, x_n\right)=1$ ，使对一切多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ，有

$$
\begin{aligned}
I\left(x_1, \cdots, x_n\right) f\left(x_1, \cdots, x_n\right) & =f\left(x_1, \cdots, x_n\right) I\left(x_1, \cdots, x_n\right) \\
& =f\left(x_1, \cdots, x_n\right)
\end{aligned}
$$
此多项式简记为 1 ．

于是 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 关于上面定义的加法与乘法组成一个交换的有单位元素的环，这个环称为域 $K$ 上的 $n$ **元多项式环**。
$K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的多项式 $a x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}(a \neq 0)$ 称为一个**单项式**，而 $i_1+i_2+\cdots+i_n$ 称为此**单项式的次数**．显然，任一非 0 多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 为有限个单项式连加而成，而上述单项式则是由 0 次单项式 $a$ 和一次单项式 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 连乘得出。因此，定义中 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的表达式现在具有加法和方幂的含义。一个非 0 多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 中，其单项式次数的最高值称为此多项式的次数，记做 $\operatorname{deg} f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 。零多项式的次数没有定义。

在一个次数为 $d$ 的 $n$ 元多项式中，次数为 $d$ 的单项式一般不止一个，这样，我们不能像一元多项式那样把次数最高的单项式称为首项．但首项的概念在多项式理论中很有用，我们要另外想办法来给出多元多项式的首项的概念。这依赖于下面所介绍的**字典排列法**。

## 字典排列法
一本英语词典，其排列单词的原则是首先按第一个字母的顺序排列先后。第一个字母相同时就按第二个字母排列先后，依此类推。现在按这个办法来排列一个多元多项式中各个单项式的先后顺序。设在 $n$ 元多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 内任取两个单项式

$$
a x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}, \quad b x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_n^{j_n} .
$$

如果序列 $i_1-j_1, i_2-j_2, \cdots, i_n-j_n$ 自左至右第一个非零的数为正，则我们规定在 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的字典排列法中，$a x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}$ 排在 $b x_1^{j_1} \cdots x_n^{j_n}$之前．这样，$f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 中的单项式就被排定了先后顺序．排在最前面的单项式称为 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的**首项**．

**命题1.1** 设 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right), g\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], f \neq 0$ ， $g \neq 0$ ，则 $f \cdot g$ 的首项等于 $f$ 的首项和 $g$ 的首项的乘积．

证 设 $f$ 和 $g$ 的首项分别是

$$
a x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n}, \quad b x_1^{l_1} \cdots x_n^{l_n}
$$

$f \cdot g$ 的每个单项式都是由形如

$$
c x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n} \cdot d x_1^{j_1} \cdots x_n^{j_n}=c d x_1^{i_1+j_1} \cdots x_n^{i_n+j_n}
$$

（其中左端两个单项式因子分别是 $f$ 和 $g$ 中的单项式）的同类单项式合并而成的．考查序列
$$
\begin{gathered}
\left(k_1+l_1\right)-\left(i_1+j_1\right),\left(k_2+l_2\right)-\left(i_2+j_2\right), \\
\cdots,\left(k_n+l_n\right)-\left(i_n+j_n\right) .
\end{gathered}
$$

因为下列序列

$$
\begin{aligned}
& k_1-i_1, k_2-i_2, \cdots, k_n-i_n ; \\
& l_1-j_1, l_2-j_2, \cdots, l_n-j_n
\end{aligned}
$$

自左至右第一个非零的数为正，故序列（1）自左至右第一个非零的数也为正。这表明 $a b x_1^{k_1+l_1} \cdots x_n^{k_n+l_n}$ 为 $f g$ 的首项。

**推论** 设 $f, g \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], f \neq 0, g \neq 0$ ，则 $f g \neq 0$ 。
证 $f \neq 0, g \neq 0$ ，则它们的首项都为系数非零的单项式。于是 $f g$的首项也是系数非零的单项式，故 $f g \neq 0$ 。

从上面的推论即知在 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内有消去律，即若：

$$
f g=f h, f \neq 0, \quad \text { 则 } \quad g=h \text {. }
$$

上面的推论说明 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 是一个交换的，有单位元素且无零因子的环，其中包含无穷多个元素．因而 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 是一个整环。

如果一个非零多项式，其中所有单项式都是 $d$ 次的，则此多项式称为 **$d$次齐次多项式**．
我们已知一元多项式环 $K[x]$ 可以看做域 $K$ 上的线性空间，同样地，$n$ 元多项式环 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 也可以看做域 $K$ 上的线性空间，其加法为多项式的加法，与 $K$ 中元素 $k$ 的数乘为把 $k$ 看做多项式作多项式的乘法（实为把 $k$ 乘该多项式所有系数）。令 $M_i$ 为零多项式与全体 $i$ 次齐次多项式所成的集合，则 $M_i$ 为 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 的一个子空间。

**命题1.2** 设 $f, g \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], f \neq 0, g \neq 0$ ，则

$$
\operatorname{deg}(f g)=\operatorname{deg}(f)+\operatorname{deg}(g) .
$$

证 将 $f$ 与 $g$ 中次数相同的单项式归并在一起，有

$$
\begin{array}{ll}
f=f_0+f_1+\cdots+f_N & \left(f_i \in M_i\right), \\
g=g_0+g_1+\cdots+g_M & \left(g_j \in M_j\right),
\end{array}
$$

其中 $f_N \neq 0, g_M \neq 0$ ，从而 $\operatorname{deg} f=N, \operatorname{deg} g=M$ ．易知当 $f_i \neq 0, g_j \neq 0$时有 $f_i g_j$ 为 $i+j$ 次齐次多项式，于是
$$
f g=h_0+h_1+\cdots+h_{N+M}, \quad h_k=\sum_{i+j=k} f_i g_j,
$$

其中 $h_{N+M}=f_N g_M \neq 0$ ．故 $\operatorname{deg}(f g)=N+M=\operatorname{deg} f+\operatorname{deg} g$ ．
和一元多项式一样，在某些情况下也把多元多项式当作函数来处理，即若 $a_1, \cdots, a_n \in K$ ，而

$$
f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1, \cdots, i_n} a_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n} \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right],
$$

则称

$$
f\left(a_1, \cdots, a_n\right)=\sum_{i_1, \cdots, i_n} a_{i_1 \cdots i_n} a_1^{i_1} \cdots a_n^{i_n} \in K
$$

为 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 在点 $\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ 处的值．如果 $f\left(a_1, \cdots, a_n\right)=0$ ，则称 $\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ 是 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的一个零点．

**命题1.3** 设 $K$ 是一个含无穷多元素的域，$f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], f \neq 0$ ，则存在 $a_1, \cdots, a_n \in K$ ，使 $f\left(a_1, \cdots, a_n\right) \neq 0$ ．

证 对 $n$ 作数学归纳法．$n=1$ 时，在第九章 § 1 中已指出一元非零多项式只有有限个零点，而 $K$ 中包含无限多个元素，故命题显然成立．设命题对 $K\left[x_1, \cdots, x_{n-1}\right]$ 中的元素已经成立．对 $f \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ，我们把它写成
$$
\begin{aligned}
f= & a_0\left(x_1, \cdots, x_{n-1}\right) x_n^m+a_1\left(x_1, \cdots, x_{n-1}\right) x_n^{m-1} \\
& +\cdots+a_m\left(x_1, \cdots, x_{n-1}\right),
\end{aligned}
$$

其中 $a_i \in K\left[x_1, \cdots, x_{n-1}\right]$ ，且 $a_0 \neq 0$ ．按归纳假设，存在 $b_1, \cdots, b_{n-1} \in K$ ，使 $a_0\left(b_1, \cdots, b_{n-1}\right) \neq 0$ ．现在 $K\left[x_n\right]$ 内多项式

$$
a_0\left(b_1, \cdots, b_{n-1}\right) x_n^m+a_1\left(b_1, \cdots, b_{n-1}\right) x_n^{m-1}+\cdots+a_m\left(b_1, \cdots, b_{n-1}\right)
$$

只有有限多个零点，而 $K$ 中有无限多个元素，故存在 $b_n \in K$ ，使

$$
\begin{aligned}
& a_0\left(b_1, \cdots, b_{n-1}\right) b_n^m+a_1\left(b_1, \cdots, b_{n-1}\right) b_n^{m-1}+\cdots+a_m\left(b_1, \cdots, b_{n-1}\right) \\
& \quad=f\left(b_1, \cdots, b_n\right) \neq 0 .
\end{aligned}
$$

注意，在上面命题的证明中用到了 $K$ 中包含无穷多个元素这一事实，没有这个条件，命题不成立．

下面举一个利用命题1．3处理问题的例子。

`例`设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的两个 $n$ 阶方阵。如果已知 $A, B$在复数域 $\mathbb{C}$ 内相似，证明它们在数域 $K$ 内也相似．

解 设 $T=\left(t_{i j}\right)$ ，考查 $n^2$ 个未知量 $t_{i j}(i, j=1, \cdots, n)$ 的齐次线性方程组：$A T=T B$ ．这个方程组系数矩阵属于数域 $K$ ．因为已知 $A, B$在 $\mathbb{C}$ 上相似，故知此方程组在 $\mathbb{C}$ 上有非零解。根据第七章 $\S 3$ 的引理可知，它们在 $K$ 上也有非零解．设 $T_1, T_2, \cdots, T_s(s \geqslant 1)$ 是它在 $K$ 上的一个基础解系（显然也是它在 $\mathbb{C}$ 上的一个基础解系）。令

$$
T=t_1 T_1+t_2 T_2+\cdots+t_s T_s .
$$

对于任意的 $t_1, t_2, \cdots, t_s \in K$ ，上式的 $T \in M_n(K)$ ，且满足 $A T=T B$ ．我们考查行列式 $|T|=f\left(t_1, \cdots, t_s\right) \in K\left[t_1, \cdots, t_s\right]$ 。因为在 $\mathbb{C}$ 上存在 $a_1$ ， $\cdots, a_s$ ，使 $f\left(a_1, \cdots, a_s\right) \neq 0$ ，故知 $f \neq 0$ ．根据命题 1.3 知，存在 $b_1, \cdots, b_s \in K$ ，使 $f\left(b_1, \cdots, b_s\right) \neq 0$ ．此时 $T=b_1 T_1+\cdots+b_s T_s$ 是 $M_n(K)$ 内一个可逆矩阵，使得 $A T=B T$ ，即 $T^{-1} A T=B$ ，于是 $A$ 与 $B$ 在 $K$ 上相似．

## 本节解读
我们已经知道
$$
x^2 + 3x + 2
$$
是一元多项式。

而
$$
x^2y + 3xy - 2y + 5
$$
这个式子包含了 **x** 和 **y** 两个变量，所以它就是一个**二元多项式**。

同理，我们可以有更多变量，比如 **x, y, z**：
$$
2xyz - x^3 + 7z^2
$$
这就是一个**三元多项式**。

所有这些包含多个变量的多项式的集合，就构成了一个 **多元多项式环**。

对于一个“环”，我们要求：

*   **加法/乘法封闭**：环里的任意两个东西相加或相乘，结果还在这个环里。
    *   *例子*: (x+y) 和 (x-y) 相乘，得到 x² - y²，这仍然是一个二元多项式。
*   **有加法和乘法单位元**：
    *   加法单位元是 **0**（零多项式）。
    *   乘法单位元是 **1**（常数多项式 1）。
*   **满足常见的结合律、分配律**：和我们熟悉的数字运算规则一样。

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