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黎曼法坐标

4．4．1 黎曼法坐标
如果我们认为引力的相对论性理论应该通过弯曲时空来描述，那么首先需要验证爱因斯坦关于局部惯性系的结论，即在时空中每一点的邻域应该有局部惯性系（LIF）．在这个惯性系中，度规应该取闵氏时空的度规，或者说取前述的正则形式．这对度规场提出了要求．这样的正则形式总是存在的吗？我们将证明，通过选取合适的坐标系，在某点 $p \in M$ 这总是可行的．实际上，我们可以做得更好，可以使度规场的一阶导数在此点为零，但不能做到让所有的二阶导数为零。

命题 在流形某点 $p$ 的邻域，总存在坐标系，使度规及其导数满足

$$
\begin{array}{r}
\left.g_{\mu \nu}\right|_p=\eta_{\mu \nu}, \\
\left.\partial_\sigma g_{\mu \nu}\right|_p=0, \\
\left.\partial_\sigma \partial_\rho g_{\mu \nu}\right|_p \text { 不一定全为 } 0 .
\end{array}
$$

证明 在坐标变换下，度规场变换如

$$
g_{\mu^{\prime} \nu^{\prime}}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} g_{\mu \nu}
$$

不失一般性，我们把 $p$ 点在两个坐标系中都取作原点，即 $x^\mu(p), x^{\mu^{\prime}}(p)=0$ ，则在 $p$ 点附近的坐标可以有泰勒（Taylor）展开

$$
x^\mu=\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}}\right)_p x^{\mu^{\prime}}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 x^\mu}{\partial x^{\mu_1^{\prime}} \partial x^{\mu_2^{\prime}}}\right)_p x^{\mu_1^{\prime}} x^{\mu_2^{\prime}}+\frac{1}{6}\left(\frac{\partial^3 x^\mu}{\partial x^{\mu_1^{\prime}} \partial x^{\mu_2^{\prime}} \partial x^{\mu_3^{\prime}}}\right)_p x^{\mu_1^{\prime}} x^{\mu_2^{\prime}} x^{\mu_3^{\prime}}+\cdots,
$$

而度规场也可以展开为

$$
g_{\mu \nu}=\left(g_{\mu \nu}\right)_p+(\partial g)_p\left(\frac{\partial x}{\partial x^{\prime}}\right)_p x^{\prime}+(\partial g)_p\left(\frac{\partial^2 x}{\partial x^{\prime} \partial x^{\prime}}\right)_p x^{\prime} x^{\prime}+\left(\partial^2 g\right)_p\left(\frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial x}{\partial x^{\prime}}\right)_p x^{\prime} x^{\prime}+\cdots
$$

这里我们忽略了可能的指标结构和数值因子．假定原坐标是 $x^\mu$ ，而要寻找的坐标是 $x^{\mu^{\prime}}$ 。将变换式（4．45）的两端都展开到 $x^{\prime}$ 的二阶，有

$$
\begin{aligned}
\left(g^{\prime}\right)_p & +\left(\partial^{\prime} g^{\prime}\right)_p x^{\prime}+\left(\partial^{\prime} \partial^{\prime} g^{\prime}\right)_p x^{\prime} x^{\prime} \\
\approx & \left(\frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} g\right)_p+\left(\frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial^2 x}{\partial x^{\prime} \partial x^{\prime}} g+\frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} \partial^{\prime} g\right)_p x^{\prime} \\
& +\left(\frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial^3 x}{\partial x^{\prime} \partial x^{\prime} \partial x^{\prime}} g+\frac{\partial^2 x}{\partial x^{\prime} \partial x^{\prime}} \frac{\partial^2 x}{\partial x^{\prime} \partial x^{\prime}} g+\frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial^2 x}{\partial x^{\prime} \partial x^{\prime}} \partial^{\prime} g\right. \\
& \left.+\frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial x}{\partial x^{\prime}} \partial^{\prime} \partial^{\prime} g\right)_p x^{\prime} x^{\prime}
\end{aligned}
$$

这里为表达简洁，我们略去了所有的指标，这些指标很容易就可以恢复上去。让我们仔细研究一下上式的左右两边．具体地，我们讨论 $n$ 维流形的情形．

（1） 0 阶：（4．48）式左边的 $g^{\prime}$ 有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个自由度，右边由矩阵 $\left(\partial x^\mu / \partial x^{\mu^{\prime}}\right)_p$ 确定，这个矩阵有 $n \times n=n^2$ 个自由度，因此有足够的自由度来使 $g_{\mu^{\prime} \nu^{\prime}}(p)$ 取正则的形式，额外多出的 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个自由度正好是在局部惯性系中洛伦兹群生成元的个数。
（2） 1 阶：（4．48）式左边 $\partial_\sigma^{\prime} g_{\mu \nu}^{\prime}$ 有 $n \times \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2(n+1)}{2}$ 个自由度，而右边额外的自由度由 $\left(\partial^2 x^\mu / \partial x^{\mu_1^{\prime}} \partial x^{\mu_2^{\prime}}\right)_p$ 确定，它有 $n \times \frac{n(n+1)}{2}$ 个（因为 $\mu_1^{\prime}, \mu_2^{\prime}$ 对称）自由度，因此刚好有足够的自由度使 $\partial_\sigma^{\prime} g_{\mu \nu}^{\prime}=0$ ．
（3） 2 阶：（4．48）式左边 $\partial_\rho^{\prime} \partial_\sigma^{\prime} g_{\mu \nu}^{\prime}$ 有 $\frac{n(n+1)}{2} \times \frac{n(n+1)}{2}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ 个自由度，右边 $\left(\partial^3 x^\mu / \partial x^{\mu_1^{\prime}} \partial x^{\mu_2^{\prime}} \partial x^{\mu_3^{\prime}}\right)_p$ 有 $n \times \frac{n(n+1)(n+2)}{3 \times 2 \times 1}=\frac{n^2(n+1)(n+2)}{6}$ 个（由于 $\mu_1^{\prime}, \mu_2^{\prime}, \mu_3^{\prime}$ 全对称，所以有 $\frac{(n+2) \times(n+1) \times n}{3 \times 2 \times 1}$ 个）自由度，因此没有足够多的自由度使 $\partial^{\prime} \partial^{\prime} g^{\prime}=0$ ．实际上，所缺乏的 $\frac{n^2(n-1)^2}{12}$ 个自由度正好是 $n$ 维流形中独立的黎曼张量（曲率张量）的个数．一般而言，黎曼张量通常是非零的，流形非平直．
实现条件（4．44）的这种坐标称为黎曼法坐标（Riemann normal coordinates，简记为 RNC），而相应的基矢构成了局部洛伦兹惯性系．在黎曼法坐标中，在 $p$ 处的度规在一阶看起来像平直空间的度规．

度规场的引入可以帮助我们研究流形的局部几何，而不需依赖嵌人。局部几何是流形的内禀性质．考虑一张平直的纸，在直角坐标下其度规为 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$ ，有一只虫子在纸上．如果这张纸被卷成圆筒，虫子无法探测出曲面的几何性质的不同，如图
4.11 所示 ${ }^{(6)}$ 。这个曲面可以很容易地打开恢复原状，而不会留下任何褶皱、撕裂或者形变．更准确地说，圆柱面的度规是

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} z^2+a^2 \mathrm{~d} \phi^2 .
$$

令 $x=z, y=a \phi$ ，度规变成平面的度规．因此，圆柱面并非自身是内禀弯曲的，它看起来是弯曲的来自其在高维空间的嵌人，这个曲率是外部的（extrinsic）。显然，如果我们可以找到整体定义的坐标变换使某个流形的度规都变成欧氏空间的形式，则这个流形一定是内禀平直的．

![图片](/uploads/2025-11/ba59ec.jpg)

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