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体积元

4．4．3  体积元
前面对曲面面积的讨论可以很容易推广到其他的高维流形中．如果 $g_{\mu \nu}=\operatorname{diag}\left(g_{11}\right.$, $\left.\cdots, g_{n n}\right)$ ，此时的体积元为

$$
\mathrm{d}^n V=\sqrt{\left|g_{11} g_{22} \cdots g_{n n}\right|} \mathrm{d} x^1 \cdots \mathrm{~d} x^n .
$$

而我们知道实际上 $|g|=\left|g_{11} g_{22} \cdots g_{n n}\right|=\left|\operatorname{det}\left(g_{\mu \nu}\right)\right|$ 。这可以推广到更一般的情形，即使 $g_{\mu \nu}$ 并非对角时，我们也有体积元

$$
\mathrm{d}^n V=\left|\operatorname{det}\left(g_{\mu \nu}\right)\right| \mathrm{d} x^1 \cdots \mathrm{~d} x^n .
$$

在坐标变换下，我们知道

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}^n V & =\sqrt{\left|g^{\prime}\right|} \mathrm{d} x^{\prime 1} \cdots \mathrm{~d} x^{\prime n} \\
& =\sqrt{\left|g^{\prime}\right|} J \mathrm{~d} x^1 \cdots \mathrm{~d} x^n
\end{aligned}
$$

其中 $J$ 是坐标变换的雅可比行列式，

$$
J=\left|\frac{\partial x^{\prime a}}{\partial x^b}\right|
$$

另一方面，度规张量在 $p$ 点附近的坐标变换下变换为

$$
g_{\mu \nu}^{\prime}=\left(\frac{\partial x^\sigma}{\partial x^{\prime \mu}}\right)_p\left(\frac{\partial x^\rho}{\partial x^{\prime \nu}}\right)_p g_{\sigma \rho}(p),
$$

所以 $\left|g^{\prime}\right|=\frac{1}{J^2}|g|$ 。因此，体积元

$$
\mathrm{d}^n V=\sqrt{\left|g^{\prime}\right|} \mathrm{d} x^{\prime 1} \cdots \mathrm{~d} x^{\prime n}=\sqrt{|g|} \mathrm{d} x^1 \cdots \mathrm{~d} x^n
$$

在坐标变换下不变。后面我们将看到它如何与列维－齐维塔张量相联系．
对于通过嵌人来定义的子流形，其体积元的确定需要通过诱导度规来实现．一个由嵌人 $x^a=x^a\left(u^1, \cdots, u^m\right)$ 定义的 $m$ 维子流形，由于 $\mathrm{d} x^a=\frac{\partial x^a}{\partial u^i} \mathrm{~d} u^i$ ，我们可以得到度规

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2 & =g_{a b} \mathrm{~d} x^a \mathrm{~d} x^b=g_{a b} \frac{\partial x^a}{\partial u^i} \frac{\partial x^b}{\partial u^j} \mathrm{~d} u^i \mathrm{~d} u^j \\
& =h_{i j} \mathrm{~d} u^i \mathrm{~d} u^j
\end{aligned}
$$

其中第一行里的 $g_{a b}$ 是嵌人空间的度规，而 $h_{i j}$ 称为诱导度规，

$$
h_{i j}=g_{a b} \frac{\partial x^a}{\partial u^i} \frac{\partial x^b}{\partial u^j}
$$

对这个子流形，其体积元为

$$
\mathrm{d}^m V=\sqrt{|h|} \mathrm{d} u^1 \cdots \mathrm{~d} u^m .
$$

显然，它依赖于嵌入的方式．上面的讨论即使在所嵌入的流形弯曲的时候也同样成立．
一个简单的例子是考虑流形上一条曲线的长度．在某坐标片中，曲线由嵌入 $x^a(\lambda)$给出，如我们之前的讨论，曲线的线元由

$$
\mathrm{d} s^2=g_{a b} \mathrm{~d} x^a \mathrm{~d} x^b
$$

给出．因此，如果我们考虑曲线从 $A$ 到 $B$ 的距离，有

$$
\Delta s=\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \mathrm{~d} s=\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{g_{a b} \frac{\partial x^a}{\partial \lambda} \frac{\partial x^b}{\partial \lambda}} \mathrm{~d} \lambda .
$$

另一方面，对于曲线而言，其上的诱导度规为

$$
h_{11}=g_{a b} \frac{\partial x^a}{\partial \lambda} \frac{\partial x^b}{\partial \lambda},
$$

其＂体积元＂为

$$
\mathrm{d} s=\sqrt{h_{11}} \mathrm{~d} \lambda,
$$

与前面的讨论一致．

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