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多变量有理函数域

## 多变量有理函数域
对 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 可仿照 $K[x]$ 的办法构造出多变量有理函数域．现在对此作一简要的叙述。

定义集合

$$
A(K)=\left\{(f, g) \mid f, g \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], g \neq 0\right\} .
$$

在 $A(K)$ 内定义等价关系如下：

$$
(f, g) \sim\left(f_1, g_1\right) \Longleftrightarrow f g_1=f_1 g .
$$

于是 $A(K)$ 的元素被划分为等价类．等价类所成的集合记为 $K\left(x_1, \cdots, x_n\right) .(f, g)$ 所在的等价类记为 $f / g$ ，并称之为**有理分式**，$f$称为**分子**，$g$ 称为**分母**．$\frac{f}{g}=\frac{f_1}{g_1} \Longleftrightarrow f g_1=f_1 g$ ．若 $f$ 与 $g$ 互素，我们把 $f / g$ 称为既约分式．显然，对任意 $h \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], h \neq 0$ ，有 $f / g= f h / g h$ ．因此，任一有理分式等于某个既约分式．

在 $K\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 内定义加法和乘法运算如下：
**加法**
$$
f / g+f_1 / g_1=\left[f g_1+f_1 g\right] / g g_1 ;
$$

**乘法**

$$
f / g \cdot f_1 / g_1=f f_1 / g g_1 .
$$

容易验证，上面的定义在逻辑上无矛盾，且与 $K(x)$ 内的加法、乘法一样，满足域的基本运算法则。因此，我们可以对 $K\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的元素作与数域内相似的加、减、乘、除四则运算．$K\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 称为 $n$ 个不定元（或变元）$x_1, \cdots, x_n$ 的**有理函数域**。此时 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 看做 $K\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的子集，多项式 $f$ 看做 $f / 1 \in K\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 。

在数域 $K$ 上建立起来的线性代数的一般理论以及第九章 §1中关于数域 $K$ 上一元多项式的理论，现在可以平行地推移到 $K\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 上来．

> 本节的内容基本上是前面内容的延伸，很多概念是一致的。

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