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张量

4.3 张 量

流形上的张量与闵氏时空中的张量定义类似，这里不再赘述．在点 $p$ 处一个 $(k, l)$型张量 $\widehat{T}$ 可以展开为

$$
\widehat{T}=T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l} \partial_{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \partial_{\mu_k} \otimes \mathrm{~d} x^{\nu_1} \otimes \cdots \in \mathrm{~d} x^{\nu_l}
$$
此时，张量分量的变换规律是

$$
T^{\mu_1^{\prime} \cdots \mu_k^{\prime}}{ }_{\nu_1^{\prime} \cdots \nu_l^{\prime}}^{\prime}=\frac{\partial x^{\mu_1^{\prime}}}{\partial x^{\mu_1}} \cdots \frac{\partial x^{\mu_k^{\prime}}}{\partial x^{\mu_k}} \frac{\partial x^{\nu_1}}{\partial x^{\nu_1^{\prime}}} \cdots \frac{\partial x^{\nu_l}}{\partial x^{\nu_l^{\prime}}} T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l} .
$$

实际上这个变换规律很容易记住：只要注意上下标的匹配即可．对于上标，变换一定是 $\frac{\partial x^{\mu_1^{\prime}}}{\partial x^{\mu_1}}$ ，而对于下标，变换正好相反．与矢量、对偶矢量一样，在流形上可以一般性地定义张量场．

在平直时空中定义的张量运算大部分都适用于流形上的张量场，比如指标的缩并、对称化和反对称化、指标的升降、求迹等．但在流形上的张量有三个重要的例外：
（1）导数运算；
$(2)$ 度规场；
（3）列维－齐维塔张量．
首先我们来看导数运算．在闵氏时空中如果我们采用直角坐标系，很容易看出一个张量的导数运算可以定义一个新的张量，而在弯曲空间中却并非如此．对于标量函数而言，其梯度是一个合法的 $(0,1)$ 张量．然而一般而言，一个张量的偏导数不再是张量．譬如说，一个 1 形式的偏导数不再是张量了．这一点很容易从分量的坐标变换中看出：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x^{\mu^{\prime}}} W_{\nu^{\prime}} & =\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left(\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} W_\nu\right) \\
& =\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}}\left(\frac{\partial}{\partial x^\mu} W_\nu\right)+W_\nu \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial}{\partial x^\mu} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} .
\end{aligned}
$$

右边第一项符合一个张量的变换规律，而多出来的第二项破坏了在坐标变换下的协变性．如何对偏导数进行修改以得到一个在坐标变换下协变的导数是一个有趣的问题．我们将在下一章中学习如何自洽地定义导数．
4.4 度规张量场

度规张量是一个对称 $(0,2)$ 张量，记为 $\hat{g}$ 或者分量形式 $g_{\mu \nu}$ ．由于流形的维数是不变的，度规张量场应是非退化的：$g=\operatorname{det}\left(g_{\mu \nu}\right) \neq 0 . g_{\mu \nu}$ 的逆也是对称的，是一个 $(2,0)$张量的分量，满足

$$
g^{\mu \nu} g_{\nu \sigma}=\delta_\sigma^\mu
$$

与平直空间中的度规一样，我们可以利用度规场 $g_{\mu \nu}$ 和 $g^{\mu \nu}$ 来升降弯曲空间中张量的指标，也可以用来定义矢量间或者 1 形式间的内积．由于 $g_{\mu \nu}^{\prime}$ 是对称的，它在 $n$ 维空

间中有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个独立分量．
度规张量场在广义相对论中具有特别重要的物理意义．首先，由于它定义了局部的几何，可以用它来计算一些几何量，如类空曲线的长度和类时曲线的固有时等。进一步地，它可以帮助我们确定两点之间的＂最短距离＂．物理上，它将确定试探粒子在弯曲时空中的运动。此外，它可以定义两个矢量间的标量积，从而确定矢量是类时、类空或者零矢量，这样也就确定了曲线在时空流形中的属性，并由此定义因果性，告诉我们什么是＂过去＂和＂未来＂．爱因斯坦的等效原理要求时空流形局部必须是平直的，因此度规张量场应该局部地取闵氏度规的形式，也就是说度规张量场提供了一个局部惯性系的意义．在后面的学习中我们还将看到，在牛顿近似下，度规场与闵氏度规的偏离给出通常的牛顿引力势．在此情形下，度规张量场具有非常明确的物理意义．

我们首先来看它如何帮助我们了解局部几何．考虑两个间隔为无穷小的点 $P$ 和 $Q$ ．它们可以在同一坐标卡中描述，

$$
P: x^\mu, \quad Q: x^\mu+\mathrm{d} x^\mu .
$$

它们间的＂距离＂或＂间隔＂线元为某函数

$$
\mathrm{d} s^2=f\left(x^a, \mathrm{~d} x^a\right) .
$$

这个函数确定了局部几何．比如说，考虑 2 维芬斯勒（Finsler）几何，

$$
\mathrm{d} s^2=\left(\mathrm{d} \xi^4+\mathrm{d} \zeta^4\right)^{1 / 2}
$$

而在（赝）黎曼几何中，函数 $f$ 由度规场给出，

$$
\mathrm{d} s^2=g_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu
$$

从 $P$ 到 $Q$ ，近似地我们有一个无穷小矢量 $\mathrm{d} \widehat{s}$ ：

$$
\mathrm{d} \widehat{s}=\mathrm{d} x^\mu \widehat{e}_\mu
$$

注意这里的 $\mathrm{d} x^\mu$ 代表着无穷小矢量的分量，而非1形式，则

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} \widehat{s} \cdot \mathrm{~d} \widehat{s}=\left(\widehat{e}_\mu \cdot \widehat{e}_\nu\right) \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu=g_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu
$$

这里我们已经用到了两个基矢的内积由度规场来定义：

$$
\begin{aligned}
\widehat{e}_\mu \cdot \widehat{e}_\nu & =\widehat{g}\left(\widehat{e}_\mu, \widehat{e}_\nu\right)=g_{\sigma \rho} \widehat{\theta}^\sigma\left(\widehat{e}_\mu\right) \widehat{\theta}^\rho\left(\widehat{e}_\nu\right) \\
& =g_{\sigma \rho} \delta_\mu^\sigma \delta_\nu^\rho=g_{\mu \nu}
\end{aligned}
$$
度规张量场可以通过坐标变换局部地写成正则的对角形式：

$$
g_{\mu \nu}=\operatorname{diag}(-1,-1, \cdots,-1,+1,+1, \cdots,+1,0,0, \cdots, 0),
$$

此处我们没有要求度规是非退化的．如果加上非退化条件，对角矩阵中的 0 元素都不存在．此时，我们把上面对角矩阵中＂+1 ＂的数目记作 $s$, ＂-1 ＂的数目记作 $t$ ，那么 $s-t$是一个拓扑不变量，称为号差（signature）．另一方面，$s+t$ 当然是时空的维数，也是一个拓扑不变量．如果 $t=0$ ，则度规称为欧氏的（整体平直时）或者黎曼的．如果 $t=1$ ，它称为洛伦兹的或者赝黎曼的。如果一个度规场是连续的，它的阶和号差在每一点都是相同的．

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