最后更新: 2025-10-18 21:51 查看: 41 次纠错评论(0) 课件开VIP

对称多项式

##  对称多项式
在多元多项式中，有一类多项式在应用中特别重要，我们在这一节中将对它作一个系统的阐述。

考查前 $n$ 个自然数所组成的集合 $\Omega=\{1,2, \cdots, n\} . \Omega$ 到自身的一个一一对应称为一个 **$n$ 阶置换**．描述一个 $n$ 阶置换 $\sigma$ ，只要指明它把每个 $k(1 \leqslant k \leqslant n)$ 映射为 $\Omega$ 中的什么元素就可以了。因而 $\sigma$ 可由下面的表来描述：

$$
\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
i_1 & i_2 & i_3 & \cdots & i_n
\end{array}\right) .
$$

上面的表的含意是：$\sigma$ 把 $k$ 变为 $i_k(k=1,2, \cdots, n)$ ．因为 $\sigma$ 是单射，$i_1$ ， $i_2, \cdots, i_n$ 两两不等，从而 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 是前 $n$ 个自然数的一个排列．反之，给定前 $n$ 个自然数的任一排列，也可按此办法定义 $\Omega$ 到自身的一个一一映射，即确定出一个 $n$ 阶置换．全体 $n$ 阶置换组成的集合记做

$S_n$ ，它里面包含 $n!$ 个元素，恰与前 $n$ 个自然数的排列一一对应．在第一章 § 1中已指出，一个集合内任两变换可做乘法。所以，对 $\sigma, \tau \in S_n$ ，其乘积 $\sigma \tau$ 有定义，为 $\Omega$ 连续用 $\tau, \sigma$ 作置换后所得的置换．

现设 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], \sigma \in S_n$ ，定义

$$
\sigma f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=f\left(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right) .
$$

显然有 $\sigma f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ，故 $\sigma$ 定义了 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的一个变换。例如，令

而

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) & =-3 x_1^2 x_3+2 x_2 x_4^2+7 x_1 x_2^2 x_4 \\
\sigma & =\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 1 & 2 & 3
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

则

$$
\begin{aligned}
& \sigma f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \\
& \quad=-3 x_{\sigma(1)}^2 x_{\sigma(3)}+2 x_{\sigma(2)} x_{\sigma(4)}^2+7 x_{\sigma(1)} x_{\sigma(2)}^2 x_{\sigma(4)} \\
& \quad=-3 x_2 x_4^2+2 x_1 x_3^2+7 x_1^2 x_3 x_4
\end{aligned}
$$

我们有如下简单事实：

1）$\sigma(f+g)=\sigma(f)+\sigma(g), \sigma(f g)=\sigma(f) \sigma(g)$ ；
$2)$ 若 $\sigma, \tau \in S_n$ ，则 $\sigma(\tau(f))=(\sigma \tau)(f)$ ．

**定义** 设 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ．如果对一切 $\sigma \in S_n$ ， $\sigma f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，则称 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 是 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的一个**对称多项式**．

对称多项式概念的重要性可以从它与高次代数方程的根之间的密切关系看出来．为了说清楚这个问题，我们考查 $n+1$ 个不定元 $x_1, \cdots, x_n, x$ 的多项式：

$$
\begin{aligned}
f & =\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \cdots\left(x-x_n\right) \\
& =x^n-\sigma_1 x^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma_n
\end{aligned}
$$

其中

$$
\begin{aligned}
& \sigma_1=x_1+x_2+\cdots+x_n \\
& \sigma_2=x_1 x_2+x_1 x_3+\cdots+x_{n-1} x_n \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \sigma_n=x_1 x_2 \cdots x_n
\end{aligned}
$$

$\sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$ 恰为从 $x_1, \cdots, x_n$ 中每次取 $i$ 个（不计排列顺序）连乘，然后再连加所得到的 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的多项式．设 $\sigma \in S_n$ ，显然有

$$
\begin{aligned}
(x & \left.-x_{\sigma(1)}\right)\left(x-x_{\sigma(2)}\right) \cdots\left(x-x_{\sigma(n)}\right) \\
& =x^n-\sigma\left(\sigma_1\right) x^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma\left(\sigma_n\right) \\
& =\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \cdots\left(x-x_n\right) \\
& =x^n-\sigma_1 x^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma_n
\end{aligned}
$$

由此知，$\sigma\left(\sigma_i\right)=\sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，即 $\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n$ 都是 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$内的对称多项式．我们把这 $n$ 个特殊的对称多项式称为**初等对称多项式**。

现在设 $F(x)$ 是数域 $K$ 上一个 $n$ 次首一多项式，根据第九章 $\S 2$ ，它在复数域内可分解为一次因式的乘积：

$$
F(x)=\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right) .
$$

若 $F(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n\left(a_i \in K\right)$ ．按第一章命题2．3，我们有

$$
\sigma_i\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=(-1)^i a_i \in K .
$$

$F(x)$ 的 $n$ 个根（零点）$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 一般不属于 $K$ ，且是未知的，但把它们的值代入初等对称多项式 $\sigma_i\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]$后其值却是 $K$ 内的已知数．

一般地，设 $g\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right) \in K\left[y_1, y_2, \cdots, y_n\right]$ ，把 $y_i$ 换成 $\sigma_i\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，则 $g$ 变为 $K\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]$ 内的多项式

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=g\left(\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n\right) .
$$

现设

$$
g\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)=\sum_{i_1, \cdots, i_n} b_{i_1 \cdots i_n} y_1^{i_1} \cdots y_n^{i_n},
$$

那么

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1, \cdots, i_n} b_{i_1 \cdots i_n} \sigma_1^{i_1} \cdots \sigma_n^{i_n} .
$$

对任意 $\sigma \in S_n$ ，我们有 $\sigma\left(\sigma_i\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right)=\sigma_i\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，而

$$
\begin{aligned}
\sigma f & =\sum_{i_1, \cdots, i_n} b_{i_1 \cdots i_n} \sigma\left(\sigma_1^{i_1} \cdots \sigma_n^{i_n}\right) \\
& =\sum_{i_1, \cdots, i_n} b_{i_1 \cdots i_n}\left(\sigma \sigma_1\right)^{i_1} \cdots\left(\sigma \sigma_n\right)^{i_n}
\end{aligned}
$$

$$
=\sum_{i_1, \cdots, i_n} b_{i_1 \cdots i_n} \sigma_1^{i_1} \cdots \sigma_n^{i_n}=f\left(x_1, \cdots, x_n\right) .
$$

这表明现在 $f$ 是 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内一个对称多项式．
如果把 $F(x)$ 在 $\mathbb{C}$ 内的 $n$ 个根 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 代入 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，因 $\sigma_i\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=(-1)^i a_i$ ，故

$$
\begin{aligned}
f\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) & =\sum_{i_1, \cdots, i_n} b_{i_1 \cdots i_n}\left(-a_1\right)^{i_1} \cdots\left((-1)^n a_n\right)^{i_n} \\
& =g\left(-a_1, a_2, \cdots,(-1)^n a_n\right) \in K .
\end{aligned}
$$

上面的讨论说明，尽管 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $\mathbb{C}$ 内 $n$ 个未知量，但以其值代入对称多项式 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 后所得的函数值却是 $K$ 内的已知数．这样，就为我们提供了一个利用 $K$ 内对称多项式来研究 $K$ 上 $n$ 次代数方程的根（是 $\mathbb{C}$ 内未知数）的途径。

上面的对称多项式是把 $K$ 上的多项式 $g\left(y_1, \cdots, y_n\right)$ 中的 $y_t$ 换为初等对称多项式 $\sigma_i\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 得出的。一个自然的问题是：是否 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内任一对称多项式都可以这样得出呢？回答是肯定的．下面就来证明这个事实．

**引理1** 将 $a \sigma_1^{i_1} \sigma_2^{i_2} \cdots \sigma_n^{i_n}(a \in K)$ 展开成 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的多项式后，其按字典排列法的首项是

$$
a x_1^{i_1+i_2+\cdots+i_n} x_2^{i_2+i_3+\cdots+i_n} \cdots x_n^{i_n}
$$

证 因 $\sigma_i\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的首项是 $x_1 x_2 \cdots x_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，按命题 1． $1, \sigma_i^k$ 的首项是 $x_1^k x_2^k \cdots x_i^k$ ，因而，按同一命题即知引理成立。

**引理2** 给定 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 的两个不同的单项式 $x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ ， $x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_n^{j_n}$ ，则对任意 $\sigma \in S_n, \sigma\left(x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}\right) \neq \sigma\left(x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_n^{j_n}\right)$ ．

证 设

$$
\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
k_1 & k_2 & \cdots & k_n
\end{array}\right) .
$$

若 $\sigma\left(x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}\right)=x_{k_1}^{i_1} x_{k_2}^{i_2} \cdots x_{k_n}^{i_n}=\sigma\left(x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_n^{j_n}\right)=x_{k_1}^{j_1} x_{k_2}^{j_2} \cdots x_{k_n}^{j_n}$ ．按 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内两个多项式相等（为同一元素）的要求可知应有 $i_1= j_1, i_2=j_2, \cdots, i_n=j_n$ ，与假设矛盾。

由引理2即知，对任意 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ，因为 $\sigma f$ 为对 $f$ 的每个单项式用 $\sigma$ 作变换，此时 $f$ 中不同的单项式变为 $\sigma f$ 中

不同单项式，互相之间不会抵消．
**引理3** 给定正整数 $t$ ，定义集合

$$
N(t)=\left\{\left(i_1, i_2, \cdots, i_n\right) \mid i_k \in \mathbb{Z}, 0 \leqslant i_n \leqslant i_{n-1} \leqslant \cdots \leqslant i_1 \leqslant t\right\}
$$

则 $N(t)$ 是一个有限集合．
证 $N(t)$ 中每个元素均为整数分量的 $n$ 维向量，且 $i_k$ 仅能取集合 $\{0,1,2, \cdots, t\}$ 内的值，故 $N(t)$ 最多含 $(t+1)^n$ 个元素。

**引理4** 设 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 是一个对称多项式，它按字典排列法的首项是 $a x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ ，则有 $i_1 \geqslant i_2 \geqslant \cdots \geqslant i_n$ ．

证 如果不然，设 $i_1 \geqslant i_2 \geqslant \cdots \geqslant i_{k-1}$ ，但 $i_k>i_{k-1}$ 。令

$$
\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 2 & \cdots & k-1 & k & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & k & k-1 & \cdots & n
\end{array}\right),
$$

即 $\sigma$ 为互换 $\Omega$ 内 $k-1$ 与 $k$ 两个元素，其他保持不动的变换。 $\sigma(f)$ 是将 $f$ 中各单项式中 $x_{k-1}$ 与 $x_k$ 互换位置所得出的多项式。 $f$ 的首项经这样互换后变为

$$
a x_1^{i_1} \cdots x_k^{i_{k-1}} x_{k-1}^{i_k} \cdots x_n^{i_n}=a x_1^{i_1} \cdots x_{k-1}^{i_k} x_k^{i_{k-1}} \cdots x_n^{i_n} .
$$

因 $f$ 是对称多项式，$\sigma(f)=f$ ，故 $a x_1^{i_1} \cdots x_{k-1}^{i_k} x_k^{i_{k-1}} \cdots x_n^{i_n}$ 也是 $f$ 中的一个单项式（因为按引理 $2, f$ 中单项式在 $\sigma$ 作用下并不会互相抵消），但 $i_k>i_{k-1}$ ，按字典排列法它应先于 $a x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}$ ，与假设矛盾．

## 本章解读

在初中, 我们学过各种各样的多项式, 几个数与字母的积的和就构成了多项式. 例如下面的代数式都是多项式:

$$
x+y, x^2+3 x y+y^2, x y z, x y z^2, x+y^2+z^3 .
$$

类似于平面图形的对称性, **多项式也有对称性**.

例如, 在多项式 $x+y$ 中, 用字母 $x$ 代替字母 $y$, 同时用字母 $y$ 代想字母 $x$, 我们得到一个新的多项式

$$
y+x
$$

虽然这个多项式与原来的多项式形式不同, 但根据数的加法交换律, 我们有

$$
x+y=y+x \text {. }
$$

类似地, 兑换多项式 $x^2+3 x y+y^2$ 中的字般 $x, y$, 可以得到一个新的多项式

$$
y^2+3 y x+x^2 \text {, }
$$

显然, $x^2+3 x y+y^2=y^2+3 y x+x^2$.

类比数字 $1,2,3$ 的置换或正三角形的对称变换, 我们可以这样来替换上述多项式中的字母 $x, y, z$ :

**（1）$x, y, z$ 保持不变, 此时 $x y z \rightarrow x y z$;
（2）用 $x$ 代替 $y, y$ 代替 $x, z$ 代替 $z$, 此时 $x y z \rightarrow y x z$;
（3）用 $x$ 代替 $z, z$ 代替 $x, y$ 代替 $y$, 此时 $x y z \rightarrow z y x$;
（4）用 $y$ 代替 $z, z$ 代替 $y, x$ 代替 $x$, 此时 $x y z \rightarrow x z y$;
（5）用 $x$ 代替 $y, y$ 代替 $z, z$ 代替 $x$, 此时 $x y z \rightarrow z x y$;
（6）用 $x$ 代替 $z, z$ 代替 $y, y$ 代替 $x$, 此时 $x y z \rightarrow y z x$.**

这样, 我们就得到了 6 个相等的多项式, 即

$\begin{array}{lllllll}x y z & y x z & z y x & x z y & z x y & y z x\end{array}$

对于多项式 $x y z^2$, 用 $x$ 代替 $y$, 用 $y$ 代替 $x$, 用 $z$ 代替 $z$, 得到 $y x z^2=x y z^2$. 而任何涉及到字母 $z$ 的替换都会使原来的多项式改变, 如用 $x$ 代替 $z$, 用 $z$ 代替 $x$, 用 $y$ 代替 $y$,得到 $z y x^2, z y x^2 \neq x y z^2$. 所以用字母替换的办法, 我们得到两个相等的多项式
$x y z^2 \quad y x z^2$
最后, 在多项式 $x+y^2+z^3$ 中, 任何字母的替换都会使原多项式改变, 因而我们得到唯一的一个多项式

$$
x+y^2+z^3
$$

> 所以，我们可以利用对多项式的这种字母替换来定义多项式的对称变换.

### 作用

我们来看两个例子. 设 $x_1, x_2$ 是给定的一元二次方程

$$
x^2-c_1 x+c_2=0
$$

的两个根, 那么它们与系数有下列关系项式.

$$
\left\{\begin{array}{l}
c_1=x_1+x_2, \\
c_2=x_1 \cdot x_2 .
\end{array}\right.
$$

类似地, 设 $x_1, x_2, x_3$ 是一元三次方程 $x^3-c_1 x^2+c_2 x-c_3=0$ 的根, 那么有下列关系

$$
\left\{\begin{array}{l}
c_1=x_1+x_2+x_3, \\
c_2=x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3, \\
c_3=x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 .
\end{array}\right.
$$

上面这2个方程，都展现了根的对称美。

详见 [群论入门](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=213)

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