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简并态微扰论

1．简并微扰体系方程
假设分立能级 $E_n{ }^{(0)}$ 是简并的，则属于 $\hat{H}^{(0)}$ 的本征值 $E_n{ }^{(0)}$ 有 $k$ 个归一化本征函数，即 $\left|n_1\right\rangle,\left|n_1\right\rangle, \cdots,\left|n_k\right\rangle$ ，它们是相互正交的，即 $\langle n \alpha \mid n \beta\rangle=\delta_{\alpha \beta}$（见第4章）．

本征方程为

$$
\left(\hat{H}^{(0)}-E_n^{(0)}\right)|n \alpha\rangle=0, \quad \alpha=1,2,3, \cdots, k
$$

其共轭方程为

$$
\langle n \alpha|\left(\hat{H}^{(0)}-E_n^{(0)}\right)=0, \quad \alpha=1,2,3, \cdots, k
$$

在简并情况下，加入微扰式（8．4）后，首先需要选取零级近似波函数，然后才可求解能量和波函数的各级修正．从 $k$ 个本征函数 $|n \alpha\rangle$ 中挑选零级近似波函数，

需要满足 8.1 节按 $\lambda$ 幂次分类得到的方程（8．8），即

$$
\left(\hat{H}^{(0)}-E_n^{(0)}\right)\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle=-\left(\hat{H}^{\prime}-E_n^{(1)}\right)\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle
$$

因此，要选取零级近似波函数 $\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle$ ，最好的方法是将其表示成 $k$ 个本征函数 $|n \alpha\rangle(\alpha=1,2, \cdots, k)$ 的线性组合，且它们是相互正交的，故令

$$
\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle=\sum_{\alpha=1}^k c_\alpha|n \alpha\rangle
$$

其中 $c_\alpha$ 应由 $\lambda$ 一次幂方程确定，故将上式代人式（8．8），得

$$
\begin{aligned}
\left(\hat{H}^{(0)}-E_n^{(0)}\right)\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle & =-\left(\hat{H}^{\prime}-E_n^{(1)}\right) \sum_{\alpha=1}^k c_\alpha|n \alpha\rangle \\
& =E_n^{(1)} \sum_{\alpha=1}^k c_\alpha|n \alpha\rangle-\sum_{\alpha=1}^k c_\alpha \hat{H}^{\prime}|n \alpha\rangle
\end{aligned}
$$

将上式两边左乘 $\langle n \beta|$ 得
$$
\begin{aligned}
\langle n \beta|\left(\hat{H}^{(0)}-E_n^{(0)}\right)\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle & =E_n^{(1)} \sum_{\alpha=1}^k c_\alpha\langle n \beta \mid n \alpha\rangle-\sum_{\alpha=1}^k c_\alpha\langle n \beta| \hat{H}^{\prime}|n \alpha\rangle \\
& =E_n^{(1)} \sum_{\alpha=1}^k c_\alpha \delta_{\beta \alpha}-\sum_{\alpha=1}^k c_\alpha H_{\beta \alpha}^{\prime} \\
& =\sum_{\alpha=1}^k\left(E_n^{(1)} \delta_{\beta \alpha}-H_{\beta \alpha}^{\prime}\right) c_\alpha
\end{aligned}
$$

上式左边等于 0 ，因为 $\langle n \beta|\left(\hat{H}^{(0)}-E_n^{(0)}\right)=0$ ，所以得

$$
\sum_{\alpha=1}^k\left(H_{\beta \alpha}^{\prime}-E_n^{(1)} \delta_{\beta \alpha}\right) c_\alpha=0
$$

其中，$H_{\beta \alpha}^{\prime}=\langle n \beta| \hat{H}^{\prime}|n \alpha\rangle$ 。式（8．22）是以展开系数 $c_\alpha$ 为末知数的齐次线性方程组，它具有非零解的条件是系数行列式为零，即

$$
\left|\begin{array}{cccc}
H_{11}^{\prime}-E_n^{(1)} & H_{12}^{\prime} & \cdots & H_{1 k}^{\prime} \\
H_{21}^{\prime} & H_{22}^{\prime}-E_n^{(1)} & \cdots & H_{2 k}^{\prime} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
H_{k 1}^{\prime} & H_{k 2}^{\prime} & \cdots & H_{k k}^{\prime}-E_n^{(1)}
\end{array}\right|=0
$$

解此久期方程，可得能量的一级修正 $E_n^{(1)}$ 的 $k$ 个根：$E_{n v}^{(1)}, v=1,2, \cdots, k$ 。因为 $E_{n v} =E_n^{(0)}+E_{n v}^{(1)}$ ，所以，若这 $k$ 个根都不相等，那么一级微扰就可以将 $k$ 度简并完全消除。若 $E_{n v}^{(1)}$ 有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。

为了确定能量 $E_{n v}$ 所对应的零级近似波函数，可以把 $E_{n v}^{(1)}$ 之值代入线性方程组（8．22），从而解得一组 $c_\alpha(\alpha=1,2, \cdots, k)$ 系数，将该组系数代回．式（8．21）就可得到相应的零级近似波函数．

为了表示出 $c_\alpha$ 是对应于第 $v$ 个能量一级修正 $E_{n v}{ }^{(1)}$ 的一组系数，我们在其上加上角标 $v$ 而改写成 $c_{\alpha v}$ 。如此，线性方程组（8．22）就改写成

$$
\sum_{\alpha=1}^k\left(H_{\beta \alpha}^{\prime}-E_{n v}^{(1)} \delta_{\beta \alpha}\right) c_{\alpha v}=0, \quad \beta=1,2, \cdots, k
$$

对应于 $E_{n v}^{(1)}$ 修正的零级近似波函数改为

$$
\left|\psi_{n v}^{(0)}\right\rangle=\sum_{\alpha=1}^k c_{\alpha v}|n \alpha\rangle
$$

2．波函数的正交归一性
由式（8．24）和式（8．25）求得的新零级波函数是正交归一的．证明如下．
1）波函数的正交性
对式（8．24）两边取复共轭

$$
\sum_{\alpha=1}^k\left[\left(H_{\beta \alpha}^{\prime}\right)^*-E_{n v}^{(1)} \delta_{\beta \alpha}\right] c_{\alpha v}^*=0
$$

由于 $\hat{H}^{\prime}$ 的厄米性，有

$$
\left(H_{\beta \alpha}^{\prime}\right)^*=\langle n \beta| \hat{H}^{\prime}|n \alpha\rangle^*=\langle n \alpha| \hat{H}^{\prime+}|n \beta\rangle=\langle n \alpha| \hat{H}^{\prime}|n \beta\rangle=H_{\alpha \beta}^{\prime}
$$

所以

$$
\sum_{\alpha=1}^k\left(H_{\alpha \beta}^{\prime}-E_{n v}^{(1)} \delta_{\beta \alpha}\right) c_{\alpha v}^*=0
$$

改记求和指标，将 $\alpha 、 \beta$ 对换，将 $v 、 \gamma$ 对换，上式变为

$$
\sum_{\beta=1}^k\left(H_{\beta \alpha}^{\prime}-E_{n \gamma}^{(1)} \delta_{\alpha \beta}\right) c_{\beta \gamma}^*=0
$$

作等式

$$
\sum_{\beta=1}^k(8.24) \times c_{\beta \gamma}^*-\sum_{\alpha=1}^k(8.26) \times c_{\alpha v}=0
$$

得

$$
\sum_{\beta=1}^k \sum_{\alpha=1}^k\left(H_{\beta \alpha}^{\prime}-E_{n v}^{(1)} \delta_{\beta \alpha}\right) c_{\beta \gamma}^* c_{\alpha v}-\sum_{\alpha=1}^k \sum_{\beta=1}^k\left(H_{\beta \alpha}^{\prime}-E_{n \gamma}^{(1)} \delta_{\alpha \beta}\right) c_{\alpha v} c_{\beta \gamma}^*=0
$$

将 $\hat{H}^{\prime}$ 矩阵元消去，得

$$
\sum_{\alpha=1}^k \sum_{\beta=1}^k\left(E_{n \gamma}^{(1)}-E_{n v}^{(1)}\right) \delta_{\beta \alpha} c_{\beta \gamma}^* c_{\alpha v}=0
$$

即

$$
\left(E_{n \gamma}^{(1)}-E_{n v}^{(1)}\right) \sum_{\alpha=1}^k c_{\alpha \gamma}^* c_{\alpha v}=0
$$

对于 $E_{n \gamma}^{(1)} \neq E_{n v}^{(1)}$ 的根

$$
\sum_{\alpha=1}^k c_{\alpha \gamma}^* c_{\alpha \nu}=0
$$

设对应 $E_{n v}=E_n^{(0)}+E_{n v}^{(1)}$ 和 $E_{n v}=E_n^{(0)}+E_{n v}^{(1)}$ 的零级近似本征函数分别为

$$
\left|\psi_{n v}^{(0)}\right\rangle=\sum_{\alpha=1}^k c_{\alpha v}|n \alpha\rangle, \quad\left|\psi_{n \gamma}^{(0)}\right\rangle=\sum_{\beta=1}^k c_{\beta \gamma}|n \beta\rangle
$$

此时角标 $v \neq \gamma$ ，作标积

$$
\begin{aligned}
\left\langle\psi_{n \gamma}^{(0)} \mid \psi_{n v}^{(0)}\right\rangle & =\sum_{\alpha=1}^k \sum_{\beta=1}^k c_{\beta \gamma}^* c_{\alpha v}\langle n \beta \mid n \alpha\rangle \\
& =\sum_{\alpha=1}^k \sum_{\beta=1}^k c_{\beta \gamma}^* c_{\alpha v} \delta_{\alpha \beta}=\sum_{\alpha=1}^k c_{\alpha \gamma}^* c_{\alpha v}=0
\end{aligned}
$$

上式的最后一步利用了式（8．27）．上式表明，新零级近似波函数满足正交条件．
2）波函数的归一性
对于同一能量，即角标 $v=\gamma$ ，故上式变为

$$
\left\langle\psi_{n \gamma}^{(0)} \mid \psi_{n \gamma}^{(0)}\right\rangle=\sum_{\alpha=1}^k c_{\alpha \gamma}^* c_{\alpha \gamma}=1
$$

上式利用了新零级近似波函数应满足归一化条件．可将式（8．28）和式（8．29）合记为

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