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球面上的几何

4．4．2 球面上的几何
下面我们看一个非平凡的例子：二维球面 $S^2$ ．它不可能通过一张平直的纸不经过撕裂或者变形来得到，其内禀几何是不同的．它的度规是

$$
\mathrm{d} s^2=a^2\left(\mathrm{~d} \theta^2+\sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2\right),
$$

这个度规不能通过任何坐标变换把整个曲面变成平直空间的度规形式 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$ ．实际上，后面我们将看到它具有非零曲率，反比于球面半径的平方，而且在此球面上三角形的内角和大于 $\pi$ 。

我们可以利用在三维欧氏空间 $R^3$ 中嵌入来描述这个球面．利用直角坐标，三维欧氏空间 $R^3$ 的度规是我们熟知的

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2 .
$$
而在球坐标中，

$$
\begin{aligned}
& x=r \sin \theta \cos \phi \\
& y=r \sin \theta \sin \phi \\
& z=r \cos \theta
\end{aligned}
$$

所以度规变为

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \theta^2+r^2 \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2 .
$$

尽管空间是相同的，但不同的坐标系给出不同的度规．此外，在球坐标中的度规在 $r=0$处似乎有奇异性，但是我们知道 $r=0$ 与别的点没有什么不同，这个奇异性来自坐标的选择．

在三维欧氏空间中，二维球面由如下方程定义：

$$
x^2+y^2+z^2=a^2
$$

由此我们有

$$
\mathrm{d} z=-\frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{z}
$$

所以球面上的诱导度规为（即通过欧氏空间中的度规来诱导）

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\frac{(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)^2}{a^2-x^2-y^2}
$$

考虑北极点 $A: x=y=0$ ．在此点附近度规为 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$ ，即此点附近的几何可以近似为二维欧氏平面。由于球面对称性，此结论对任意点都适用．利用极坐标 $x=\rho \cos \phi, y=\rho \sin \phi$ ，度规可写作

$$
\mathrm{d} s^2=\frac{a^2 \mathrm{~d} \rho^2}{a^2-\rho^2}+\rho^2 \mathrm{~d} \phi^2
$$

在此坐标系中，坐标 $\rho$ 的几何意义是球面上的点到穿过南北极的中心轴的距离，取值从 0 到 $a$ ，而角坐标 $\phi$ 是垂直于中心轴的面与球面的相交圆的角坐标，取值从 0 到 $2 \pi$ ．上面的度规看起来有奇异性，在 $\rho=a$ 或者 $\sqrt{x^2+y^2}=a$ ，即球面赤道处，度规是奇异的．然而，我们知道球面上各点应该没有差别，也就是说赤道上的点与其他地方没有什么不同．因此，这个奇异性应该来自坐标选择，即为坐标奇异性．坐标奇异性是无害的，可以通过选择合适的坐标来避免．

在弯曲空间中，两点间的距离是

$$
L_{A B}=\int_A^B \mathrm{~d} s=\int_A^B \sqrt{g_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu}
$$

显然，距离取决于连接 $A$ 和 $B$ 点间的路径．如果这条路径由 $x^\mu(\lambda)$ 来参数化，则距离为

$$
L_{A B}=\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}} \mathrm{~d} \lambda
$$

而在弯曲空间中曲面的面积元可以如下确定。为简单计，假定度规取对角的形式，即 $g_{\mu \nu}(x)=0$ ，当 $\mu \neq \nu$ 。度规为 $\mathrm{d} s^2=g_{11}\left(\mathrm{~d} x^1\right)^2+\cdots+g_{N N}\left(\mathrm{~d} x^N\right)^2$ 。对这样的度规，我们可以对每个坐标重新标度，从而使度规变成正则形式．换句话说，我们可以对每个坐标方向定义固有长度 $\sqrt{g_{11}} \mathrm{~d} x^1, \sqrt{g_{22}} \mathrm{~d} x^2, \cdots$ ．利用固有长度，在 $x^3, \cdots, x^N$ 坐标上取固定值所定义曲面的面积元为

$$
\mathrm{d} A=\sqrt{\left|g_{11} g_{22}\right|} \mathrm{d} x^1 \mathrm{~d} x^2 .
$$

也就是说，对平直空间，面积元是两个垂直方向的无穷小位移的乘积．对于其他高维曲面，其固有体积元可以类似地定义。

我们以前面介绍的二维球面为例来说明长度和面积的计算．取度规（4．57），即 $g_{\rho \rho}= \frac{a^2}{a^2-\rho^2}, g_{\phi \phi}=\rho^2$ ．考虑球面上的一个圆，如图 4.12 所示，

$$
\rho=R .
$$

![图片](/uploads/2025-11/58f835.jpg)
 
 如同平面上的圆定义为距某点距离相等的曲线，球面上的圆可以类似定义．我们以北极点为圆心，距离北极点距离相同的线实际上就是纬线，但是此时的圆半径是圆沿经线到北极的距离．

（1）从北极到圆所在位置是利用一条经线，即 $\phi=$ 常数，在球面上的距离

$$
D=\int_0^R \frac{a}{\sqrt{a^2-\rho^2}} \mathrm{~d} \rho=a \sin ^{-1}(R / a)
$$

这实际上给出了球面上圆的半径．
（2）圆的周长 $C=\int_0^{2 \pi} R \mathrm{~d} \phi=2 \pi R$ ．
（3）由圆到极点形成的帽子的面积

$$
A=\int_0^{2 \pi} \int_0^R \frac{a}{\sqrt{a^2-\rho^2}} \rho \mathrm{~d} \rho \mathrm{~d} \phi=2 \pi a^2\left(1-\left(1-\frac{R^2}{a^2}\right)^{1 / 2}\right)
$$

我们应该利用球面上的圆半径 $D$ 来表达球面上圆的周长和面积，由此得到

$$
C=2 \pi a \sin (D / a), \quad A=2 \pi a^2(1-\cos (D / a)) .
$$

当 $D$ 增加时，$C$ 和 $A$ 也同时增加，直到当 $D=\frac{\pi a}{2}$ 时，即赤道处．球面上圆的周长与半径之比为

$$
\frac{C}{D}=2 \pi \frac{\sin (D / a)}{D / a}<2 \pi
$$

只有当 $D \ll a$ 时，才等于 $2 \pi$ ．注意，由于这组坐标在赤道处奇异，我们无法越过赤道，而球面的总面积应该是

$$
A_{\mathrm{tot}}=2 A(R=a)=4 \pi a^2
$$

与平面上的圆弧类似，我们可以考虑相对于一个很小的张角 $\phi$ 的圆弧，其长度等于半径乘以角度，即

$$
\eta=R \phi=a \sin (D / a) \phi .
$$

当球面上半径 $D$ 很小时，我们可以展开得到

$$
\eta \approx \phi\left(D-\frac{1}{6} K D^3+\cdots\right),
$$

其中引进了一个常数

$$
K=\frac{1}{a^2}
$$

进一步地，我们可以分析一下弧长如何相对于半径变化，得到

$$
\frac{\mathrm{d}^2 \eta}{\mathrm{~d} D^2}=-K \eta
$$

这个重要的关系式告诉我们从一个点出去的相邻测地线是如何分开的，它们的相对变化率与曲率相关，如图 4.13 所示。这里的 $K$ 称为高斯曲率。对于球面而言，高斯曲率总是一个常数，这是因为二维球面是最大对称空间。对于一般的二维流形，高斯曲率并非常数。实际上，上面的展开式（4．68）对于任意的曲面都成立，只需要经过曲面上一点的两条＂直线＂（测地线）足够近．

![图片](/uploads/2025-11/3ef184.jpg)
 
 我们可以局域地通过圆的周长和面积来定义高斯曲率．从上面的讨论可以看到，当在某点邻域的圆足够小时，我们有展开式

$$
C=2 \pi\left(D-\frac{1}{6} K D^3+\cdots\right), \quad A=\pi\left(D^2-\frac{1}{12} K D^4+\cdots\right) .
$$

高斯曲率可以利用曲面上绕某个点半径非常小的圆来得到：

$$
\begin{aligned}
K & =\frac{3}{\pi} \lim _{D \rightarrow 0} \frac{2 \pi D-C}{D^3} \\
& =\frac{12}{\pi} \lim _{D \rightarrow 0} \frac{\pi D^2-A}{D^4}
\end{aligned}
$$

在一个局部的凸区域，$C, A$ 都小于平直时空的值，因此 $K>0$ ，而在一个凹区域，$C, A$ 都大于平直时空的值，所以 $K<0$ ．对于高斯曲率，更一般地我们有高斯－博内特（Gauss－ Bonnet）定理：在一个二维紧致无边界的流形 $\Sigma$ 上，

$$
\int_{\Sigma} K \mathrm{~d} S=2 \pi \chi(\Sigma)
$$

其中 $\chi(\Sigma)$ 是二维流形的欧拉示性数，是一个拓扑不变量 ${ }^{(7)}$ ，

$$
\chi(\Sigma)=2-2 g,
$$

$g$ 是曲面的亏格．因此，对于球面， $\int_{S^2} K \mathrm{~d} S=4 \pi$ ，对于亏格为 1 的环面， $\int_{T^2} K \mathrm{~d} S=0$ ，而对于更一般的亏格为 $n$ 的黎曼面， $\int_{R S} K \mathrm{~d} S=-(n-1) 4 \pi$ ．

在欧氏几何中，圆的周长与半径之比等于 $2 \pi$ ，且三角形的内角和等于 $\pi$ ．而在球面上，三角形的内角和为 $\pi+\frac{A}{a^2}$ ，其中 $A$ 是三角形的面积。这里，球面上的三角形由三个点构成，其中每两个点间由测地线（短程线）来给出．测地线是直线在弯曲空间的推广．而三角形的夹角由交点处两条测地线的切矢量夹角给出．如图4．14所示的球面三角形由差 $90^{\circ}$ 的两条经线和赤道围成，在每个交点处考虑切空间以及两条相交线的切矢量，这些切矢量两两正交，因此这个球面三角形的内角和是 $\frac{3 \pi}{2}$ ．可以验证这个三角形的面积是整个球面的 $1 / 8$ ．

![图片](/uploads/2025-11/d15ef3.jpg)

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