最后更新: 2025-10-18 21:51 查看: 13 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

对称多项式

##  对称多项式
在多元多项式中，有一类多项式在应用中特别重要，我们在这一节中将对它作一个系统的阐述。

考查前 $n$ 个自然数所组成的集合 $\Omega=\{1,2, \cdots, n\} . \Omega$ 到自身的一个一一对应称为一个 **$n$ 阶置换**．描述一个 $n$ 阶置换 $\sigma$ ，只要指明它把每个 $k(1 \leqslant k \leqslant n)$ 映射为 $\Omega$ 中的什么元素就可以了。因而 $\sigma$ 可由下面的表来描述：

$$
\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
i_1 & i_2 & i_3 & \cdots & i_n
\end{array}\right) .
$$

上面的表的含意是：$\sigma$ 把 $k$ 变为 $i_k(k=1,2, \cdots, n)$ ．因为 $\sigma$ 是单射，$i_1$ ， $i_2, \cdots, i_n$ 两两不等，从而 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 是前 $n$ 个自然数的一个排列．反之，给定前 $n$ 个自然数的任一排列，也可按此办法定义 $\Omega$ 到自身的一个一一映射，即确定出一个 $n$ 阶置换．全体 $n$ 阶置换组成的集合记做

$S_n$ ，它里面包含 $n!$ 个元素，恰与前 $n$ 个自然数的排列一一对应．在第一章 § 1中已指出，一个集合内任两变换可做乘法。所以，对 $\sigma, \tau \in S_n$ ，其乘积 $\sigma \tau$ 有定义，为 $\Omega$ 连续用 $\tau, \sigma$ 作置换后所得的置换．

现设 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right], \sigma \in S_n$ ，定义

$$
\sigma f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=f\left(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right) .
$$

显然有 $\sigma f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ，故 $\sigma$ 定义了 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的一个变换。例如，令

而

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) & =-3 x_1^2 x_3+2 x_2 x_4^2+7 x_1 x_2^2 x_4 \\
\sigma & =\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 1 & 2 & 3
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

则

$$
\begin{aligned}
& \sigma f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \\
& \quad=-3 x_{\sigma(1)}^2 x_{\sigma(3)}+2 x_{\sigma(2)} x_{\sigma(4)}^2+7 x_{\sigma(1)} x_{\sigma(2)}^2 x_{\sigma(4)} \\
& \quad=-3 x_2 x_4^2+2 x_1 x_3^2+7 x_1^2 x_3 x_4
\end{aligned}
$$

我们有如下简单事实：

1）$\sigma(f+g)=\sigma(f)+\sigma(g), \sigma(f g)=\sigma(f) \sigma(g)$ ；
$2)$ 若 $\sigma, \tau \in S_n$ ，则 $\sigma(\tau(f))=(\sigma \tau)(f)$ ．

**定义** 设 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ ．如果对一切 $\sigma \in S_n$ ， $\sigma f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，则称 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 是 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的一个**对称多项式**．

对称多项式概念的重要性可以从它与高次代数方程的根之间的密切关系看出来．为了说清楚这个问题，我们考查 $n+1$ 个不定元 $x_1, \cdots, x_n, x$ 的多项式：

$$
\begin{aligned}
f & =\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \cdots\left(x-x_n\right) \\
& =x^n-\sigma_1 x^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma_n
\end{aligned}
$$

其中

$$
\begin{aligned}
& \sigma_1=x_1+x_2+\cdots+x_n \\
& \sigma_2=x_1 x_2+x_1 x_3+\cdots+x_{n-1} x_n \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \sigma_n=x_1 x_2 \cdots x_n
\end{aligned}
$$

$\sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$ 恰为从 $x_1, \cdots, x_n$ 中每次取 $i$ 个（不计排列顺序）连乘，然后再连加所得到的 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内的多项式．设 $\sigma \in S_n$ ，显然有

$$
\begin{aligned}
(x & \left.-x_{\sigma(1)}\right)\left(x-x_{\sigma(2)}\right) \cdots\left(x-x_{\sigma(n)}\right) \\
& =x^n-\sigma\left(\sigma_1\right) x^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma\left(\sigma_n\right) \\
& =\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \cdots\left(x-x_n\right) \\
& =x^n-\sigma_1 x^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma_n
\end{aligned}
$$

由此知，$\sigma\le

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